7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质（习题课）-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦正弦型函数的周期、单调性、最值及对称性，通过问题探究连接正弦函数基础，搭建从定义理解到综合应用的学习支架，梳理性质应用脉络。 资料以“通性通法”总结（如周期的定义法、公式法、图象法）和图象直观分析（例1（3）画图判断周期）为特色，培养数学思维的推理能力与几何直观，跟踪训练结合实例提升应用意识，助力学生系统掌握方法，教师可直接用于习题教学，提升课堂效率。

第二课时　正弦型函数的性质（习题课） 题型一 正弦型函数的周期 【例1】　求下列函数的周期： （1）y＝sin； （2）y＝2sin； （3）y＝｜sin x｜. 解：（1）法一（定义法）　y＝sin ＝sin ＝sin， ∴周期为π. 法二（公式法）　y＝sin中ω＝2， T＝＝＝π. （2）∵ω＝，∴T＝＝6π. （3）作图如下. 观察图象可知周期为π. 通性通法 求三角函数周期的方法 （1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个周期； （2）公式法：正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝； （3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值等于（　　） A.2　　　　　　　　　 B.1 C. D. 解析：B　由已知得＝π，解得ω＝1.故选B. 2.已知函数f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜，则f（x）为（　　） A.周期函数，最小正周期为 B.周期函数，最小正周期为 C.周期函数，最小正周期为2π D.非周期函数 解析：A　画出f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜的部分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函数，最小正周期为，故选A. 题型二 正弦型函数的单调性 【例2】　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间. 解：y＝1＋sin＝－sin＋1. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋（k∈Z）， 解得4kπ－≤x≤4kπ＋π（k∈Z）. 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为，，. 通性通法 求正弦型函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间； （2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.当A＞0时y＝Asin z与y＝sin x的单调性相同，当A＜0时，y＝Asin z与y＝sin x的单调性相反； （3）求形如y＝Asin（ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即得y＝Asin（ωx＋φ），x∈D上的单调区间. 【跟踪训练】 　求函数y＝sin的单调递增区间. 解：法一　函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z. 法二　令2x－＝，解得x＝， 所以函数y＝sin在x＝处取得最大值. 又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝sin的一个单调递增区间为，即， 所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 题型三 正弦型函数的最值（值域） 【例3】　已知函数f（x）＝sin.给出下列结论： ①f（x）的最小正周期为2π；②f是f（x）的最大值；③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象.其中所有正确结论的序号是（　　） A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：B　f（x）＝sin的最小正周期为2π，①正确；sin ＝1＝f为f（x）的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f（x）＝sin的图象，③正确.故选B. 通性通法 求正弦型函数的最值（值域）的策略 　　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来求解. 　　当A＞0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最大，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最小； 　　当A＜0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最小，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最大. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝sin＋，若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值. 解：由题意得－≤x≤m，∴－≤2x≤2m， ∴－≤2x－≤2m－.∵函数f（x）的最大值为，∴y＝sin在上的最大值为1， ∴2m－≥，∴m≥.∴m的最小值为. 　正弦函数图象对称性问题的探究 　　 1.下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既是轴对称又是中心对称的图形？ 2.正弦函数的图象如下图.利用图象探索正弦函数图象的对称性. 【问题探究】 1.正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z. 2.正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z. 3.画出函数y＝sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性. 提示：画出函数图象如图，由图象可知，函数y＝sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形. 【迁移应用】 1.已知函数y＝sin的图象在R上关于原点对称，则φ的值可以是（　　） A.0　　 　B.－ C.　　 　D.π 解析：B　因为y＝sin的函数图象在R上关于原点对称，所以y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意. 2.求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标. 解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z. 1.函数f（x）＝sin的最小正周期为（　　） A. B.π C.2π D.4π 解析：D　函数f（x）＝sin的最小正周期T＝＝4π. 2.（多选）对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中错误的是（　　） A.f（x）在上是递增的 B.f（x）的图象关于原点对称 C.f（x）的最小正周期为2π D.f（x）的最大值为2 解析：ACD　因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f（x）＝sin 2x在上是单调递减的，故A错误；因为f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误. 3.求函数y＝3sin（x∈[0，π]）的单调递增区间. 解：函数y＝3sin＝－3sin， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为. 1.函数y＝2sin（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 解析：D　法一　由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为. 法二　当x＝时，函数y＝2sin取得最大值，且其最小正周期为2π，则函数y＝2sin（x－）的一个单调递增区间为，即［－，］，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为. 2.函数y＝3sin的图象的一条对称轴方程是（　　） A.x＝0 B.x＝ C.x＝－ D.x＝ 解析：B　令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋（k∈Z），即x＝π＋（k∈Z），取k＝1，得x＝. 3.若函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f＝f，则有f＝（　　） A.3或0 B.－3或0 C.0 D.－3或3 解析：D　由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝－3或3.故选D. 4.已知函数f（x）＝2sin，若对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（　　） A.4 B.2 C.1 D. 解析：B　函数f（x）的最小正周期T＝＝4.由于对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为＝2. 5.（多选）已知函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　） A.关于点对称 B.关于直线x＝对称 C.关于点对称 D.关于直线x＝对称 解析：AB　∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝sin，∴f（x）的图象关于点（－，0）（k∈Z）对称，关于直线x＝＋（k∈Z）对称. 6.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（　　） A. B. C. D. 解析：A　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝sin的图象.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），则函数y＝sin的单调递增区间为（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y＝sin在区间上单调递增. 7.函数y＝sin的单调递减区间是　（k∈Z）　. 解析：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z. 8.已知f（x）＝2sin（x∈R）为奇函数，则当正数φ取最小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是　x＝＋（k∈Z）　. 解析：因为f（x）＝2sin（x∈R）为奇函数，所以f（0）＝2sin＝0，所以2φ＋＝kπ（k∈Z），即φ＝－（k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值，此时f（x）＝－2sin 2x.令2x＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝＋（k∈Z）. 9.函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是奇函数，则函数f（x）＝　sin　，在上的最小值为　－　. 解析：函数f（x）的图象向左平移个单位得g（x）＝sin的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z.又因为｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.又x∈，所以2x－∈，所以当x＝0时，f（x）取得最小值－. 10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）. （1）求函数的解析式； （2）求函数在x∈[－6，0]上的值域. 解：（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又图象过最高点（2，）， ∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z， φ＝＋2kπ，k∈Z， 由｜φ｜≤，得φ＝， ∴y＝sin. （2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－，1]. 11.（多选）已知函数f（x）＝sin，则（　　） A.f（x）的最小值为－1 B.点是f（x）的图象的一个对称中心 C.f（x）的最小正周期为π D.f（x）在上单调递增 解析：ACD　由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确；令2x＋＝kπ，x＝－，k∈Z，没有一个整数k，能使－＝，B错误；T＝＝π，C正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，－≤x≤，而⊆，D正确.故选A、C、D. 12.关于x的方程sin＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数m的取值范围为　　. 解析：由于0≤x≤π，所以≤x＋≤，由于关于x的方程sin＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋，由函数y＝sin u与y＝2m的图象（图略）可知，≤2m＜1，解得≤m＜. 13.已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程. 解：（1）∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝＝π，∴ω＝＝2. 又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A＝3. ∴f（x）＝3sin. （2）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z， 由2x＋＝＋kπ，得x＝＋，k∈Z， ∴函数f（x）的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 14.（多选）若将函数f（x）＝Asin（A≠0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则下列选项错误的是（　　） A.g（x）的最大值为A B.g（x）的图象有一条对称轴是直线x＝ C.g（x）的图象有一个对称中心是点 D.g（x）是奇函数 解析：ACD　将函数f（x）＝Asin（A≠0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）＝Asin［2（ x＋）－］＝Asin的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为g＝Asin（ 2×＋）＝Asin ＝A，所以直线x＝是g（x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g＝Asin［2×＋］＝Asin≠0，所以C错；g（x）＝Asin为非奇非偶函数，所以D错误. 15.某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin（ωx＋φ） 0 5 －5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值. 解：（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin（ωx＋φ） 0 5 0 －5 0 函数解析式为f（x）＝5sin. （2）由（1）知f（x）＝5sin， 所以g（x）＝5sin. 由于y＝sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z. 所以令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，则＋－θ＝， 解得θ＝－，k∈Z. 由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $