章末检测（8）向量的数量积与三角恒等变换-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦向量的数量积与三角恒等变换，通过基础题型导入，如向量垂直条件、三角公式应用，搭建从单一知识点到综合应用的学习支架，衔接向量运算与三角变换的知识脉络。 其亮点在于以数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）为核心，如解答题中向量投影推导、三角公式综合应用，培养学生逻辑推理与运算能力。结合“黄金分割构图”等实例，增强应用意识，助力学生巩固知识，教师可高效开展检测与教学。

章末检测（八）　 向量的数量积与三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量a＝（－1，3），b＝（1，k），若a⊥b，则实数k的值 是（　　） A. 3 B. －3 C. D. － 解析： 　∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 2. ＝（　　） A. 2 B. C. D. 解析： 　 ＝ ＝ ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 3. 已知 sin ＝ ，则 cos ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵ sin ＝ ，∴ cos ＝ cos ＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 4. 已知｜a｜＝｜b｜＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在 向量b上的投影向量为 e，则向量a与b的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上 的投影向量为（｜a｜ cos θ）e＝ e，｜a｜＝3，则有 cos θ＝ .又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 5. 已知 sin 2α＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（α＋ β）＝（　　） A. －1 B. －2 C. － D. 解析： 　由 sin 2α＝ ，且 ＜2α＜π，可得 cos 2α＝－ ，所 以tan 2α＝－ ，所以tan（α＋β）＝tan[2α－（α－β）]＝ ＝ ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 6. 已知向量a＝（1， ），b＝（3，m）.若向量b在a方向上的投 影的数量为3，则实数m＝（　　） A. 2 B. C. 0 D. － 解析： 　因为向量b在a方向上的投影的数量为 ，所以 ＝ ＝ ＝3，解得m＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 7. 已知 sin （α＋2β）＝ ， cos β＝ ，α，β为锐角，则 sin （α ＋β）的值为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为 sin （α＋2β）＝ ， cos β＝ ，α，β为锐 角，又 cos （2β）＝2 cos 2β－1＝－ ＜0，所以α＋2β大于 90°.由同角三角函数关系，可得 cos （α＋2β）＝－ ， sin β ＝ ，所以 sin （α＋β）＝ sin [（α＋2β）－β]＝ sin （α ＋2β） cos β－ cos （α＋2β） sin β＝ × － × ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 8. 已知向量a＝（ cos θ， sin θ），b＝（1， ），其中θ∈[0， π]，则a·b的取值范围是（　　） A. [－1，2] B. [－1，1] C. [－2，2] D. [－ ，2] 解析： 　a·b＝ cos θ＋ sin θ＝2 sin ，∵θ∈[0， π]，∴θ＋ ∈ ，∴ sin ∈ ， ∴a·b∈[－1，2].故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知0＜θ＜ ，若 sin 2θ＝m， cos 2θ＝n且m≠n，则下列选 项中与tan 恒相等的有（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵ sin 2θ＝m， cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴ ＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 10. 已知 sin α＝－ ，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是 （　　） A. sin 2α＝－ B. sin ＝ C. cos ＝－ D. tan ＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵180°＜α＜270°，∴ cos α＝－ ，∴ sin 2α ＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ，故A错误.∵90°＜ ＜135°，∴ sin ＝ ＝ ＝ ； cos ＝－ ＝ ＝－ ；tan ＝ ＝－2，故B、C、D均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 11. 设函数f（x）＝ sin ＋ cos ，则f（x）（　　） A. 是偶函数 B. 在 单调递减 C. 最大值为2 D. 其图象关于直线x＝ 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　f（x）＝ sin ＋ cos （2x＋ ）＝ sin ＝ cos 2x.选项A，f（－x）＝ cos （－2x） ＝ cos 2x＝f（x），它是偶函数，A正确；选项B，x∈ ，所以2x∈（0，π），因此f（x）在 上单调递减，B 正确；选项C，f（x）＝ cos 2x的最大值为 ，C不正确；选 项D，当x＝ 时，f（x）＝ cos ＝－ ，因此当x＝ 时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝ 对称，D正确. 故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知2 sin α＋ cos β＝ ，2 cos α＋ sin β＝－ ，则 sin （α＋ β）＝ ⁠. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析：由2 sin α＋ cos β＝ 两边平方可得4 sin 2α＋4 sin α cos β＋ cos 2β＝ 　①，由2 cos α＋ sin β＝－ 两边平方可得4 cos 2α＋4 cos α sin β＋ sin 2β＝ 　②，①＋②，可得5＋4 sin α cos β＋4 cos α sin β＝3，即4 sin （α＋β）＝－2，即 sin （α＋β）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 13. 已知向量a＝（2，4），b＝（－2，2），若c＝a＋（a·b） b，则｜c｜＝ 　6 　， cos ＜a，b＞＝ 　 　. 解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝ （－6，12），｜c｜＝ ＝6 . cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ . 6 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 14. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到 美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照 片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是 指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交 叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割 点.若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB＝α，则 －tan α ＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析：依题意 ＝ ，所以tan α＝ ，所以 －tan α＝ －tan α＝ －tan α＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是 120°. （1）求a·b及｜a＋b｜的值； 解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝－16，｜a＋ b｜＝ ＝ ＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？ 解： 由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k －1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0， 解得k＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－ 1，x∈R. （1）求f（x）的最大值； 解： f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin . 因为x∈R，所以f（x）的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若点P（－3，4）在角α的终边上，求f（α＋ ）的值. 解： 由（1）得f ＝ sin ＝ sin ＝ cos 2α. 由P（－3，4）在角α的终边上，得 cos α＝－ . 所以f ＝2 cos 2α－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已 知A（2，3），B（1，4），C（3，3）. （1）求向量 与 夹角的余弦值； 解： 因为A（2，3），B（1，4），C（3，3）， 所以 ＝（2，3）， ＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故向量 与 夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若点D满足 ∥ ， ⊥ ，求点D的坐标及向量 在向量 上的投影向量的坐标. 解： 依题意可得 ＝（1，4）， ＝（3，3）， 由 ∥ ，不妨设 ＝λ ＝（λ，4λ） （λ≠0）， 所以 ＝ ＋ ＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2， 4λ＋3）， 因为 ⊥ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 所以 · ＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝ －1， 所以 ＝（1，－1），即D（1，－1）， 所以 · ＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜ ｜＝ ＝ ， 所以向量 在向量 上的投影向量为 · ＝ ·（1，4）＝（－ ，－ ）， 故向量 在向量 上的投影向量的坐标为（－ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）在①tan α＝4 ，②7 sin 2α＝8 cos α，③tan ＝ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问 题.已知0＜β＜α＜ ， 　　， cos （α－β）＝ . （1）求 sin 的值； （1） sin ＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ （ sin α ＋ cos α）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （1） sin ＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ （ sin α ＋ cos α）＝ ＝ . 解：选条件①：因为tan α＝4 ，所以 ＝4 . 由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1， 解得或因为α∈ ， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）求β. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：因为 cos （α－β）＝ ，所以由 sin 2（α－β）＋ cos 2（α－β）＝1，解得 sin 2（α－β）＝ . 因为0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ， 所以 sin （α－β）＝ ， 所以 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－ β）＋ sin （α－β） sin α＝ × ＋ × ＝ ， 由0＜β＜ ，所以β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 选条件②：因为7 sin 2α＝8 cos α， 所以14 sin α cos α＝8 cos α， 因为α∈ ，所以 cos α≠0， 所以 sin α＝ . 由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 cos 2α＝ . 因为α∈ ，所以 cos α＝ . 以下同①的解法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 选条件③：因为tan ＝ ， 所以 cos α＝ cos 2 － sin 2 ＝ ＝ ＝ . 由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1，得 sin 2α＝ . 因为α∈ ，所以 sin α＝ . 以下同①的解法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）已知斜三角形ABC. （1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C； 解： 证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－ （A＋B）]＝－tan（A＋B）， ∴tan C＝－ ， ∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B）， ∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） ② ； 解： ①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40° ＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋ ＝tan 20°tan 40°tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋ ＝－ tan 20°tan 40°＋ tan 20°tan 40°＋ ＝ . ② ＝ ＝tan 120°＝－ . （2）利用（1）中结论，求值： ①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值. 解： ∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜ 45°，且A＋B＝45°，∴tan A＞0，tan B＞0， ∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°＝1－tan Atan B≥1－ ，∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0， 解得tan A＋tan B≥2 －2或tan A＋tan B≤－2 －2（舍去）， ∴tan A＋tan B≥2 －2，当且仅当tan A＝tan B＝ －1时 取等号，∴tan A＋tan B的最小值为2 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） $