培优课 平面向量中的最值（范围）问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面向量中的最值（范围）问题，涵盖线性运算、数量积、模、夹角四类核心题型。课堂导入可衔接向量基本概念与运算，搭建从基础到复杂问题的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 资料特色在于题型分类系统，例题与跟踪训练结合具体图形情境，引导学生用数学眼光观察几何关系，通性通法强调转化思想，如例2通过坐标法将几何问题代数化，培养数学思维与模型意识，助力学生提升解题能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

培优课　平面向量中的最值（范围）问题 题型一 向量线性运算中的最值（范围）问题 【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是（　　） A.［－，0］ B.［－2，］ C.［－，0］ D.[－1，1] 解析：C　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－（x2＋2x），∴λμ∈［－，0］. 通性通法 　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）. 【跟踪训练】 （2024·杭州月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为. 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n（－）＝（m－n）＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1（m，n＞0），所以＋＝（＋）（m＋n）＝＋＋≥＋2＝＋＝（当且仅当3n2＝4m2时，取等号），即＋的最小值为. 题型二 向量数量积的最值（范围）问题 【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为9. 解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴＝（4，－3），设＝λ（λ∈[0，1]），则＝＋＝＋λ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]，∴·（－）＝·＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴·（－）的最大值为9. 通性通法 　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也可以利用图形直观求解. 【跟踪训练】 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为. 解析：根据题意，可知·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·（＋）＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立. 题型三 向量模的最值（范围）问题 【例3】　已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为1. 解析：e1·e2＝cos＝，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋2y＝2，∴x＝2－2y.∴b2＝（2－2y）2＋y2＋（2－2y）y＝3y2－6y＋4＝3（y－1）2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴｜b｜的最小值为1. 通性通法 　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解. 【跟踪训练】 已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为. 解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜a｜｜b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（）2＝，故（｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜b｜）2≤，即｜a｜＋｜b｜≤，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝时，等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为. 题型四 向量夹角的最值（范围）问题 【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为. 解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜cos θ＝a2b2.由基本不等式知，cos θ＝｜a｜·｜b｜≤（）2＝，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即cos θ≤，又θ∈[0，π]，故θ∈［，π］.故a与b的夹角的最小值是. 通性通法 　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值（范围）问题. 【跟踪训练】 （2024·深圳月考）已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：C　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[（t－）2＋2]≥2[（－）2＋2]＝4，所以0＜cos θ≤，所以θ的最小值为. 1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.（0，＋∞） C.[2，4） D.（2，4） 解析：C　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a（4－2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）. 2.已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（　　） A.5 B.5 C.3 D. 解析：D　由题意可得＝（4，3），＝（1，2），则｜＋t｜＝｜（4，3）＋t（1，2）｜＝｜（4＋t，3＋2t）｜＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，｜＋t｜min＝. 3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为（　　） A.3　　　　B.4 C.5　　　　D.9 解析：D　由题图可知B，D，C共线，且x，y均为正，所以x＋y＝1，所以＋＝（＋）（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9. 4.（2024·菏泽月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是（－7，1）∪（1，7）. 解析：a＋b＝（5＋λ，6），a－b＝（5－λ，4），由题意得，（a＋b）·（a－b）＞0，且a＋b与a－b不共线，所以解得－7＜λ＜7，且λ≠1，所以λ的取值范围是（－7，1）∪（1，7）. 1.已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m的取值范围为（　　） A.[－，] B.[－，] C.[－3，3] D.[－5，5] 解析：B　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，]，故选B. 2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［，］ C.［，π］ D.（，） 解析：C　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］. 3.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是（　　） A.[2，14]　　B.[0，12] C.[0，6]　　D.[2，8] 解析：A　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（2，1），设F（x，2）（0≤x≤2），所以＝（2，1），＝（x，2），因此·＝2x＋2，因为0≤x≤2，所以2≤2x＋2≤14，故·的取值范围是[2，14]. 4.（2024·宁波质检）设0≤θ＜2π，已知两个向量＝（cos θ，sin θ），＝（2＋sin θ，2－cos θ），则向量的长度的最大值是（　　） A. B. C.3 D.2 解析：C　∵＝－＝（2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ），∴｜｜ ＝ ＝，∵0≤θ＜2π，∴－1≤cos θ≤1，∴≤≤3，当cos θ＝－1时，｜｜有最大值3. 5.设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是（　　） A.≤λ≤1 B.1－≤λ≤1 C.≤λ≤1＋ D.1－≤λ≤1＋ 解析：B　∵＝λ＝（－λ，λ），＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），·≥·，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1. 6.（多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是（　　） A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B.λμ的最大值为 C.μ的取值范围为[0，1] D.λ＋μ的取值范围为［，2］ 解析：ABC　以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C. 7.向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为，则｜a－b｜的最小值为. 解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜b｜cos＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－）2＋≥，所以｜a－b｜≥，当｜b｜＝时取得最小值. 8.（2024·郑州月考）在△ABC中，·（－4）＝0，则cos A的最小值为. 解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立. 9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是[2，3]. 解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝，又·＝（＋）·（＋）＝｜｜2＋·＋·＋·＝｜｜2＋·（＋）－1＝｜｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为，此时｜｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜｜2－1＝3，所以2≤·≤3. 10.已知·＝0，M是线段BC的中点. （1）若｜｜＝2｜｜，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； （2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝2｜｜＝2，求·＋·的最小值. 解：因为·＝0，所以⊥， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. （1）令｜｜＝a，则C（0，a），B（2a，0）， 所以－＝（2a，－a），＋＝（2a，a）. 设向量－与向量＋的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. （2）因为｜｜＝2｜｜＝2，则C（0，1），B（2，0），M（1，），设O（x，），x∈[0，1]， 所以·＋·＝·（＋）＝2·＝2（－x，－）·（1－x，－）＝2（x2－x＋－）＝（x2－x）＝（x－）2－. 当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 11.如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括边界），设＝a，＝b. （1）试用a，b表示； （2）若＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围. 解：（1）如图①，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝（＋）＝（＋）＝［＋（－）］＝a＋b. （2）＝－＝a－b，如图②，连接GP并延长，交BC于点P'. 令＝t'（0＜t＜1），'＝m（0＜m＜1）， 则＝＋＝a＋b＋t'＝a＋b＋t（＋'）＝a＋b＋t（＋m）＝a＋b＋t（a－b）＋tm（b－a）＝（＋t－tm）a＋（－t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1）， 因为＝λa＋μb，所以λ＝＋t－tm，μ＝－t＋tm，故λ＋μ＝＋t， 因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝＋t∈（，1）. 故λ＋μ的取值范围为（，1）. 12.（2024·福州质检）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. （1）证明A，B，C三点共线，并求的值； （2）已知A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），x∈（0，π），且函数f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜的最小值为，求实数m的值. 解：（1）因为＝＋， 所以－＝（－）， 所以＝. 又，有公共点B， 所以A，B，C三点共线，＝. （2）因为A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x）， 所以＝＋＝（ 1＋sin x，sin x）， 所以·＝1＋sin x＋sin2x. 又｜｜＝sin x， 所以f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜ ＝sin2x＋2msin x＋1. 设sin x＝t，因为x∈（0，π）， 所以t∈（0，1]， 所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2. ①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意； ②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时， 当t＝－m时，ymin＝1－m2＝， 所以m＝－； ③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，m＝－＞－1，不合题意. 综上可知，m＝－. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $