8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正切”，通过网格图形中α、β的正切值问题导入，连接正切函数定义，搭建新旧知识学习支架，系统呈现公式推导、变形及应用脉络。 其亮点在于以情境问题激发探究，结合公式结构辨析、多题型例题（如拆角求tan15°、判定三角形形状）培养数学抽象与逻辑推理，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学提升课堂效率。

第二课时　 两角和与差的正切 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ， ∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　两角和与差的正切 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan（α＋β） ＝ ⁠ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ ＋ ，k∈Z，且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 tan（α－β） ＝ ⁠ Tα－β α，β，α－β≠kπ ＋ ，k∈Z，且tan α·tan β≠－1 　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋ β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；③tan αtan β＝1－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？ 提示：公式Tα±β的 右侧为分式形式，其 中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立. （　√　） （2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立. （　×　） （3）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （　×　） √ × × 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知tan α＝3，tan β＝ ，则tan（α＋β）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　∵tan α＝3，tan β＝ ，∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 设角θ的终边过点（2，3），则tan ＝ 　 　. 解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝ ，故 tan ＝ ＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用公式化简求值 【例1】　求下列各式的值： （1）tan 15°； 解： tan 15°＝tan（45°－30°）＝ ＝ ＝ ＝2－ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2） ； 解： ＝ ＝ ＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1. 目录 数学·必修第三册（B版） （3）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°. 解：因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝ ＝ ， 所以tan 23°＋tan 37°＝ （1－tan 23°tan 37°）， 所以原式＝ （1－tan 23°tan 37°）＋ tan 23°tan 37°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan （α－β））.三者知二可表示或求出第三个. 2. 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）tan 36°＋tan 84°－ tan 36°tan 84°. 解： 原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－ tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－ tan 36°tan 84°＝ tan 120°＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 根据条件求值或角 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐 角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B 的横坐标分别为 ， . 目录 数学·必修第三册（B版） （1）求tan（α＋β）的值； （1）tan（α＋β）＝ ＝ ＝－3. 解：由条件得 cos α＝ ， cos β＝ ， 因为α，β为锐角， 所以 sin α＝ ， sin β＝ ， 所以tan α＝7，tan β＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求α＋2β的值. 解： tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β] ＝ ＝ ＝－1， 因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜ ， 所以α＋2β＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 通过先求角的某个三角函数值来求角. 2. 选取函数时，应遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦 较好；若角的范围为 ，选正弦较好. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 给值求角的一般步骤： （1）求角的某一三角函数值； （2）确定角的范围； （3）根据角的范围写出所求的角. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知 sin α＝ ，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－ ，则 tan β的值为（　　） A. － B. C. － D. 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 因为α为第二象限角，所以 cos α＜0，解得 cos α＝－ ，所以tan α＝－ .tan β＝tan[（α＋β）－α]＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，α，β∈（0，π），求2α －β的值. 解：因为tan β＝－ ，tan（α－β）＝ ， 所以tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝ ， 目录 数学·必修第三册（B版） tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝ ＝ ＝1.因为tan α＝ ＞0，tan β＝－ ＜0， 所以α∈ ，β∈ . 所以α－β∈（－π，0）. 又因为tan（α－β）＝ ＞0， 所以α－β∈ ，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π， 0）. 而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 判定三角形形状 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C） ＝ ＝ ＝－ . 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝ ＝ ＝ ， 又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°. 所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－ tan B·tan C＝－ ，且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？ 目录 数学·必修第三册（B版） 解：由tan A＝tan [π－（B＋C）] ＝－tan（B＋C）＝ ＝ ＝ . 又0°＜A＜180°，所以A＝60°. 由tan C＝tan [π－（A＋B）] ＝ ＝ ＝ . 又0°＜C＜180°， 所以C＝60°，所以B＝60°. 所以△ABC是等边三角形. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 （1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ； ＝ tan ； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 已知α∈ ， sin α＝ ，则tan ＝（　　） A. B. － 解析： 　因为α∈ ， sin α＝ ，所以 cos α＝ ＝ ，所以tan α＝ ，所以tan ＝ ＝ － . C. D. － 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知α＋β＝－ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是 （　　） A. －1 B. 1 C. 2 D. 4 解析： 　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1 －tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. tan ＝ 　－2＋ 　. 解析：tan ＝－tan ＝－tan ＝－ ＝－2＋ . －2＋ 　 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知α，β均为锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β＝ 　 　. 解析：因为tan α＝ ，tan β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以 α＋β＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，求tan 的值. 解：因为α＋ ＝（α＋β）－ ， 所以tan ＝tan ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点P（－3，－4），则tan ＝（　　） A. － B. －7 解析： 　由三角函数的定义可得tan α＝ ＝ ，所以tan ＝ ＝ ＝－7.故选B. C. D. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析： 　由已知得2tan θ－ ＝7，得tan θ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　） A. m B. （1－m） C. （m－1） D. （m＋1） 解析： 　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝ （1－m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知tan ＝ ，tan ＝－ ，则tan 的值为 （　　） A. B. C. D. 1 解析： 　tan（α＋ ）＝tan［ － ］＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. （多选）下列结果为 的是（　　） A. tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°·tan 35° B. （1＋tan 20°）（1＋tan 40°） C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋ 35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝ － tan 25°tan 35°， 所以原式＝ － tan 25°tan 35°＋ tan 25°tan 35°＝ . 对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋ （1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋ －（ －1）tan 20°tan 40°≠ .对选 项C，原式＝ ＝tan 60°＝ .对选项D，原式＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则 的值为 （　　） A. B. C. D. 解析： 　 ＝tan ＝tan［（α＋β）－ ］＝ ＝ ＝ ＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝ ，则tan（α＋β） ＝ ⁠. 解析：tan β＝ ＝ ＝tan ，∵ －α， β∈ 且y＝tan x在（－ ， ）上是单调函数，∴β＝ －α，∴α＋β＝ ，∴tan（α＋β）＝tan ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 若tan ＝－ ，则tan ＝ 　 　　，tan α＝ ⁠. 解析：tan ＝ ＝ ＝－ ，解得tan α＝－ 4，tan ＝ ＝ ＝ . 　　 －4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为 ⁠. 解析：由题图可知tan α＝ ，tan β＝ ，且α，β均为锐角，所 以tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.因为α＋β∈（0， π），所以α＋β＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 已知tan ＝2，tan β＝ . （1）求tan α的值； 解： 因为tan ＝2，所以 ＝2，所以 ＝2，解得tan α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求 的值. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝tan（β－α）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （1＋tan 20°）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）（1＋tan 25°） 等于（　　 ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 　由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋ tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan 24°）＝2.故原式等于4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝－2，则tan ＝ ⁠ ，tan（α＋2β）＝ ⁠. 解析：tan ＝tan ＝ ＝ ＝－8.tan ＝ ＝－ 2，tan β＝－ ，tan（α＋2β）＝ ＝ . － 8　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈ ， sin α＝ ；③α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，这三个条件中任选 一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知 　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得 tan β＝ . 选择条件②，∵α∈ ， sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ，∴tan α＝ ＝ ， 则tan （α＋β）＝ ＝ ＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解得tan β＝ . 选择条件③，∵α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ， 由 sin 2α＋ cos 2α＝1，则可得 sin α＝ ， cos α＝ ， ∴tan α＝ ＝3， 则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. （多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg ，且α＋β＝ ， 则实数a的值可以为（　　） A. B. 1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为α＋β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ 1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg （10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg ，所以lg（10a）lg ＝0.lg （10a）＝0或lg ＝0.得a＝ 或a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 已知α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ . （1）求 cos （α＋β）的值； 解： ∵α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ ， ∴ cos α＝ ， cos β＝ . ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）是否存在x，y∈ ，使得下列两个式子： ① ＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－ 同时成立？若存 在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： ∵α＋β∈（0，π）， cos （α＋β）＝ ， ∴α＋β＝ ， ∴ ＋y＝α＋β＝ .∴tan ＝ ＝ . ∵tan ·tan y＝2－ ，∴tan ＋tan y＝3－ . ∴tan ，tan y是方程t2－（3－ ）t＋2－ ＝0的两个根. ∵x，y∈ ，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－ ，tan y ＝1. ∴ ＝ ，y＝ ，即存在x＝ ，y＝ 满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $