7.3.5 已知三角函数值求角-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦“已知三角函数值求角”核心知识点，通过“大海航行方向计算”情境导入，以“已知sin x=值求角”问题衔接三角函数定义与性质，构建从特殊角到一般角的求解支架，落实反三角函数符号应用。 特色在于融合直观想象与数学运算，通过单位圆、三角函数线及图象辅助理解，分区间（如[-π/2, π/2]、[0,2π]）探究角的求解通法，例题与跟踪训练层层递进，培养逻辑推理能力，助力学生掌握数学表达，为教师提供清晰教学路径。

7.3.5　已知三角函数值求角 新课程标准解读 核心素养 1.会利用三角函数线求角 直观想象、数学运算 2.会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角 数学运算 　　 　　大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识. 【问题】　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　arcsin x，arccos x，arctan x的含义 1.任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作：x＝　arcsin y　. 2.在区间[0，π]内，满足cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，通常记作：x＝　arccos y　. 3.在区间内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常记作：x＝　arctan y　. 【想一想】 　符号arcsin α（α∈[－1，1]），arccos α（α∈[－1，1]），arctan α（α∈R）分别表示什么？ 提示：arcsin α表示在区间上，正弦值为α的角；arccos α表示在区间上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间上，正切值为α的角. 1.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.arcsin＝－ B.arcsin 0＝0 C.arcsin（－1）＝π D.arcsin 1＝ 解析：ABD　根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－，故C项错误.易知A、B、D正确. 2.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝　或　. 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），当sin α＝时，α＝或. 3.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝　或　. 解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，∴x＝或. 题型一 已知正弦函数值求角 【例1】　求下列范围内适合sin x＝的x的集合. （1）x∈； （2）x∈[0，2π]；（3）x∈R. 解：（1）由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sin x＝的角x只有一个，即x＝.这时，适合sin x＝的x的集合为. （2）当x∈[0，2π]时，由诱导公式sin（π－x）＝sin x＝及sin ＝sin ＝，可知x1＝，x2＝.这时，适合sin x＝的x的集合为. （3）当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋（k∈Z）或x＝2kπ＋（k∈Z）时，sin x＝， 则所求的x的集合是 . 通性通法 1.给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函数在一个周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区间内或一个周期内的角，再利用终边相同角把所求范围内的所在角表示出来. 2.对于已知正弦值求角有如下规律 sin x＝α （｜α｜≤1） x∈ x∈[0，2π] x＝arcsin α 0≤α≤1 －1≤α＜0 x1＝arcsin α， x2＝π－arcsin α x1＝π－arcsin α， x2＝2π＋arcsin α 【跟踪训练】 　已知sin＝，x∈R，求角x的取值集合. 解：法一　由sin＝＞0可知，角x＋对应的正弦线方向朝上，且长度为. 作出示意图如图①所示. 由图①可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP'. 又sin＝sin＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 法二　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图②所示，由图②可知sin＝sin＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 题型二 已知余弦函数值求角 【例2】　（1）已知cos＝，求x； （2）求不等式cos＞－的解集. 解：（1）由cos＝＞0， 知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP'. 又因为cos ＝cos＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. （2）如图所示， 在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时，cos＝－， 所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos＝－. 令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为 . 通性通法 利用余弦值求角、解不等式 　　将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围. 【跟踪训练】 　已知cos x＝－. （1）当x∈[0，π]时，求x； （2）当x∈R时，求x的取值集合. 解：（1）因为cos x＝－且x∈[0，π]， 所以x＝arccos. （2）当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解. 因为cos x＝－，故x是第二或第三象限角. 由（1）知x＝arccos是第二象限角， 又cos［2π－arccos（－）］＝cos［arccos］＝－， 且2π－arccos∈， 所以由余弦函数的周期性知，当x＝arccos＋2kπ或x＝2π－arccos＋2kπ（k∈Z）时，cos x＝－， 即所求x值的集合是{x｜x＝2kπ±arccos，k∈Z}. 题型三 已知正切函数值求角 【例3】　已知tan α＝－3. （1）若α∈，求角α； （2）若α∈R，求角α. 解：（1）由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）. （2）α＝kπ＋arctan（－3）（k∈Z）. 通性通法 1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角. 2.tan α＝a，α∈R的解集为{α｜α＝kπ＋arctan a，k∈Z}. 【跟踪训练】 　已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x. 解：因为tan x＝－1＜0，所以x是第二或第四象限角. 由tan＝－tan ＝－1可知，所求符合条件的第四象限角为x＝－. 又由tan＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π， 所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－. 1.arccos＝（　　） A.　　　B.－ C.　　　D. 解析：C　由arccos的定义可得arccos＝π－arccos＝π－＝.故选C. 2.＝（　　） A. B.0 C.1 D.－ 解析：C　因为arcsin＝，arccos＝，arctan（－）＝－，所以原式＝＝1. 3.若3tan x－1＝0，0＜x＜2π，则x＝（　　） A.arctan B.arctan 或π－arctan C.arctan 或π＋arctan D.2π－arctan 解析：C　由题意知tan x＝，x∈（0，2π），则x＝arctan 或x＝π＋arctan ，故选C. 4.已知sin α＝，根据下列所给范围求α. （1）α为锐角； （2）α为第二象限的角. 解：（1）因为sin α＝，且α为锐角，即α∈， 所以α＝. （2）因为sin α＝，且α为第二象限的角， 所以在（0，2π）内满足条件的角为. 所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋（k∈Z）. 　　 1.已知sin x＝，x∈，则x＝（　　） A.arcsin B.＋arcsin C.π－arcsin D. 解析：C　因为arcsin∈，所以π－arcsin∈，所以sin x＝，x∈，x＝π－arcsin. 2.已知cos x＝－，x∈[0，π]，则x＝（　　） A.arccos B.π－arccos C.－arccos D.π＋arccos 解析：B　arccos∈（0，），所以π－arccos∈.所以cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos. 3.函数y＝arctan －的一个值域是（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为≥0，所以arctan ∈，则arctan －∈，故选B. 4.若P（－1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（　　） A.arcsin B.arccos C.arctan（－2） D.以上都不对 解析：B　由题意可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2，又α∈，可知α＝π－arcsin ＝arccos＝π＋arctan（－2）.故选B. 5.已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是（　　） A.　　　B.－ C.　　　D. 解析：A　由题意得三角形顶角为arccos＝，底角为＝.故tan ＝. 6.（多选）以下为三角方程sin x＝（x∈[0，2π））的解的是（　　） A.arcsin B.π－arcsin C. D. 解析：AB　因为sin x＝，x∈[0，2π），所以x＝arcsin ，或x＝π－arcsin，所以方程的解集为.故选A、B. 7.arccos＝　　. 解析：因为cos＝，且0＜＜1，所以arccos＝. 8.若tan α＝，且α∈，则α＝　　. 解析：因为tan＝，又α∈，所以α＝π＋＝. 9.已知函数f（x）＝cos ωx，g（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），且g（x）的最小正周期为π.若f（α）＝，α∈[－π，π]，则α的取值集合为　　. 解析：因为g（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝cos 2x.由f（α）＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z.则α＝kπ±，k∈Z.因为α∈[－π，π]，所以α∈. 10.求值：（1）； （2）sin（arcsin）＋arcsin＋cos＋arccos. 解：（1）∵arcsin ＝，arccos＝， arctan （－1）＝－ ∴原式＝＝－1＋＝. （2）∵arcsin ＝，∴sin＝sin ＝. ∵sin ＝，∴arcsin＝arcsin ＝. ∵arccos ＝，∴cos＝cos ＝， ∵cos ＝－，∴arccos＝arccos＝，∴原式＝＋＋＋＝π＋1. 11.（多选）下列式子，正确的有（　　） A.arcsin＝1 B.arcsin＝－ C.arcsin＝ D.sin＝ 解析：BCD　对于A，在arcsin x中－1≤x≤1，而＞1.故A式无意义；对于B，在上只有sin＝－，所以arcsin＝－，故B正确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、C、D. 12.arccos＝　　. 解析：∵cos＝cos ，且cos ＝∈[0，1]，∴arccos＝arccos＝. 13.设函数f（x）＝tan. （1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； （2）求不等式－1≤f（x）≤的解集. 解：（1）由－≠kπ＋，得到函数的定义域为； 周期T＝2π； 由kπ－＜－＜kπ＋（k∈Z），解得f（x）的单调递增区间为（k∈Z），无减区间； 由－＝得x＝＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中心为（k∈Z）. （2）由题意，kπ－≤－≤kπ＋（k∈Z）， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z）， 可得不等式－1≤f（x）≤的解集为{x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 14.已知sin x＝，则当x∈时，x＝　　，当x∈[0，2π]时，x＝　或π　. 解析：∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝.∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin＝sin＝，∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π. 15.求函数y＝arcsin（sin x）的定义域、值域，判断它的奇偶性、单调性、周期性. 解：对于函数y＝arcsin（sin x），根据－1≤sin x≤1，求得x∈R，故函数的定义域为R. 根据反正弦函数的定义可得y∈. 再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（－x）＝arcsin[sin（－x）]＝arcsin[－sin x]＝－arcsin（sin x）＝－f（x）， 故函数f（x）为奇函数. 在R上，当x增大时，函数t＝sin x不具备单调性，故函数y＝arcsin（sin x）在定义域R上不具备单调性. 再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（x＋2π）＝arcsin[sin（x＋2π）]＝arcsin（sin x）＝f（x）， 可得函数y的一个周期为2π. 由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内的任意x都成立，故函数y的最小正周期为2π. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $