8.2.1 两角和与差的余弦-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“两角和与差的余弦”，通过电视发射塔高度计算的情境导入，引出15°角余弦值求解问题，以“cos30°是否等于cos60°-cos30°”等问题驱动思考，衔接公式推导与应用，构建从实际问题到数学抽象的学习支架。 其亮点在于用向量数量积推导公式培养逻辑推理，通过给角求值、给值求值等题型提升数学运算能力，通性通法总结助学生掌握解题策略。既让学生学会用数学思维解决问题，又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

8.2.1　 两角和与差的余弦 新课程标准解读 核心素养 1.通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 的过程，进一步体会向量方法的作用 逻辑推理 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式 逻辑推理 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值 数学运算 目录 数学·必修第三册（B版） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平 面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发 射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射 塔的高度. 　　设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC· cos 15°＝60 cos 15°，BC＝AC sin 15°＝60 sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60· cos 15°·tan 60°＝60 cos 15°，所以x＝BD－BC＝60 cos 15°－60 sin 15°，如果能求出 cos 15°， sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　（1）30°＝60°－30°，那么 cos 30°＝ cos 60°－ cos 30°成立吗？类似的15°＝45°－30°，那么 cos 15°＝ cos 45°－ cos 30°成立吗？为什么？ （2）如何用α，β的正弦、余弦值来表示 cos （α－β）呢？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　两角和与差的余弦 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差的余弦 cos （α－β）＝  Cα－β α，β∈R 两角和的余弦 cos （α＋β）＝ Cα＋β α，β∈R cos α· cos β＋ sin α sin β   cos α· cos β－ sin α sin β 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　两角和与差的余弦公式的结构特征 目录 数学·必修第三册（B版） 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.（1） “余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正 弦；（2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两 角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”， 两角差的余弦展开后两项之间用“＋”. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） cos （60°－30°）＝ cos 60°－ cos 30°. （　×　） （2）∃α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α－ cos β成立. （　√　） （3）∀α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β 都成立. （　√　） × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. cos 22° cos 38°－ sin 22° sin 38°的值为（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝ cos （22°＋38°）＝ cos 60°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. cos （－15°）的值是（　　） A. B. C. D. 解析： 　 cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1） cos 345°； 解： cos 345°＝ cos （360°－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2） cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°； 解： cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°＝ cos （45°－ 15°）＝ cos 30°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （3） sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313°. 解： sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313° ＝ sin （180°－17°） sin （180°＋43°）＋ sin （180°＋ 73°）· sin （360°－47°）＝－ sin 17° sin 43°＋ sin 73° sin 47° ＝－ sin 17° sin 43°＋ cos 17° cos 43° ＝ cos （17°＋43°）＝ cos 60°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 含非特殊角的三角函数式求值的解法 （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差（和）的余弦 公式的形式，然后逆用公式求值. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） cos ； 解： cos ＝ cos ＝ cos cos － sin sin ＝ × － × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2） sin 460° sin （－160°）＋ cos 560° cos （－280°）. 解： 原式＝－ sin 100° sin 160°＋ cos 200° cos 280° ＝－ sin 80° sin 20°－ cos 20° cos 80° ＝－（ cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°） ＝－ cos 60°＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 给值（式）求值 【例2】　（1）已知α∈ ，β是第三象限角， sin α＝ ， cos β＝－ .求 cos （α＋β）的值； 目录 数学·必修第三册（B版） 解： ∵α∈ ， sin α＝ ， ∴ cos α＝－ ＝－ ＝－ . ∵β是第三象限角， cos β＝－ ， ∴ sin β＝－ ＝－ ＝－ ， ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × － × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）α，β为锐角， cos （α＋β）＝ ， cos （2α＋β）＝ ， 求 cos α的值. 解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵ cos （α＋β）＝ ，∴0＜α＋β＜ ， 又∵ cos （2α＋β）＝ ，∴0＜2α＋β＜ ， ∴ sin （α＋β）＝ ， sin （2α＋β）＝ ， ∴ cos α＝ cos [（2α＋β）－（α＋β）] ＝ cos （2α＋β）· cos （α＋β）＋ sin （2α＋β）· sin （α＋β） ＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 给值求值的解题步骤 （1）找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函 数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异； 目录 数学·必修第三册（B版） （2）拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的 变换有： α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β） －（α－β）， α＝ [（α＋β）＋（α－β）]，α＝ [（β＋α）－（β －α）]等； （3）求解.结合公式Cα±β求解. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 若tan αtan β＝3，且 sin α sin β＝ ，则 cos （α－β）的值为 （　　） A. － B. 解析： 　因为tan αtan β＝ ＝3，且 sin α sin β＝ ，所 以 cos α cos β＝ ，则 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ＋ ＝ . C. D. 1 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，且α，β均为锐角，求 cos β的值. 解：∵α，β均为锐角， ∴0＜α＋β＜π，∴ sin （α＋β）＞0. 由 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ， 得 sin α＝ ， sin （α＋β）＝ . ∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β）· sin α＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 已知三角函数值求角 【例3】　已知α，β均为锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，求 α－β的值. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：∵α，β均为锐角， cos α＝ ， cos β＝ ， ∴ sin α＝ ， sin β＝ ， ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ . 又 sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0.故α－β ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变条件）本例中条件变为“ cos α＝ ， cos β＝－ ，2π＜α ＜3π，0＜β＜π”，问题不变. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为 cos α＝ ，且2π＜α＜3π， sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 sin α＝ ； 因为 cos β＝－ ，且0＜β＜π， sin 2β＋ cos 2β＝1，所以 sin β＝ . 所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ， 目录 数学·必修第三册（B版） 因为 cos α＝ ＞0，所以2π＜α＜ π， 因为 cos β＝－ ，所以 ＜β＜π，即－π＜－β＜－ ， 所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝ π. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （变条件）本例中条件变为“a＝（ cos α， sin β），b＝（ cos β， sin α），0＜β＜α＜ 且a·b＝ ”，问题不变. 解：a·b＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ cos （α－β）＝ ，又 0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ，故α－β＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内 单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，0＜α＜β＜π，求 α－β的值. 解：因为（ sin α＋ sin β）2＝ ，（ cos α＋ cos β）2＝ ， 以上两式展开两边分别相加得2＋2 cos （α－β）＝1， 所以 cos （α－β）＝－ . 因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 下列式子中，正确的个数为（　　） ① cos （α－β）＝ cos α－ cos β；② cos ＝ sin α； ③ cos （α－β）＝ cos α cos β－ sin α sin β. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解析： 　由 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β知①③ 错误， cos ＝－ sin α，故②错误，故选A. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 计算 cos 8° cos 38°＋ sin 8° sin 38°＝（　　） A. B. C. D. － 解析： 　逆用两角差的余弦公式，得 cos 8° cos 38°＋ sin 8° sin 38°＝ cos （8°－38°）＝ cos （－30°） ＝ cos 30°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β 的值为（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或± 解析： 　由条件得， cos α cos β－ sin α sin β＝ ，　① cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，　② ①＋②得 cos α cos β＝0. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知 cos ＝ cos α，则tan α＝ 　 　. 解析：∵ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α＝ cos α，∴ sin α＝ cos α，∴ ＝tan α＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为α，β都是锐角且 cos α＝ ＜ ， 所以 ＜α＜ ，0＜β＜ ，所以 ＜α＋β＜π， 又 sin （α＋β）＝ ＜ ，所以 ＜α＋β＜π， 所以 cos （α＋β）＝－ ＝－ ， sin α＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α] 5. 设α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α＋β）＝ ，求 cos β的值. ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α ＝－ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. cos 80° cos 35°＋ sin 80° cos 55°＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （多选）下列各式化简正确的是（　　） A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60° B. cos 75°＝ cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30° C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45° D. cos ＝ cos α－ sin α 解析： 　根据两角和与差的余弦公式可知选项A、B、C都正 确，选项D， cos ＝ cos α cos － sin α sin ＝ cos α－ sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知 cos ＝ ，0＜θ＜ ，则 cos θ＝（　　） A. B. 解析： 因为θ∈ ，所以θ＋ ∈ ，所以 sin ＝ .又 cos θ＝ cos ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋ × ＝ . C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知 cos ＝ ，则 cos x＋ cos ＝（　　） A. －1 B. 1 C. D. 解析： 　∵ cos ＝ ，∴ cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos ＝ × ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 若 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，则tan α·tan β＝ （　　） A. 2 B. C. －2 D. － 解析： 　由 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ 可得 则 sin α sin β＝ ， cos α cos β＝ .故tan αtan β＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. （多选）已知α，β，γ∈ ， sin α＋ sin γ＝ sin β， cos β＋ cos γ＝ cos α，则下列说法正确的是（　　） A. cos （β－α）＝ B. cos （β－α）＝－ C. β－α＝ D. β－α＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由已知，得 sin γ＝ sin β－ sin α， cos γ＝ cos α－ cos β.两式分别平方相加，得（ sin β－ sin α）2＋（ cos α－ cos β）2＝1，∴－2 cos （β－α）＝－1，∴ cos （β－α）＝ ，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈ ，∴ sin γ＝ sin β － sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝ ，∴C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. cos （－40°） cos 20°－ sin （－40°） sin （－20°）＝ ⁠. 解析：原式＝ cos （－40°）· cos （－20°）－ sin （－ 40°）· sin （－20°）＝ cos [－40°＋（－20°）]＝ cos （－ 60°）＝ cos 60°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知α∈ ，且 cos ＝－ ，则 sin （α＋ ） ＝ 　 　， cos α＝ 　 　. 解析：∵α∈ ，∴α＋ ∈ ，∴ sin （α＋ ）＝ ＝ ，∴ cos α＝ cos ［（α＋ ）－ ］＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋ × ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 已知 cos ＋ sin α＝ ，则 cos 的值是 　 　. 解析：∵ cos ＋ sin α＝ cos α＋ sin α＝ ，∴ cos α＋ sin α＝ ，∴ cos ＝ cos α＋ sin α＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 已知函数f（x）＝ cos ，x∈R. （1）求f 的值； 解： f ＝ cos ＝ cos ＝ × ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f . 解： ∵ cos θ＝ ，θ∈ ， ∴ sin θ＜0，∴ sin θ＝－ ＝－ ＝－ . ∴f ＝ cos ＝ cos （θ－ ）＝ ＝ （ cos θ× ＋ sin θ× ）＝ cos θ＋ sin θ＝ － ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）满足 cos α cos β＝ － sin α sin β的一组α，β的值 是（　　） A. α＝ π，β＝ π B. α＝ ，β＝ C. α＝ ，β＝ D. α＝ ，β＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由条件 cos α cos β＝ － sin α sin β得 cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，即 cos （α－β）＝ ， α＝ ，β＝ 满足题意，α＝ ，β＝ 也满足题意，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ， ＜α＋β＜ 2π， ＜α－β＜π，则 cos 2α＝ 　－ 　. 解析：因为 cos （α＋β）＝ ， ＜α＋β＜2π，所以 sin （α ＋β）＝－ ；因为 cos （α－β）＝－ ， ＜α－β＜π，所以 sin （α－β）＝ ，所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－ β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α －β）＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边 都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1， －1）. （1）求 cos 的值； 解： 角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定 义：r＝ ＝ ， ∴ sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ， cos ＝ cos α cos － sin α sin ＝ × ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β＝2；②锐角β的终边在直线y＝2x上； ③角β的终边与 π的终边相同.请从上述三个条件中任 选一个，你的选择是 　　，求 cos （α－β）的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： 若选择①，∵tan β＝ ＝2，∴ sin β＝2 cos β， 又∵ sin 2β＋ cos 2β＝1， 即（2 cos β）2＋ cos 2β＝1，即5 cos 2β＝1， cos 2β ＝ ， 又∵β为锐角，∴ cos β＝ ， sin β＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝－ . 若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上； 即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1， 2）， 根据三角函数的定义得r＝ ＝ ， sin β＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝－ . 若选择③，∵角β的终边与 π的终边相同， 又∵ π＝ π＝336×2π＋ π， 即 π与 终边相同，∴β与 终边相同， ∴ sin β＝ sin ＝－ sin ＝－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） cos β＝ cos ＝－ cos ＝－ ， ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝（2 cos A，2 sin A），b＝（3 cos B，3 sin B）.若a，b的夹角的弧度数为 ，则 A－B＝（　　） A. B. － C. ± D. 解析： 　 cos ＝ ＝ ＝ cos A cos B ＋ sin A sin B＝ cos （A－B）.又－ ＜A－B＜ ，∴A－B＝ ± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两 点，O为坐标原点，∠AOP＝ ，∠AOQ＝α，α∈ . （1）若Q ，求 cos 的值； 解： 因为Q ，∠AOQ＝α， 所以 sin α＝ ， cos α＝ ， 则 cos ＝ cos α· ＋ sin α· ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）设函数f（α）＝ · ，求f（α）的值域. 解： 由题意得Q（ cos α， sin α），∠AOP＝ ， 则P ，所以 · ＝ cos α＋ sin α， 即函数f（α）＝ cos α＋ sin α＝ cos . 由α∈ ，得α－ ∈ ， 所以f（α）∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $