模块综合检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦三角函数、平面向量及函数性质，通过典型例题导入，从三角函数定义（如角终边求三角函数值）过渡到向量运算，再到函数图像变换，构建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于以几何直观（如向量问题结合图形分析）和逻辑推理（如函数化简求周期）培养数学眼光与思维，通过符号语言（如向量坐标运算）强化数学表达。例如第6题借助正方形顶点向量数量积抽象数量关系，助力学生提升综合应用能力，也为教师提供系统检测素材。

模块综合检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知角α的终边过点P（－4m，3m）（m≠0），则2 sin α＋ cos α的值是（　　） A. 1或－1 B. 或－ C. 1或－ D. －1或 解析： 　当m＞0时，2 sin α＋ cos α＝2× ＋ ＝ ；当m ＜0时，2 sin α＋ cos α＝2× ＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 2. 已知向量a＝（ cos 75°， sin 75°），b＝（ cos 15°， sin 15°），则｜a－b｜的值为（　　） A. B. 1 解析：B　如图，将向量a，b的起点都移到原 点，即a＝ ，b＝ ，则｜a－b｜＝｜ ｜且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是 ∠AOB＝60°，又｜a｜＝｜b｜＝1，则△AOB 为正三角形，从而｜ ｜＝｜a－b｜＝1. C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 3. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象如图所示，为了 得到g（x）＝ sin 2x的图象，可将f（x）的图象（　　） A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π），函数图象过 点 ，所以－1＝ sin ⇒φ＝ ，因此函数f（x）＝ sin 的图象向右平移 个单位得到函数g（x）＝ sin 2x的 图象，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝ sin ＋ cos 的最小正周期和最大值分别是（　　） A. 3π和 B. 3π和2 C. 6π和 D. 6π和2 解析： 　因为函数f（x）＝ sin ＋ cos ＝ （ sin ＋ cos ）＝ （ sin cos ＋ cos sin ）＝ sin ，所以函数f （x）的最小正周期T＝ ＝6π，最大值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 5. 已知tan θ＋ ＝4，则 cos 2 ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由tan θ＋ ＝4，得 ＋ ＝4，即 ＝4，∴ sin θ cos θ＝ ，∴ cos 2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 6. 如图，四个边长为1的小正方形组成一个大正方形，AB是大正方形 的一条边，Pi（i＝1，2，…，7）是小正方形除A，B外的各个顶 点，则 · （i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（　　） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 解析： 　由数量积的定义知 · ＝｜ ｜ ｜ ｜· cos ∠PiAB（i＝1，2，…，7），记其值为m，从题图中可看出，对于P2，P5，m＝0；对于P1，P3，P6，m＝2；对于P4，P7，m＝4.故不同值的个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 7. 已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，则该 函数的图象（　　） A. 关于点 对称 B. 关于点 对称 C. 关于直线x＝ 对称 D. 关于直线x＝ 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为T＝ ＝π，所以ω＝2，于是f（x）＝ sin ，因为f（x）在对称轴上取到最值，所以f ＝ sin ＝1≠0，A不对；f ＝ sin ≠0，B不对；又因为 f ＝ sin ＝1，C符合题意；f ＝ sin ≠±1，D不对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 8. 如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A， B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（ ＋ ）· 的 最小值是（　　） A. 2 B. 0 C. －1 D. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由平行四边形法则得 ＋ ＝2 ，故（ ＋ ）· ＝2 · ，又｜ ｜＝2－｜ ｜，且 ， 反向，设｜ ｜＝t（0≤t≤2），则（ ＋ ）· ＝ 2 · ＝－2t（2－t）＝2（t2－2t）＝2[（t－1）2－1].因为 0≤t≤2，所以当t＝1时，（ ＋ ）· 有最小值，最小值 为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a＝λb，λ∈R，则｜a－b｜可以 为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由a＝λb可知a∥b，即a与b夹角为0或π，｜a－ b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜b｜· cos 0＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜ a｜·｜b｜＝1＋4－4＝1或｜a－b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜ b｜ cos π＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜·｜b｜＝1＋4＋4＝9，所 以｜a－b｜＝1或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 10. 在△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，在下列命题中，是真 命题的有（　　） A. 若a·b＞0，则△ABC为锐角三角形 B. 若a·b＝0，则△ABC为直角三角形 C. 若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 D. 若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　若a·b＞0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角 形，A错误；若a·b＝0，则 ⊥ ，△ABC为直角三角形，B 正确；若a·b＝c·b，b·（a－c）＝0， ·（ － ） ＝0， ·（ ＋ ）＝0，取AC中点D，连接BD（图 略），则 ·2 ＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角 形，C正确；因为c·a＋c2＝ · ＋ ＝ ·（ ＋ ）＝0，所以 · ＝0，所以 ⊥ ，即△ABC为直角 三角形，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 11. 对于函数f（x）＝ cos ，给出下列结论，正确的是 （　　） A. 函数f（x）的最小正周期为2π B. 函数f（x）在 上的值域是 C. 函数f（x）在 上是减函数 D. 函数f（x）的图象关于点 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由诱导公式可得f（x）＝ cos （2x－ ）＝ sin 2x，所以T＝ ＝ ＝π≠2π，A错误；若x∈ ，则 2x∈ ， sin 2x∈ ，故函数f（x）在 上的值 域是 ，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 令 ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ（k∈Z），即 ＋kπ≤x≤ ＋kπ （k∈Z），函数f（x）在 （k∈Z）上单调递减， 当k＝0时，函数f（x）在 上是减函数，所以C正确；令2x＝ kπ（k∈Z），则x＝ （k∈Z），函数f（x）＝ sin 2x的对称中心 为 （k∈Z），当k＝－1时，函数f（x）的图象关于点 对称，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知向量a＝（1－ sin θ，1），b＝ （θ为锐 角），且a∥b，则tan θ＝ ⁠. 解析：因为a∥b，所以（1－ sin θ）（1＋ sin θ）－ ＝0.所以 cos 2θ＝ ，因为θ为锐角，所以 cos θ＝ ，所以θ＝ ，所以 tan θ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 13. 已知 sin （α＋ ）－ cos α＝ ，则 cos （2α＋ ）＝ ⁠ ⁠. 解析： sin （α＋ ）－ cos α＝ sin α－ cos α＝ sin （α－ ）＝ ，∴ cos （2α＋ ）＝ cos ［2（α－ ）＋π］＝－ cos ［2（α－ ）］＝2 sin 2（α－ ）－1＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 14. 若函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（0＜ω＜ ，｜φ｜＜ ）的部 分图象如图所示，A（0， ），C（2，0），并且AB∥x轴， 则 cos ∠ACB的值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析：由已知f（0）＝2 sin φ＝ ，又｜φ｜＜ ，所以φ＝ ， 所以f（x）＝2 sin ，由f（2）＝0，即2 sin ＝ 0，所以2ω＋ ＝2kπ＋π，k∈Z，解得ω＝kπ＋ ，k∈Z，而0＜ ω＜ ，所以ω＝ ，所以f（x）＝2 sin ，令f（x）＝ ，得 x＋ ＝2kπ＋ 或 x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，所以x＝ 6k或x＝6k＋1，由题图可知，B（1， ）.所以 ＝（－2， ）， ＝（－1， ），所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2， 所以 cos ∠ACB＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知向量a＝（1， sin θ），b＝（2，1）. （1）当θ＝ 时，求向量2a＋b的坐标； 解： 因为θ＝ ，所以a＝ ，所以2a＋b＝ 2 ＋（2，1）＝（4，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若a∥b，且θ∈ ，求 sin 的值. 解： 因为a∥b，所以 sin θ＝ . 又θ∈ ，所以 cos θ＝ ， 所以 sin ＝ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 16. （本小题满分15分）已知平面四边形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2，｜ ｜＝ ，向量 ， 的夹角为 . （1）求 · ； 解： 根据题意，画出平面四边形ABCD的 示意图，如图①所示. 因为｜ ｜＝｜ ｜＝2，∠BAD＝ ， 所以△ABD为等边三角形，则｜ ｜＝2. 又｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ， 所以｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，则△BCD为直角三角形，且∠C＝ ，∠DBC＝ . 所以∠ABC＝ ＋ ＝ ，所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）点E在线段BC上，求 · 的最小值. 解： 根据题意，建立如图②所示的 平面直角坐标系. 易知A（0，2），D（ ，1），设E （a，0），0≤a≤ ， 则 ＝（－a，2）， ＝（ －a，1）， 所以 · ＝（－a，2）·（ － a，1）＝a2－ a＋2＝ ＋ . 所以当a＝ 时， · 取得最小值 . 故 · 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝（2 cos 2x－1） sin 2x＋ cos 4x. （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解： ∵f（x）＝（2 cos 2x－1） sin 2x＋ cos 4x ＝ cos 2x sin 2x＋ cos 4x＝ （ sin 4x＋ cos 4x） ＝ sin ， ∴函数f（x）的最小正周期T＝ . 令2kπ＋ ≤4x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 得 ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z. ∴函数f（x）的单调递减区间为［ ＋ ， ＋ ］，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若α∈（0，π），且f ＝ ，求tan（α＋ ）的值. 解： ∵f ＝ ，∴ sin ＝1. 又α∈（0，π），∴－ ＜α－ ＜ ， ∴α－ ＝ ，故α＝ . 因此tan ＝ ＝ ＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）已知向量 ＝（ cos x， sin x）， ＝ ，且x∈［－ ， ］. （1）若f（x）＝ · ，求函数f（x）关于x的解析式； 解： f（x）＝ · ＝ cos x cos x－ sin x sin x ＝ cos ＝ cos 2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）求f（x）的值域； 解： 由（1）知f（x）＝ cos 2x， ∵x∈ ，∴2x∈ ， ∴ cos 2x∈[0，1].故函数f（x）的值域为[0，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解： 由（2）知2f（x）＋a∈[a，a＋2]，即D＝ [a，a＋2]. ①当a＋2≤－1，即a≤－3时，g（t）min＝g（a＋2）＝ （a＋2）2＋（a＋2）－2＝2，解得a＝－6或a＝0（舍）. ②当a＜－1＜a＋2，即－3＜a＜－1时，g（t）min＝g （－1）＝ －1－2＝－ ，不合题意. ③当a≥－1时，g（t）min＝g（a）＝ a2＋a－2＝2，解 得a＝2或a＝－4（舍）. 综上所述，a＝2或a＝－6. （3）设t＝2f（x）＋a的值域为D，且函数g（t）＝ t2＋t－2 在D上的最小值为2，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F 分别为BC，AC上的两点，且 ＝ ， ＝λ （0≤λ≤1），AE，BF相交于点P. （1）求｜ ｜的值； 解： 因为 ＝ ，所以 ＝ － ＝ － ， 所以｜ ｜2＝｜ － ｜2＝ ｜ ｜2－ · ＋｜ ｜2， 得｜ ｜2＝ ×42－ ×4×4× ＋42＝13， 所以｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）试问：当λ为何值时，AE⊥BF？ 解： 因为 ＝λ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋λ ， 所以 · ＝（ ＋λ ）·（ － ）＝ · －｜ ｜2＋ λ · －λ · ＝ ×4×4× －42＋ λ×4×4× －λ×4×4×（－ ）＝－ 10＋14λ， 因为AE⊥BF，所以 · ＝0，即－10＋14λ＝0，解得 λ＝ ，故当λ＝ 时，AE⊥BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （3）求证： · ≥ · . 解： 证明： ＝ － ＝－ －（λ－1） ＝－ ＋（1－λ） ， · ＝ ·［－ ＋（1－λ） ］＝－ · ＋（1－λ） · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） ＝－ ×4×4× cos 60°＋（1－λ）×4×4× cos 120° ＝－ ×4×4× ＋（1－λ）×4×4×（－ ）＝8λ－10， 因为0≤λ≤1，所以 · － · ＝－10＋14λ－ （8λ－10）＝6λ≥0， 所以 · ≥ · . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） $