8.2.3 倍角公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦二倍角公式，通过金刚石晶体键角、大雁队列夹角等自然情境导入，引导学生从两角和差公式出发推导倍角公式，搭建从已知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于情境贴近生活激发兴趣，题型覆盖求值、化简、证明及函数综合应用，每个题型附通性通法总结，培养逻辑推理与数学运算核心素养。例如推导公式时强化逻辑链条，例题解析注重运算技巧，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

8.2.3　倍角公式 新课程标准解读 核心素养 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和 证明等问题 数学运算 目录 数学·必修第三册（B版） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字 形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的 “默契”？ 　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构； 大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖 涡流，提高升力，以达到省力的作用. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么 样的数学关系？ （2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三 角函数公式？如何推导？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　二倍角公式 目录 数学·必修第三册（B版） 函数 公式 简记符号 β＝α 正弦 sin 2α＝ ⁠ ⁠ Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝ ⁠ ⁠ ＝ ⁠ ＝ ⁠ Cα＋β C2α 正切 tan 2α＝ Tα＋β T2α 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ 提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2 的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角， 是 的 二倍角等. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 二倍角公式有哪些形式的变形？ 提示：（1）1＋ cos 2α＝2 cos 2α； （2）1－ cos 2α＝2 sin 2α； （3） cos 2α＝ ； （4） sin 2α＝ ； （5）（ sin α± cos α）2＝1± sin 2α. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. （　×　） （2）3α是 α的2倍角，6α是3α的2倍角. （　√　） （3）∃α∈R，使得 sin 2α＝2 sin α成立. （　√　） （4）∀α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　） × √ √ × 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 cos α＝ ，则 cos 2α等于 　－ 　. 解析：由 cos α＝ ，得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－ . 3. sin 15° sin 75°的值为 ⁠. 解析：原式＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ . 4. 设tan α＝－ ，则tan 2α的值是 　 ⁠. 解析：∵tan α＝－ ，∴tan 2α＝ ＝ ＝ . － 　 　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　题型一 给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1） － cos 2 ； 解： 原式＝ － ＝ － － ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）2 tan 15°＋tan215°； 解： 原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝ × （1－tan215°）＋tan215°＝1. （3）tan 15°＋ . 解： 原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 给角求值问题的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的 基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用 二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 求下列各式的值： （1） ；（2） . 解：（1）原式＝ ＝ ＝2. （2）原式＝ ＝ ＝ ＝tan 60°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 计算： . 解：原式＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 给值求值问题 【例2】　已知 cos α＝－ ， sin β＝ ，α是第三象限角， β∈ . 目录 数学·必修第三册（B版） （1）求 sin 2α的值； 解： 因为α是第三象限角， cos α＝－ ， 所以 sin α＝－ ＝－ ， 所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× ×（－ ）＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求 cos （2α＋β）的值. 解： 因为β∈ ， sin β＝ ， 所以 cos β＝－ ＝－ ， cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝ ， 所以 cos （2α＋β）＝ cos 2α cos β－ sin 2α sin β＝ × － × ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 直接应用二倍角公式求值的三种类型 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知 sin α＝3 cos α，那么tan 2α的值为（　　） A. 2 B. －2 C. D. － 解析： 　因为 sin α＝3 cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知α∈（0，π），且3 cos 2α－8 cos α＝5，则 sin α＝ （　　） A. B. C. D. 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵3 cos 2α－8 cos α＝5，∴3（2 cos 2α－1）－8 cos α＝5，∴6 cos 2α－8 cos α－8＝0，∴3 cos 2α－4 cos α－4＝ 0，解得 cos α＝2（舍去）或 cos α＝－ .∵α∈（0，π）， ∴ sin α＝ ＝ .故选A. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知α为第一象限角且 cos α＝ ，求 的值. 解：∵ cos α＝ 且α为第一象限角，∴ sin α＝ . ∴ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝－ ， sin 2α＝2 sin α cos α＝ .∴原式＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 利用二倍角公式化简与证明 【例3】　求证： ＝ sin 2α. 证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sin cos cos α＝ sin α cos α＝ sin 2α＝右边. ∴原式成立. 目录 数学·必修第三册（B版） 法二　左边＝ ＝ cos 2α· ＝ cos 2α·tan α＝ cos α sin α＝ sin 2α＝右边. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 证明三角恒等式问题的原则及一般步骤 （1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都 比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； （2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方 面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集 中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 化简求值： . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B. 证明：左边＝ － ＝ ＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A sin 2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型四 倍角公式与三角函数性质的综合 【例4】　求函数f（x）＝5 cos 2x＋ sin 2x－4 sin x cos x， x∈ 的最小值，并判断其单调性. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：f（x）＝5 · ＋ · －2 sin 2x ＝3 ＋2 cos 2x－2 sin 2x ＝3 ＋4 ＝3 ＋4 ＝3 ＋4 sin ＝3 －4 sin ， ∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ， 目录 数学·必修第三册（B版） ∴ sin ∈ ， ∴当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最小值为3 －2 . ∵y＝ sin 在 上单调递增， ∴f（x）在 上单调递减. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 求解三角函数综合问题的一般步骤 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x，x∈R，则f（x）是 （　　） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x＝2 sin 2x cos 2x＝ sin 22x＝ · ＝ － cos 4x，所以函数f（x）为偶函数， 且最小正周期为 ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x cos x在区间 上的最大值是 （　　） A. B. 1 C. D. 1＋ 解析： 　由题意得f（x）＝ ＋ sin 2x＝ ＋ sin .∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ，∴f（x）max＝ ＋1＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 1. （多选）下列各式中，值为 的是（　　） A. 2 sin 15° cos 15° B. cos 215°－ sin 215° C. 1－2 sin 215° D. sin 215°＋ cos 215° 解析： 　对A，2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故A错误； 对B， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故B正确；对C，1－ 2 sin 215°＝ cos 30°＝ ，故C正确；对D， sin 215°＋ cos 215° ＝1，故D错误.故选B、C. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　） A. 30°或60° B. 45° C. 60° D. 30° 解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin α－1＝0，即（ sin α＋1）·（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角， 所以 sin α＝ ，所以α＝30°. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 若θ∈ ， sin 2θ＝ ，则 sin θ＝ 　 　. 解析：由θ∈ ，得2θ∈ ，∴ cos 2θ＝－ ＝－ ＝－ .∵ cos 2θ＝1－2 sin 2θ， sin θ ＞0，∴ sin θ＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝2 cos 2 －1的最小正周期为 ⁠. 解析：f（x）＝ cos ＝ sin 2x，故f（x）的最小正周期 为π. π　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 求下列各式的值： （1） cos cos ；（2） － cos 2 ； 解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . （2）原式＝ ＝－ ＝－ cos ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为 ＝ ， 所以 ＝ . 故tan α＝－3，所以tan 2α＝ ＝ ＝ . （3）已知 ＝ ，求tan 2α. 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. ＝（　　） A. B. C. 1 D. －1 解析： 　原式＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 若tan α＝3，则 ＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析： 　 ＝ ＝ ＝2tan α＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　） A. B. － C. － D. 4 解析： 　因为f（tan x）＝ ，所以f（2）＝ ＝－ .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. （多选）已知 sin ＝ ，则 的值可以为（　　） A. B. C. － D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为 ＝ ＝ ，由 sin ＝ ，得 （ sin θ－ cos θ）＝ ，两边平方得 sin 2θ＝ ，所以 cos 2θ＝± .所以原式＝ ＝± ，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 在△ABC中，若 sin B sin C＝ cos 2 ，则△ABC是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由 sin B sin C＝ cos 2 得 sin B sin C＝ ， ∴2 sin B sin C＝1＋ cos A， ∴2 sin B sin C＝1＋ cos [π－（B＋C）]＝1－ cos （B＋C）， ∴2 sin B sin C＝1－ cos B cos C＋ sin B sin C， ∴ cos B cos C＋ sin B sin C＝1，∴ cos （B－C）＝1. 又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°， ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 已知 sin ＝ cos ，则 cos 2α＝（　　） A. 1 B. C. 0 D. －1 解析： 　由 sin ＝ cos ，可得 cos α＋ sin α＝ cos α＋ sin α⇒ sin α＝ cos α⇒tan α＝1， cos 2α＝ ＝ ＝0，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 若 sin x＝－ ，则 cos 2x＝ 　 　. 解析：因为 sin x＝－ ，所以由二倍角公式，得 cos 2x＝1－2 sin 2x＝1－2× ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知 sin ＋ cos ＝ ，那么 sin θ＝ 　 　， cos 2θ＝ 　 　. 解析：∵ sin ＋ cos ＝ ，∴ ＝ ，即1＋2 sin cos ＝ ，∴ sin θ＝ ，∴ cos 2θ＝1－2 sin 2θ＝1－2× ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 已知α是第二象限的角，tan（π＋2α）＝－ ，则tan α＝ ⁠ ⁠. 解析：由tan（π＋2α）＝－ ，得tan 2α＝－ ，又tan 2α＝ ＝－ ，解得tan α＝－ 或tan α＝2，又α是第二象限的 角，所以tan α＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： 因为 cos ＝ ，α∈ ， 所以 ＝ ， cos α＋ sin α＝ ，平方化简可得 sin 2α＝－ ，又α∈ ， 所以 sin α＞0， cos α＜0， cos α－ sin α＝－ ＝－ ＝－ . 10. 已知 cos ＝ ，α∈ . 求：（1） cos α－ sin α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： cos ＝ cos 2α－ sin 2α ＝ （ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）－ sin 2α＝ . （2） cos 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）已知函数f（x）＝ 是奇函数，则有（　　） A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称 B. 函数f（x）的图象关于点 对称 C. 函数f（x）是奇函数 D. 函数f（x）的最小正周期为π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为f（x）＝ ＝ ＝－tan x ，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点 对称，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan（β－ α）＝ ，则tan α＝ 　 　，β＝ 　 　. 解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin α cos α，即2 sin 2α＝ sin α cos α.∵α为锐角，∴ sin α≠0， ∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ . 　 　 法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝ 1.∵β为锐角，∴β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 已知函数f（x）＝ cos ＋ sin 2x－ cos 2x＋2 sin x cos x.　 （1）化简f（x）； 解： f（x）＝ cos 2x－ sin 2x－ cos 2x＋ sin 2x ＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若f（α）＝ ，2α是第一象限角，求 sin 2α. 解： f（α）＝ sin ＝ ，2α是第一象限角， 即2kπ＜2α＜ ＋2kπ（k∈Z）， ∴2kπ－ ＜2α－ ＜ ＋2kπ（k∈Z）， ∴ cos ＝ ， ∴ sin 2α＝ sin ＝ sin cos ＋ cos sin ＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个 是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那 么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有 两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美 的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为 108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一 个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中， ＝ .根 据这些信息，可得 cos 324°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：由题图知，A＝36°，则 A＝18°， sin 18°＝ × ＝ × ＝ ，∴ cos 36°＝1－2 sin 218＝1－2× ＝ ，∴ cos 324°＝ cos （360°－36°）＝ cos 36°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于 同一个常数. cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°； cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）； cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （1）求出这个常数； 解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15° ＝2 cos 215°－ sin 215°＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°）＝1＋ － × ＝ . 同理，其他两式的值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等 式，并证明你的结论. 解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β － sin α sin β＝ . 证明： cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β ＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－ α） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） ＝ cos 2α＋ － sin α（ cos α－ sin α） ＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $