第8章 立体几何初步 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦立体几何核心内容，涵盖几何体表面积与体积、空间平行垂直关系及空间角。通过高考真题导入，衔接平面到立体的知识过渡，搭建从具体几何体计算到空间关系证明的学习支架。 资料以高考真题为例，结合跟踪训练，培养数学眼光（从问题抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理证明）、数学语言（公式模型表达）。如例2通过中位线构造平行平面证线面平行，提升学生空间观念与推理能力，为教师提供高考导向案例，助力核心素养落实。

一、几何体的表面积与体积 　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及球的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 【例1】　（1）（2023·全国乙卷8题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　B　） A.π　　　　B.π C.3π　　　　D.3π 解析：如图所示，在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰△PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B. （2）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为. 解析：法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝. 法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝. 反思感悟 关于空间几何体的体积、表面积 　　首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算. 【跟踪训练】 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的表面积和体积. 解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体. 该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝（4＋16）π， 组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝. 二、空间中的平行关系 　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： （1）MN∥平面PAD； 证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PCD的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. （2）MN∥PE. 证明：∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图. 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB，PF＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 三、空间中的垂直关系 　主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4. （1）求证：AC⊥平面BCE； 证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2， AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. （2）求证：AD⊥AE. 证明：因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 【跟踪训练】 （2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 解：证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC. 因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD. 因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD. 因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1. 因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AA1⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD. 因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1. 又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C. 因为AA1＝2，所以CD＝1. 易知AA1∥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1. 四、空间角 1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 2.通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养. 【例4】　如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求： （1）AO与A'C'所成角的大小； 解：∵A'C'∥AC， ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补角）. ∵AB⊥平面BC'，OC⊂平面BC'， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°. 即AO与A'C'所成的角为30°. （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； 解：如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC'， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. （3）二面角B-AO-C的大小. 由（1）可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B-AO-C的大小为90°. 反思感悟 1.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）. 2.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）. 3.二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法. 【跟踪训练】 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2. （1）求异面直线PC与OE所成的角的大小； 解：∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O， 根据中点条件可以证明OE∥AC， ∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角， AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2， ∴∠PCA＝，故异面直线PC与OE所成的角是. （2）求二面角P-AC-E的余弦值. 解：如图，取AC中点为D，连接PD，OD， 由（1）知，PA＝AC＝PC， ∴PD⊥AC， ∵OA＝OC，∴OD⊥AC， 又E为劣弧的中点，即有E∈底面圆O， ∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO， ∵C为半圆弧的中点，∴∠AOC＝， ∴OD＝AC＝1， ∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD， 又PO＝，∴在Rt△PDO中，PD＝， ∴cos∠PDO＝＝，∴二面角P-AC-E的余弦值是. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $