第7章 复数 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该高中数学教案聚焦复数的概念、四则运算及几何意义，通过实例导入，结合例题解析、反思感悟与跟踪训练，构建从概念理解到运算应用再到几何意义探究的学习支架，衔接前后知识。 教案融入高考真题例题，强化运算能力与推理意识，反思感悟提炼方法培养抽象思维，跟踪训练巩固知识提升应用能力。助力学生发展数学眼光、思维与语言，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

一、复数的概念 复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（　C　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C. （2）（多选）若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则（　BD　） A.z的虚部为－i B.z的模为 C.z的共轭复数为4－i D.z在复平面内对应的点位于第四象限 解析：由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝＝＝＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为＝，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为（4，－1），位于第四象限，D正确. 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 （1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部； （2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 【跟踪训练】 1.若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　） A.0 B.－1 C.1 D.－2 解析：A　因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0. 2.已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为（　　） A.4 B.－1 C.6 D.－1或6 解析：B　由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋（5m＋6）i，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1. 二、复数的四则运算 复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比. 【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　　） A.－i B.i C.0 D.1 解析：A　由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A. （2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值. 解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i. 所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i， z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i， ＝＝＝＝－i. 反思感悟 进行复数代数运算的策略 （1）复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算； （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. 【跟踪训练】 1.（2023·全国甲卷2题）＝（　　） A.－1 B.1 C.1－i D.1＋i 解析：C　由题意得＝＝＝1－i.故选C. 2.已知z＝－，则z100＋z50＋1＝（　　） A.i B.－i C.1＋i D.1－i 解析：B　因为（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝（－）100＋（－）50＋1＝（－）100（1－i）100＋（－）50（1－i）50＋1＝（－2i）50＋（－2i）25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i. 三、复数的几何意义 复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点，向量之间的关系解题. 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. （2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，求a，b的值. 解：∵＝2＋，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即∴ 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）； （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）； （3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 【跟踪训练】 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（　　） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 解析：D　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D. 2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点P是△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：A　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴点P是△ABC的外心. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $