拓视野 欧拉公式及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦欧拉公式及复数应用核心知识点，以“数学中的天桥”为导入，串联复数概念、指数与三角函数关系，通过例题解析与迁移应用搭建学习支架，梳理知识脉络。 特色在于融合数学史与跨学科视角，以分层例题（如复数运算、模的计算）培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理与运算）和语言（符号表达），如判断复数象限体现几何直观，提升学生探究兴趣，为教师提供系统教学资源。

拓 视 野　欧拉公式及应用　　 　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【例】　（1）欧拉公式ei θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　B　） A.　　　B.－ C.1　　　D.－1 解析：由欧拉公式知：eiπ＝cos π＋isin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝（－1＋i）·z＝i，∴z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－，故选B. （2）（多选）欧拉公式exi＝cos x＋isin x（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　BC　） A.复数e2i对应的点位于第三象限 B.为纯虚数 C.复数的模等于 D.的共轭复数为－i 解析：由题知e2i＝cos 2＋isin 2，而cos 2＜0，sin 2＞0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；＝cos＋isin＝i，则为纯虚数，故B正确；＝＝＝＋i，则的模为＝＝，故C正确；＝cos＋isin＝＋i，其共轭复数为－i，故D错误.故选B、C. 【迁移应用】 1.（2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知＝＋i，则θ＝（　　） A.＋2kπ（k∈Z） B.＋2kπ（k∈Z） C.＋kπ（k∈Z） D.＋kπ（k∈Z） 解析：B　∵eiθ＝cos θ＋isin θ，∴＝cos（θ＋）＋isin（θ＋）＝＋i，∴⇒θ＋＝2kπ＋（k∈Z），∴θ＝2kπ＋（k∈Z），故选B. 2.（多选）公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（　　） A.eiπ＋1＝0 B.（＋i）2 025＝－1 C.｜eix＋e－ix｜≤2 D.－2≤eix－e－ix≤2 解析：ABC　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（＋i）2 025＝（cos＋isin）2 025＝（）2 025＝e675πi＝cos 675π＋isin 675π＝－1，故选项B正确；对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos（－x）＋isin（－x）＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误.故选A、B、C. 1.复数z＝i（2－i）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　z＝i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限. 2.已知复数z＝＋5i，则｜z｜＝（　　） A.　　　　B.5 C.3　　　　D.2 解析：B　z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝5，故选B. 3.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 解析：C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 4.（1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512 解析：C　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0. 5.（多选）在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（　　） A.复数z＝1＋i B.｜｜＝ C.复数z对应的点位于第一象限 D.复数的实部是－1 解析：BD　复数＝＝＝－1－i对应的点的坐标为（－1，－1）.因为复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z＝－1＋i.故A、C均错.＝－1－i，｜｜＝，的实部是－1，B、D正确. 6.（多选）若复数z满足z（1－i）＝｜1－i｜，则（　　） A.z＝－1＋i B.z的实部为1 C.＝1＋i D.z2＝2i 解析：BD　由z（1－i）＝｜1－i｜，得z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，A错误；实部为1，B正确；＝1－i，C错误；z2＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D. 7.（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝－5－15i. 解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋2）－（28＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i. 8.在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝－3±i. 解析：x＝＝－3±i. 9.（2024·绍兴月考）若z＝（a－）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝－i. 解析：∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i. 10.计算： （1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）； （2）. 解：（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）＝（ －＋i）·（7－i）＝＋i. （2）＝ ＝＝＝ ＝－2－2i. 11.（2024·莆田月考）已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t＝（　　） A.－2 B.－1 C.±2 D.±1 解析：C　由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝＝＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2，所以t2＋t2＝（2）2，解得t＝2或t＝－2. 12.（多选）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为（　　） A. B. C. D. 解析：CD　对于方程x3＝1，移项因式分解可得：（x－1）（x2＋x＋1）＝0，x＝1为实数根，要求虚数根，解方程x2＋x＋1＝0即可，解得x＝. 故选C、D. 13.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为6. 解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i. 14.已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根. （1）求p＋q的值； （2）复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2，求复数w的值. 解：（1）关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1. （2）设w＝a＋bi（a，b∈R）. 由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得a＋2b＝0.又｜w｜＝2，则a2＋b2＝20， 解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i. 15.（多选）下面四个命题中真命题为（　　） A.若复数z满足z2∈R，则z∈R B.若复数z满足z∈R，则z2∈R C.若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D.若复数z满足｜z｜2＝z2，则z∈R 解析：BCD　当z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i∉R，故A错误；当z∈R时，z2∈R，故B正确；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1·z2＝ac－bd＋（ad＋bc）i＝0，则两式平方后相加得：a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝（a2＋b2）·（c2＋d2）＝0，故a2＋b2＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，C正确；设z＝m＋ni（m，n∈R），则｜z｜2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝m2－n2＋2mni，整理得：n2＝mni，故n＝0，m∈R，所以z∈R，D正确.故选B、C、D. 16.已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位. （1）求复数z； （2）求实数x的取值范围. 解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2i＝a＋（b＋2）i， ∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2， ∴＝＝＝＋i， ∵为实数，∴＝0，解得a＝4. ∴z＝4－2i. （2）∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且复数（z＋xi）2在复平面内对应的点在第一象限， ∴解得2＜x＜6. 即实数x的取值范围是（2，6）. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $