7.3.5已知三角函数值求角课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．3.5　已知三角函数值求角 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升   【课程标准】 会利用已知的三角函数值求相应的角． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　已知正弦值，利用正弦线或者正弦曲线求角． 知识点二　已知余弦值，利用余弦线或者余弦曲线求角． 知识点三　已知正切值，利用正切线或者正切曲线求角． 基 础 自 测 1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 解析：因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝. 2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　) A． B． C．或 D．或 答案：D 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D. 3．已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________． 或 解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]. ∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝， ∴x＝或. 4．若cos x＝cos ，求x的值． 解析：在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x＝cos 的角有两个：和－. 又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z)． 课堂探究·素养提升 题型1　已知正弦值求角 例1　已知sin x＝. (1)当x∈[－]时，求x的取值集合； (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合； (4)求不等式sin x<－的解集． 利用三角函数线、图象结合周期性求解集． 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解． 【解析】　(1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合． (2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin (π－)＝， ∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝， ∴x的取值集合为{}． (3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋，k∈Z}． (4)方法一　由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，如图所示， 可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为sin (－)＝sin (－)＝－， 所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z. 如果x终边在∠POP′中，则有sin x<－， 所以－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z. 所以不等式的解集为{x|－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z}． 方法二　因为sin x＝－， 如图所示， 由正弦函数的图象，知 在[－2π，0]内，sin (－)＝sin (－)＝－， 所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z， 所以－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z. 所以不等式的解集为 {x|－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z}．   方法归纳 (1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用． (2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}． 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为__________. 解析：由题意可得：＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝2sin (2x＋)＝1，可得sin (2x＋)＝， 因为x∈(0，π]，所以2x＋∈(]， 所以2x＋＝或，即x∈{}． {} (2)求不等式sin x>－的解集． 解析：当sin x＝－时， x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z， 所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为 {x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}． 题型2　已知余弦值求角 例2　(1)已知cos x＝－， ①当x∈[0，π]时，求x的值； ②当x∈R时，求x的取值集合． (2)已知cos (2x－)＝，求x. (3)求不等式cos (x＋)>－的解集． 【解析】　(1)①∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝. ②当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解． ∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角． 所以，由余弦函数的周期性知， 当x＝＋2kπ或 x＝2kπ－(k∈Z)时， cos x＝－，即所求x值的集合是 {x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}． (2)由cos (2x－)＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示， 可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为cos ＝cos (－)＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. (3)如图所示， 在[－π，π]上，＝－或＝时， cos ()＝－， 所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ， k∈Z时，cos ()＝－. 令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为{x|－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z}． 状元随笔　(1)(2)利用余弦线、图象求值． (3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围． 跟踪训练2　(1)已知cos x＝－且x∈[0，2π)，求x的取值集合； (2)求不等式2cos (2x＋)－<0的解集． 解析：(1)由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos (π－)＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos (＋π)＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝. 故所求角的集合为{}． (2)不等式变为cos (2x＋)<， 则＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为{x|＋kπ<x<＋kπ，k∈Z}． 方法归纳 cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}． 题型3　已知正切值求角 例3　(1)已知tan α＝1. ①若α∈(－)，求角α； ②若α∈R，求角α. (2)已知f(x)＝tan (3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合． 【解析】　(1)①由正切函数在开区间(－)上是增函数可知，符合条件tan α＝1的角只有一个，即α＝. ②α＝kπ＋(k∈Z)． (2)方法一　令t＝3x－，作出函数y＝tan t的图象如图， 则－＋kπ<t≤－＋kπ，k∈Z， 即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z， 解得－<x≤，k∈Z， 所以不等式tan (3x－)≤－的解集为 (－]，k∈Z. 方法二　因为tan (3x－)＝－<0，令t＝3x－， 所以角3x－对应的正切线方向朝下，而且长度为， 如图所示， 可知3x－的终边可能是OT，也可能是OT′， 因为tan (－)＝tan ＝－， 即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z， 解得－<x≤，k∈Z， 所以不等式tan (3x－)≤－的解集为 (－]，k∈Z. 状元随笔　利用正切线或图象求值，先求x的范围，再根据周期写解集． 方法归纳 (1)已知角的正切值求角，可先求出(－)内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角． (2)tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}． 跟踪训练3　(1)已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x. 解析：∵tan x＝－1＜0， ∴x是第二或第四象限的角． 由tan (－)＝－tan ＝－1可知， 所求符合条件的第四象限角为x＝－. 又由tan (－)＝－tan ＝－1， 得所求符合条件的第二象限角为x＝－， ∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－. (2)当0<x<π时，使tan x<－1成立的x的取值范围为________. 解析：由正切函数的图象知，当0<x<π时， 若tan x<－1，则<x<， 即实数x的取值范围是()． () (3)函数y＝1＋tan (2x－)在区间(－π，π)内的零点个数为________. 解析：函数y＝1＋tan (2x－)， 令1＋tan (2x－)＝0，得tan (2x－)＝－1， 所以2x－＝kπ－，k∈Z；解得x＝，k∈Z； 当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝－； 当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝； 所以y在区间(－π，π)内的零点有4个． 4 $$