7.1.1 角的推广-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦角的概念推广、终边相同的角表示及象限角集合表示等核心知识点。通过小明调整闹钟的生活实例导入，联系初中静态角概念，过渡到动态旋转生成角，搭建新旧知识学习支架。 以数学抽象、直观想象、数学运算为核心素养，用闹钟问题培养数学眼光，角的旋转定义深化数学抽象，象限角集合表示提升直观想象与运算能力。含辨析、跟踪训练及母题探究，助力学生分层理解，为教师提供清晰流程与多样例题，提升教学效率。

第七章　三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 新课程标准解读 核心素养 1.了解任意角的概念，能区分各类角 数学抽象 2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法 数学运算 3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角 直观想象 　　周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 【问题】　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　角的概念的推广 1.角的概念 一条　射线　绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的　始边　和　终边　. 2.角的表示 如图所示： （1）始边：射线OA； （2）终边：射线OB； （3）顶点：射线的端点O； （4）记法：图中的角α也可记为“　α　”或“　∠AOB　”. 3.角的分类 名称 定义 图示 正角 按照　逆时针　方向旋转而成的角 负角 按照　顺时针　方向旋转而成的角 零角 一条射线　没有　旋转而成的角 由于角是旋转生成的，所以也常称为　转角　. 4.角的加减运算的一个几何意义（β＞0°） （1）α＋β：把角α的终边　逆时针　方向旋转角β，如图①； 　　　　　　　图①　　　　　　图② （2）α－β：把角α的终边　顺时针　方向旋转角β，如图②. 提醒　对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置. 【想一想】 1.角的三要素是什么？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 2.用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？ 提示：在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边. 　经过1个小时，时针转过的角度是　－30°. 知识点二　象限角 1.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为　第几象限角　.如果终边在　坐标轴　上，就认为这个角不属于任何象限. 2.终边相同的角 （1）所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合，这个集合可记为S＝　{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　； （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内都可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°），k∈Z； ④终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍，相等的角终边一定相同. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）终边相同的角一定相等.（　×　） （2）钝角为第二象限角.（　√　） （3）第一象限的角一定是锐角.（　×　） （4）第二象限角大于第一象限角.（　×　） 2.（多选）给出下列四个选项，其中正确的选项是（　　） A.－75°角是第四象限的角 B.225°角是第三象限的角 C.475°角是第二象限的角 D.－315°角是第四象限的角 解析：ABC　因为－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，所以A、B、C是正确的. 3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　－25°　，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　395°　. 　　题型一 有关角的概念问题 【例1】　下列命题正确的是（　　） A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 解析：C　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不正确；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B不正确；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不正确，故选C. 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 【跟踪训练】 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A.150° B.－150° C.390° D.－390° 解析：B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 2.某电影片长158分钟，在电影播放的时间里，钟表的分针转过的角为（　　） A.132° B.－132° C.948° D.－948° 解析：D　分针是按顺时针方向旋转的，因此分针1分钟转过的角为－6°，则分针158分钟转过的角为－6°×158＝－948°. 题型二 终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 120°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β＜360°； （2）写出与角α终边相同的角θ的集合S，并求出S中满足不等式－720°≤θ ≤0°的元素. 解：（1）用－1 120°除以360°，得商为－4，余数为320°， ∴α＝320°＋（－4）×360°. （2）法一　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝320°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤320°＋k·360°≤0°，得－≤k≤－，k∈Z，∴k＝－2或－1. 当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°； 当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 法二　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝－1 120°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤－1 120°＋k·360°≤0，得≤k≤，k∈Z，∴k＝2或3. 当k＝2时，θ＝－1 120°＋2×360°＝－400°； 当k＝3时，θ＝－1 120°＋3×360°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 通性通法 1.求终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在0°～360°范围内相应的角； （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合； （3）根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁. 2.与终边相同的角的有关结论 （1）终边相同的角之间相差360°的整数倍； （2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； （3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 【跟踪训练】 1.下列各角中与2 025°角终边相同的是（　　） A.45°　　　　　　　　 B.135° C.－45° D.－135° 解析：D　因为2 025°＝360°×6－135°，所以－135°角与2 025°角的终边相同. 2.在直角坐标系中写出下列角的集合： （1）终边在x轴的正半轴上； （2）终边在y＝x（x≥0）上. 解：（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的正半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}. （2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·360°，k∈Z}. 题型三 象限角与区域角的表示 【例3】　（1）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为　{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}　； 解析：终边落在OA位置上的角的集合为{γ｜γ＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{γ｜γ＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. （2）已知α是第二象限角，求角所在的象限. 解：法一　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）. 当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得 n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，n∈Z， 这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得 n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，n∈Z， 这表明是第三象限角. ∴为第一或第三象限角. 法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角. 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第三象限角”，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z）， ∴k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°（k∈Z）， ∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上. 2.（变条件）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第一象限角”，如何求解？ 解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z）， ∴k·180°＜＜k·180°＋45°（k∈Z）. 当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜＜n·360°＋45°， ∴是第一象限角. 当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋180°＜＜n·360°＋225°， ∴是第三象限角.∴是第一或第三象限角. 通性通法 1.给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°（其中k∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的象限即可. 2.分角、倍角所在象限的判定思路 （1）求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略； （2）由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如当α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角. 【跟踪训练】 1.已知α是第二象限角，则180°－α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：A　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°），k∈Z.－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角. 2.写出图中终边在阴影部分的角的集合（包括边界）. 解：（1）先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°，再加360°的整数倍，得{α｜45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. （2）从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°终边相同的角应为135°＋180°＝315°，所以{α｜135°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}. 1.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是（　　） A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 解析：A　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限.综上，α终边所在的象限是第一或第三象限. 2.如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A.{α｜120°≤α≤330°} B.{α｜－30°≤α≤120°} C.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z} D.{α｜k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 解析：D　330°角的终边与－30°角的终边相同，因此终边落在阴影部分（包括边界）的一个区间角为{α｜－30°≤α≤120°}，在此区间角的两端分别加上“k·360°”，右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 3.（多选）已知集合A＝{θ｜θ为锐角}，B＝{θ｜θ为小于90°的角}，C＝{θ｜θ为第一象限角}，D＝{θ｜θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　） A.A＝B B.B⊇C C.A⊆C D.A＝D 解析：CD　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A⊆C，A＝D. 4.已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝　240°　，它是第　三　象限角. 解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角. 5.将下列各角表示为k·360°＋α（k∈Z，0°≤α＜360°）的形式，并指出是第几象限角. （1）420°；（2）－510°；（3）1 020°. 解：（1）420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角. （2）－510°＝－2×360°＋210°， 而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角. （3）1 020°＝2×360°＋300°， 而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角. 1.（多选）在下列四个角中，属于第二象限角的是（　　） A.160°　　　　　　　　 B.480° C.－960° D.1 530° 解析：ABC　160°显然在第二象限；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角. 2.在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是（　　） A.120°　　　　　　　　　　B.60° C.180° D.240° 解析：D　∵与－120°终边相同的角的集合为{α｜α＝－120°＋k·360°，k∈Z}.取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.故选D. 3.已知集合M＝{x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x｜x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有（　　） A.M＝N B.N⫋M C.M⫋N D.M∩N＝∅ 解析：C　由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角（如图①）. 又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x上8个位置的角（如图②），因而M⫋N，故选C. 4.若角α与β的终边相同，则角α－β的终边（　　） A.在x轴的正半轴上　　　 B.在x轴的负半轴上 C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上 解析：A　由已知可得α＝β＋k·360°（k∈Z），∴α－β＝k·360°（k∈Z），∴α－β的终边在x轴的正半轴上. 5.（多选）下列命题正确的是（　　） A.第一象限角一定不是负角 B.若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同 C.α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上 D.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z} 解析：BCD　对于A，－330°是第一象限角，它是负角，故A错误；对于B，β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同，满足终边相同的角的定义，B正确；对于C，α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上，C正确；对于D，终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z}，D正确. 6.角α与角β的终边互为反向延长线，则（　　） A.α＝－β B.α＝180°＋β C.α＝k·360°＋β（k∈Z） D.α＝k·360°＋180°＋β（k∈Z） 解析：D　∵角α与角β的终边互为反向延长线，∴α－β＝k·360°＋180°（k∈Z），∴α＝k＋360°＋180°＋β（k∈Z）. 7.已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝　－960°　. 解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又因为－990°＜α＜－630°，所以－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1 110°＜k·360°＜－750°.所以－＜k＜－，当k＝－3时，α＝（－3）·360°＋120°＝－960°. 8.已知点P（0，－1）在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝　{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}　. 解析：∵点P（0，－1）在y轴的负半轴上，在0°～360°内满足条件的角为270°，∴所有角α组成的集合S＝{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}. 9.如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是　－5　度，分针所转成的角度是　－60　度. 解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°. 10.如图所示： （1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分的角的集合. 解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝105°＋k·360°，k∈Z}. （2）由（1）及题图知，阴影部分的角的集合为{θ｜30°＋k·360°≤θ＜105°＋k·360°，k∈Z}. 11.（多选）如果α是第三象限角，那么可能是哪个象限的角（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：ACD　因为α是第三象限的角，则α∈（k·360°＋180°，k·360°＋270°），k∈Z，所以∈（k·120°＋60°，k·120°＋90°），k∈Z，按照k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2（n∈Z）进行讨论可知可以是第一、第三、第四象限角. 12.角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝　60°＋k·360°，k∈Z　. 解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终边相同.所以β＝60°＋k·360°，k∈Z. 13.已知角的集合M＝{α｜α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： （1）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ （2）写出集合M中的第二象限角β的一般表达式. 解：（1）令－360°＜30°＋k·90°＜360°，得－＜k＜，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. （2）∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $