7.2.4 第1课时 诱导公式①、②、③、④-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦三角函数诱导公式①、②、③、④，以南京眼、生命之环的对称美为导入，联系单位圆对称性，引导学生探究角α与π±α、-α终边的对称关系，搭建从几何直观到公式推导的学习支架。 资料特色在于情境导入激发兴趣，通过单位圆对称推导公式培养逻辑推理，口诀“函数名不变，符号看象限”结合例题提升数学运算，帮助学生建立数形联系，教师教学逻辑清晰、素材丰富，助力高效课堂。

7.2.4　诱导公式 新课程标准解读 核心素养 1.能借助对称，会推导三角函数的诱导公式 逻辑推理 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明 数学运算 第一课时　诱导公式①、②、③、④ 　　 　　南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 【问题】　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式①、②、③、④ 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 角 α＋2kπ（k∈Z） －α π－α π＋α 图示 与角α终边的关系 相同 关于　x　轴对称 关于　y　轴对称 关于　原点　对称 正弦 sin（α＋2kπ）＝sin α（k∈Z） sin（－α）＝－sin α sin（π－α）＝sin α sin（π＋α）＝－sin α 余弦 cos（α＋2kπ）＝cos α（k∈Z） cos（－α）＝cos α cos（π－α）＝－cos α　 cos（π＋α） ＝－cos α 正切 tan（α＋2kπ） ＝tan αk∈Z） tan（－α）＝－tan α tan（π－α）＝－tan α tan（π＋α） ＝tan α 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 提醒　诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 【想一想】 1.根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. 2.角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2（cos（－α），sin（－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？ 提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称. 3.角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3（cos（π－α），sin（π－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？ 提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（　×　） （2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（　×　） （3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变.（　√　） （4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝不成立.（　√　） 2.cos 等于（　　） A.　　　　　　　　 B. C.－ D.－ 解析：D　cos ＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 3.已知tan α＝，则tan（2π－α）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　∵tan α＝，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－. 4.sin 300°的值为　－　. 解析：sin 300°＝sin（360°－60°）＝sin（－60°）＝－sin 60°＝－. 题型一 给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数式的值： （1）cos 210°；（2）sin ； （3）sin；（4）tan（－855°）. 解：（1）cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－. （2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝. （3）sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝. （4）tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1. 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式②或③来转化； （2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角； （3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角； （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 【跟踪训练】 （1）sin 750°＝　　；cos（－2 040°）＝　－　； （2）计算：sin－cos＝　1　. 解析：（1）sin 750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin 30°＝；cos（－2 040°）＝cos 2 040°＝cos（5×360°＋240°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－. （2）原式＝－sin －cos ＝－sin（4π＋π＋）－cos＝sin ＋cos ＝＋＝1. 题型二 化简、求值问题 【例2】　化简： （1）； （2）. 解：（1）原式＝＝＝＝1. （2）原式＝ ＝ ＝＝－1. 通性通法 　　利用诱导公式①～④化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有改变； （3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 【跟踪训练】 化简：（n∈Z）. 解：当n＝2k时，原式＝＝1； 当n＝2k＋1时，原式＝＝1. 综上，原式＝1. 题型三 给值（式）求值问题 【例3】　已知cos＝，求： （1）cos的值； （2）cos的值. 解：（1）cos＝cos ＝－cos＝－. （2）cos＝cos＝cos＝. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求sin2的值. 解：sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝. 2.（变条件）若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，如何求得（1）的值？ 解：因为α∈，则α－∈. 所以cos＝－cos＝－cos ＝＝＝. 通性通法 解决条件求值问题的2技巧 【跟踪训练】 1.若sin（π＋α）＝，α∈，则tan（π－α）＝（　　） A.－　　　B.－ C.－　　　D.－ 解析：D　因为sin（π＋α）＝－sin α，根据条件得sin α＝－，又α∈，所以cos α＝－＝－.所以tan α＝＝＝.所以tan（π－α）＝－tan α＝－. 2.已知sin＝－，求sin的值. 解：∵－＝2π， ∴α－＝－2π. ∵sin＝－， ∴sin（α－）＝sin＝sin（α＋）＝－. 1.cos＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：C　cos＝cos ＝－cos ＝－. 2.已知cos（α－π）＝－，且α是第四象限角，则sin（－2π＋α）＝（　　） A.－ B. C.± D. 解析：A　由cos（α－π）＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin（－2π＋α）＝sin α＝－＝－. 3.点P（cos 2 025°，sin 2 025°）落在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　2 025°＝6×360°－135°，所以cos 2 025°＝cos（－135°）＝cos 135°＜0，sin 2 025°＝sin（－135°）＝－sin 135°＜0，所以点P在第三象限. 4.的化简结果为　1　. 解析：原式＝＝1. 5.求下列各式的值： （1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）sin 750°； （2）sin·cos ·tan . 解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. （2）原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan ＝sin·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－××＝－. 　　 1.sin＝（　　） A.　　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 解析：C　sin＝sin＝sin＝.故选C. 2.化简sin（π－2）－cos（4π－2）的结果为（　　） A.sin 2－cos 2 B.－1 C.2sin 2 D.－2sin 2 解析：A　原式＝sin 2－cos 2，故选A. 3.已知tan＝，则tan＝（　　） A.　　　B.－ C.　　　D.－ 解析：B　∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－. 4.若sin（π－α）＝log8 ，且α∈，则cos（π＋α）＝（　　） A. B.－ C.± D.以上都不对 解析：B　因为sin（π－α）＝sin α＝lo 2－2＝－，所以cos（π＋α）＝－cos α＝－＝－＝－. 5.（多选）下列各式正确的是（　　） A.sin（α＋180°）＝－sin α B.cos（－α＋β）＝－cos（α－β） C.sin（－α－360°）＝－sin α D.cos（－α－β）＝cos（α＋β） 解析：ACD　sin（α＋180°）＝－sin α，cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），sin（－α－360°）＝－sin（α＋360°）＝－sin α，cos（－α－β）＝cos[－（α＋β）]＝cos（α＋β）. 6.（多选）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.下列结论正确的是（　　） A.sin（B＋C）＝sin A B.若cos A＞0，则△ABC为锐角三角形 C.cos（B＋C）＝cos A D.若sin（π－A）＝sin B，则A＝B 解析：AD　由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若cos A＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由sin（π－A）＝sin A＝sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故D正确. 7.tan 690°＝　－　. 解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－. 8.已知sin（α＋π）＝，且sin αcos α＜0，则＝　－　. 解析：∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－. 又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－. 9.化简：·sin（α－2π）cos（2π－α）＝　cos2α　. 解析：原式＝·[－sin（2π－α）]cos（2π－α）＝sin αcos α＝cos2α. 10.在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cos A＝－cos（π－B），求△ABC的三个内角. 解：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B， 平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±， 又因为A∈（0，π），所以A＝或π. 当A＝π时，cos B＝－＜0，所以B∈， 所以A，B均为钝角，不合题意，舍去. 所以A＝，cos B＝，所以B＝，所以C＝π. 综上所述，A＝，B＝，C＝π. 11.已知sin＝，则sin的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　sin＝sin＝sin＝－sin＝－. 12.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知sin（π＋α）＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是（　　） A.sin β＝ B.cos（π＋β）＝ C.tan β＝ D.cos（2π－β）＝－ 解析：ABD　∵sin（π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sin β＝sin＝sin α＝，故A符合条件；B中，cos（π＋β）＝cos＝cos α＝±，故B符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C不符合条件；D中，cos（2π－β）＝cos[2π－（π－α）]＝cos（π＋α）＝－cos α＝±，故D符合条件.故选A、B、D. 13.已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，且f（2 024）＝0，则f（2 025）＝　4 049　. 解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，所以f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcos（2 024π＋β）＋2 024＝asin α＋bcos β＋2 024＝0，得到asin α＋bcos β＝－2 024，所以f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcos（2 025π＋β）＋2 025＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＋2 025＝－asin α－bcos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049. 14.是否存在角α和β，当α∈，β∈（0，π）时，等式sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由. 解：存在α＝，β＝使等式同时成立.理由如下： 由sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）得，sin α＝sin β，cos α＝cos β，两式平方相加得，sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝，由于β∈（0，π），所以β＝.将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－，由于β∈（0，π），这样的角β不存在.综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $