拓视野 互斥与独立事件关系的判断-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦互斥事件与独立事件的关系判断，通过现实情境问题导入，梳理概念区别、联系及运算性质，衔接概率基础，为复杂概率计算提供学习支架。 资料以生活实例（如环保问答、电话接听）引导学生用数学眼光观察现实，通过对比分析培养逻辑推理的数学思维，用符号与表格精准表达概率关系，助力学生提升问题解决能力，为教师提供分层教学资源。

拓 视 野　互斥与独立事件关系的判断 1.互斥事件与独立事件的区别与联系 从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容. 2.互斥事件与独立事件的运算性质 已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（）或P（A）＋P（B）－P（AB） A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P（B） A，B都不发生 P（） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（） A，B恰有一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B） A，B中至多有一个发生 P（∪A∪B） 1 1－P（A）P（B） 【例1】　（2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； 解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P（A）＝，且有 即 所以P（B）＝，P（C）＝. （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 解：有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝， 有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A＋B＋C）＝××＋××＋××＝， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝. 【例2】　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. （1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ 解：设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N）， 那么事件Ak彼此互斥， 设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A， 根据互斥事件概率加法公式，得： P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4） ＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4） ＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95. （2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为， 根据对立事件的概率公式，得P（）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05. 1.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则两粒种子都发芽的概率是（　　） A.0.26 B.0.08 C.0.18 D.0.72 解析：D　由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D. 2.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（　　） A.A与B相互独立　 B.A与C互斥 C.B与C互斥 D.与相互独立 解析：D　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确. 3.下列各对事件中，是相互独立事件的为（　　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 解析：B　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故事件A，B不相互独立. 4.（2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－）×（1－）×（1－）＝××＝，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为1－＝. 5.（多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，则（　　） A.P（）＝ B.P（A）＝ C.P（A＋B）＝ D.P（A＋B）＝ 解析：AC　根据事件A，B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，可得P（）＝1－P（A）＝1－＝，故A正确；而P（）＝1－P（B）＝1－＝，所以P（A）＝P（A）P（）＝×＝，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝，故C正确；由概率加法公式可得P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝×＋×＝，故D错误. 6.（多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（　　） A.甲、乙都研发成功的概率为 B.疫苗A研发成功的概率为 C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D.仅有一款疫苗研发成功的概率为 解析：ACD　用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A.根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝；B.由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（）＝；C.两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝；D.所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝.故选A、C、D. 7.设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P（AB）＝0.56，P（A∪B）＝0.94. 解析：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P（A∪B）＝1－P（）P（）＝1－0.3×0.2＝0.94. 8.甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是. 解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝×＝，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝. 9.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为0.28. 解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28. 10.甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响. （1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率； （2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率. 解：（1）记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝，P（B）＝， 因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立， 那么恰好有1人命中的概率P＝P（A）＋P（B）＝×＋×＝. （2）由（1）知，两人都没有命中的概率为P（）＝×＝， 所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（）＝. 11.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 解析：B　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P（）P（）＝1－（1－0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 12.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为（　　） A.　　 　B. C.　　 　D. 解析：C　因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概率为××＝，仅甲和丙被录取的概率为××＝，仅乙和丙被录取的概率为××＝，则他们三人中恰有两人被录取的概率为＋＋＝. 13.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）＝. 解析：由题意知，P（）·P（）＝，P（）·P（B）＝P（A）·P（）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，1），则即∴x2－2x＋1＝，解得x＝或x＝（舍去），故P（A）＝. 14.某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响.求： （1）此人进入第四环节才被淘汰的概率； （2）此人至多进入第三环节的概率. 解：（1）由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为×××（1－）＝. （2）法一　此人进入第一环节被淘汰的概率为1－＝； 此人进入第二环节被淘汰的概率为 ×（1－）＝； 此人进入第三环节被淘汰的概率为 ××（1－）＝， 所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋＋＝. 法二　此人进入第四环节的概率为××＝，所以此人至多进入第三环节的概率为1－＝. 15.甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝，综上所述，甲队获胜的概率为＋＝，故选D. 16.某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 解：（1）设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝，P（A2）＝，P（B1）＝，P（B2）＝， ∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝×＝，P（B1B2）＝P（B1）P（B2）＝×＝， ∵＞，∴派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”， ∵P（）＝1－P（A1A2）＝1－＝，P（）＝1－P（B1B2）＝1－＝. 设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”. ∴P（E）＝1－P（）＝1－P（）P（）＝1－×＝. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $