章末检测（7）复数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦复数的概念、运算、几何意义及应用，通过单选（基础运算）、多选（概念辨析）、填空（综合应用）、解答题（方程建模）的梯度设计，梳理从复数基本性质到复平面向量、方程应用的知识脉络，搭建递进式学习支架。 特色在于分层设题与素养融合，单选夯实运算能力，多选通过共轭复数、模的性质辨析培养数学思维的推理意识，解答题结合复平面内点的位置、含参数方程求θ，体现数学眼光的空间观念与数学语言的模型意识。助力学生构建复数知识体系，提升综合应用能力，为教师提供全面检测工具，精准反馈学习效果。

章末检测（七）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则（　　） A.a＝1，b＝－1　　　　　B.a＝1，b＝1 C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1 解析：A　因为a，b∈R，（a＋b）＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1. 2.设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为（　　） A.（1，1） B.（－1，1） C.（1，－1） D.（－1，－1） 解析：B　z＝＝＝＝－1＋i，则z在复平面内对应的点的坐标为（－1，1）.故选B. 3.已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（　　） A.2 B.1 C.－2 D.i 解析：B　由题意，化简得z＝＝＝＝2＋i，所以复数z的虚部为1.故选B. 4.在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（　　） A.1＋i B.5－i C.5－3i D.－5＋i 解析：D　由题设＝（3，2），＝（－2，3），则＝－＝（－5，1），所以向量对应的复数为－5＋i.故选D. 5.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（　　） A.4　　　B.4 C.2　　　D.2 解析：D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D. 6.已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足·z2是纯虚数，则复数z2＝（　　） A.1－2i B.1＋2i C.2－i D.2＋i 解析：A　由z1＝2＋i，得＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则·z2＝（2－i）（1＋bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i. 7.当1＜m＜2时，复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　由1＜m＜2，可得所以复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点Z（m－1，m－2）位于第四象限，故选D. 8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝（　　） A.2－2i B.2＋2i C.－2＋2i D.－2－2i 解析：A　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有（　　） A.｜z｜＝2 B.z2＝2i C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1 解析：BD　∵z＝＝＝－1－i，∴｜z｜＝，A不正确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的虚部为－1，D正确. 10.设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（　　） A.若｜z1－z2｜＝0，则＝ B.若z1＝，则＝z2 C.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2 D.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝ 解析：ABC　A项，｜z1－z2｜＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒＝，真命题；B项，z1＝⇒＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜⇒｜z1｜2＝｜z2｜2⇒z1＝z2，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然＝1，＝－1，即≠，假命题. 11.任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A.当r＝1，θ＝，n＝1时，＝－i B.（＋i）3＝1 C.｜z4｜＝｜z｜4 D.（＋i）10在复平面内对应的点在第三象限 解析：AC　对A，由题意可知，当r＝1，θ＝，n＝1时，z＝r（cos θ＋isin θ）＝＋i，所以＝－i，A正确；对B，（＋i）3＝（cos ＋isin ）3＝cos π＋isin π＝－1，所以B错误；对C，｜z4｜＝｜r4（cos 4θ＋isin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝r4，所以C正确；对D，由（＋i）10＝（cos ＋isin ）10＝cos ＋isin ＝－i，所以（＋i）10在复平面内对应的点的坐标为（，－），在第四象限，D错误.故选A、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝. 解析：依题意可知＝（－3，4），＝（2a，1）.因为⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝. 13.已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i（θ∈R），则z1·z2的实部的最大值为. 解析：z1·z2＝（cos θ－i）·（sin θ＋i）＝（cos θsin θ＋1）＋i（cos θ－sin θ），故实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，最大值为. 14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围为[0，3]. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3]. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.求： （1）z1z2；（2）. 解：z2＝＝＝ ＝＝1－3i. （1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i. （2）＝＝＝＝＋i. 16.（本小题满分15分）设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－2）（m∈R）对应的向量为. （1）若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及｜｜； （2）若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围. 解：（1）因为的终点Z在虚轴上，所以复数z的实部为0， 则有log2（m2－3m－3）＝0，所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1. 因为m－2＞0，所以m＝4，此时z＝i，＝（0，1），｜｜＝1. （2）因为的终点Z在第二象限内， 则有解得＜m＜4， 所以m的取值范围为. 17.（本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2，z3，z4分别对应的向量，，，，z1＝1，z2＝i，z3＝4＋3i，z4＝4－3i； （2）求向量，，，的模； （3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？ 解：（1）由题意可得如图所示图象. （2）由于，，，的坐标分别为（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3）， 则向量，，，的模分别为｜｜＝1，｜｜＝1，｜｜＝＝5，｜｜＝＝5. （3）点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数. 18.（本小题满分17分）已知关于x的二次方程x2－（tan θ＋i）x－（i＋2）＝0. （1）当θ为何值时，这个方程有一个实根？ （2）是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由. 解：（1）设x0是方程的一个实根，则－（tan θ＋i）x0－（i＋2）＝0， 即（－tan θ·x0－2）－i（x0＋1）＝0. 根据复数相等知 解得x0＝－1，tan θ＝1，θ＝kπ＋（k∈Z）. 所以当θ＝kπ＋（k∈Z）时，原方程有一实根－1. （2）假定方程有纯虚数根bi（b∈R，且b≠0），代入原方程得（bi）2－（tan θ＋i）·bi－（i＋2）＝0， 即－b2＋b－2－（btan θ＋1）i＝0. 由复数相等知 但方程－b2＋b－2＝0即b2－b＋2＝0无实数解，即实数b不存在. 所以对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根. 19.（本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2. （1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围； （2）设μ＝，求证：μ为纯虚数； （3）求ω－μ2的最小值. 解：（1）∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， ∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋（y－）i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒｜z｜＝1， 此时，ω＝2x⇒－＜x＜1， 即z的实部的取值范围为（－，1）. （2）证明：μ＝＝＝＝，∵y≠0，∴μ为纯虚数. （3）ω－μ2＝2x－（－i）2， 化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋－3≥ 2－3＝1. 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $