拓视野 探究空间几何体上两点间最短路径问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦空间几何体表面两点间最短路径问题，核心方法为“化折为直”“化曲为直”，通过旋转体（圆柱、圆锥）和多面体（长方体、直三棱柱）展开实例导入，衔接平面几何最短路径知识，搭建立体与平面转化的学习支架。 资料以例题解析为核心，结合迁移应用与练习题，通过圆柱侧面展开求最短路径、圆锥展开计算圆心角等实例，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），逻辑推理与转化思想（数学思维），提升解决实际问题能力，为教师提供系统教学资源，助力高效课堂实施。

拓 视 野　探究空间几何体上两点间最短路径问题 计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状. 一、旋转体表面上两点间的最短路径问题 【例1】　（1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（　B　） A.2　　　　　　　　B.2 C.3 D.2 解析：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝×16＝4，所以AB＝＝2.所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为2.故选B. （2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（　A　） A.1 B.2 C.3 D. 解析：如图为半圆锥的侧面展开图，连接BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得BD1＝，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，AB2＋A＝B，所以∠D1AB＝，所以扇形弧长l＝×2＝π，所以圆锥底面圆的周长为2l＝2π，即2πr＝2π，得r＝1.故选A. 二、多面体表面上两点间的最短问题 【例2】　如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是3. 解析：根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是3，，2，所以最小值是3.故小虫爬行的最短路程是3. 【迁移应用】 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝，E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（　　） A.＋3 B.＋2 C.＋ D.＋ 解析：C　由题意得A1C＝＝，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，E，C三点共线时，△A1CE的周长最小，此时A1E＋CE＝＝，即△A1CE的周长的最小值为＋，故选C. 2.现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30 cm，底面半径为10 cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为30 cm. 解析：如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为AA'，因为圆锥形礼品盒，其母线长l＝30 cm，底面半径为r＝10 cm，设∠ASA'＝α，所以＝2πr＝αl，即α＝，所以在等腰三角形ASA'中，取AA'的中点B，则△ABS为直角三角形，且∠ASB＝60°，AS＝30 cm，所以AB＝AS·sin∠ASB＝30×＝15（cm），所以AA'＝2AB＝30（cm）. 1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（　　） A. B.1 C.2 D.3 解析：D　设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3. 2.已知圆柱OO'的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的底面半径r＝（　　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 解析：A　圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr（cm2），两底面面积之和为2×πr2＝2πr2（cm2），所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7（舍去），所以圆柱的底面半径为3 cm. 3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A.7　　　　B.6 C.5　　　　D.3 解析：A　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π（r＋3r）×3＝84π，解得r＝7. 4.若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是（　　） A.24π B.24 C.3 π D.3 解析：C　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝.由圆锥的体积公式可得V＝πr2h＝3 π. 5.（2024·中山月考）一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图①放置容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图②放置容器时，液面以上空余部分的高为h2，则＝（　　） A.　　　B.（）2 C.（）3　　　D. 解析：B　在图①中，液面以上空余部分的体积为πh1；在图②中，液面以上空余部分的体积为πh2.因为πh1＝πh2，所以＝（）2. 6.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 解析：CD　∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝（＋1）πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确.故选C、D. 7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π. 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π. 8.已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为π. 解析：圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π（22＋2×3＋32）×2＝π. 9.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则＝. 解析：∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，∴V2＝r·πr2＝，S2＝πrl＝πr2，∵＝，∴＝，解得a＝r，∴＝＝. 10.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的表面积； （2）求阴影部分形成的几何体的体积. 解：（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面， S半球＝×4π×22＝8π， S圆台侧＝π×（2＋5）×＝35π， S圆台下底＝π×52＝25π. 故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π. （2）V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π， 故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π. 11.（2024·汕尾月考）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为2 m，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积约为（　　） A.2π m3 B.3π m3 C.4π m3 D.6π m3 解析：B　因为轴截面是顶角为∠APC＝的等腰三角形，所以∠PAO＝，在Rt△APO中，依题意，该圆形攒尖的底面圆的半径AO＝r＝ m，高PO＝h＝rtan＝3 m，则V＝πr2h＝π×3×3＝3π（m3），所以该圆锥的体积约为3π m3.故选B. 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2. 解析：设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 13.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为20 cm，表面积等于224π cm2. 解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）. 14.如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度， 设OB＝l，∠AOA'＝θ， 则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10， 解得θ＝，l＝20（cm）. ∴OA＝40（cm），OM＝30（cm）. ∴AM＝＝50（cm）. 即绳子的最短长度为50 cm. （2）如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P， 则PQ即为所求的最短距离. ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24（cm）. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 15.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为2. 解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为，则截得的棱柱的体积V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝时，Vmax＝2，即截得棱柱体积的最大值为2. 16.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 解：（1）方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）. （2）方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 则圆锥的母线长l1＝＝4（m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）. （3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $