第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦向量与三角恒等变换核心知识，系统梳理向量概念、运算及三角两角和差、二倍角公式，通过知识体系框架串联前后知识点，以公式整理和例题解析为学习支架，助力学生构建完整知识网络。 其亮点在于紧扣数学运算与逻辑推理核心素养，精选高考真题及培优题（如向量数量积应用、三角恒等变换证明），采用多解法对比（如向量最值的代数与坐标法），培养学生运算能力与推理意识。教师可借助分层例题提升教学效率，学生能夯实基础并拓展思维。

章末复习与总结 数学·必修第三册（B版） 　　 一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学 问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都 彰显核心素养中的数学运算. 数学·必修第三册（B版） 培优一 平面向量的数量积 【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b ＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A. －2 B. －1 解析： 法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a） ＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. C. 1 D. 2 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－ 4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－ 4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以 （x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. 数学·必修第三册（B版） （2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a －b方向上的投影的数量为（　　） A. 1 B. 解析：由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－ b｜· cos ＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜ cos ＜a，a－b＞＝ ＝ .又a·b ＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝2×2× cos 120°＝－2，｜a｜＝｜ b｜＝2，∴｜a｜ cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ，故选B. C. D. 数学·必修第三册（B版） 培优二 平面向量中的最值问题 【例2】　已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤ .设a＝e1 ＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则 cos 2θ的最小值 是 ⁠. 　 数学·必修第三册（B版） 解析：法一　因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤ ， 所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥ . 因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ， 所以 cos 2 θ＝ ＝ ＝ ＝ . 不妨设t＝e1·e2，则t≥ ， cos 2 θ＝ ， 数学·必修第三册（B版） 又y＝ 在 上单调递增， 所以 cos 2 θ≥ ＝ ， 所以 cos 2 θ的最小值为 . 数学·必修第三册（B版） 法二　由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（ cos x， sin x）. 因为｜2e1－e2｜≤ ，所以 ≤ ， 得5－4 cos x≤2，即 cos x≥ . 易知a＝（1＋ cos x， sin x），b＝（3＋ cos x， sin x）， 所以a·b＝（1＋ cos x）（3＋ cos x）＋ sin 2 x＝4＋4 cos x， ｜a｜2＝（1＋ cos x）2＋ sin 2 x＝2＋2 cos x，｜b｜2＝（3＋ cos x） 2＋ sin 2 x＝10＋6 cos x， 所以 cos 2θ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B版） 不妨设m＝ cos x，则m≥ ， cos 2 θ＝ ， 又y＝ 在 上单调递增， 所以 cos 2 θ≥ ＝ ， 所以 cos 2 θ的最小值为 . 数学·必修第三册（B版） 培优三 三角函数式的求值 【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知 ＝ ，则tan （α＋ ）＝（　B　） A. 2 ＋1 B. 2 －1 C. D. 1－ B 数学·必修第三册（B版） 解析： 根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以 tan α＝1－ ，所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1， 故选B. 数学·必修第三册（B版） （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β ＝2，则 cos （α－β）＝（　A　） A. －3m B. － C. D. 3m A 解析： 因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m， 即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A. 数学·必修第三册（B版） （3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限 角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋ β）＝ ⁠. － 　 解析： 法一　由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋ ，（2m＋2k）π ＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜0，则 ＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，解得 sin （α＋β）＝－ . 数学·必修第三册（B版） 法二　由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为 第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则 r＝｜OP｜＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ . 数学·必修第三册（B版） 法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋ tan β＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β） ＝－2 ，结合 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋ β）＝－ . 数学·必修第三册（B版） 二、逻辑推理 　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问 题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间 的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维 品质，在本章中向量数量积的应用、三角函数式的化简与证明、三角 恒等变换与三角函数的综合应用都是提升学生的逻辑推理能力. 数学·必修第三册（B版） 培优四 向量数量积的应用 【例4】　若三个不共线的向量 ， ， ，满足 · ＝ · ＝ · ＝ 0，则点O为△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由题意知 与 ＋ ＝ （E在∠BAC的外角 平分线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在 ∠ABC的平分线上.故点O为△ABC的内心. 数学·必修第三册（B版） 培优五 三角函数式的化简与证明 【例5】　证明： ＝tan θ. 证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 数学·必修第三册（B版） 法二　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 数学·必修第三册（B版） 培优六 三角恒等变换与三角函数的综合问题 【例6】　已知函数f（x）＝ cos x· sin － cos 2x＋ ， x∈R. （1）求f（x）的最小正周期； 数学·必修第三册（B版） 解： 由已知，有f（x）＝ cos x·（ sin x＋ cos x）－ cos 2x＋ ＝ sin x· cos x－ cos 2x＋ ＝ sin 2x－ （1＋ cos 2x）＋ ＝ sin 2x－ cos 2x ＝ sin ， f（x）的最小正周期T＝ ＝π. 数学·必修第三册（B版） （2）求f（x）在 上的最小值和最大值. 解： ∵f（x）在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数， f ＝－ ，f ＝－ ，f ＝ ， ∴函数f（x）在闭区间 上的最大值为 ，最小值为－ . 数学·必修第三册（B版） $