培优课 解三角形中的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦解三角形综合问题，涵盖与三角恒等变换、三角函数的综合应用，以及中线、角平分线、最值问题。通过例题导入，连接基础解三角形知识与综合场景，搭建从单一知识点到复杂问题的学习支架。 资料题型分类系统，通性通法提炼精准，如用向量法解决中线问题、等面积法处理角平分线问题，培养数学思维的逻辑推理。例题与跟踪训练结合，提升学生用数学语言表达和解决问题的能力，助力教师高效教学，帮助学生夯实综合解题能力。

培优课　解三角形中的综合问题 题型一 解三角形与三角恒等变换的综合 【例1】　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋c＝2b. （1）求证：B≤； 解：证明：由余弦定理的推论得cos B＝＝≥＝，∵B是△ABC的内角，∴0＜B≤. （2）若C＝2A，试求a∶b∶c. 解：在△ABC中，由a＋c＝2b，结合正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B， ∵C＝2A，∴B＝π－A－C＝π－3A， ∴sin A＋sin 2A＝2sin 3A， 即sin A＋2sin Acos A＝2（sin Acos 2A＋cos A·sin 2A）＝2[sin A（2cos2A－1）＋2sin Acos2A]， ∵sin A＞0， ∴1＋2cos A＝2（2cos2A＋2cos2A－1）， 整理得8cos2A－2cos A－3＝0， 解得cos A＝或cos A＝－. ∵C＝2A，∴0＜A＜，∴cos A＝. 由余弦定理的推论得cos A＝＝， 代入a＋c＝2b，得2b2＋2c2－2（2b－c）2＝3bc，整理得b＝c， ∴a＝c， 故a∶b∶c＝c∶c∶c＝4∶5∶6. 通性通法 　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解. 【跟踪训练】 （2024·宁波月考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＋＝6cos C，则＋＝4. 解析：法一　因为＋＝6cos C，所以＝6·，所以2a2＋2b2＝3c2.而＋＝＋，由正弦定理及余弦定理的推论，可得 ＋＝（·＋·）＝·＝·＝＝4. 法二　由＋＝6cos C，可得a2＋b2＝6abcos C.又在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝4abcos C，故＋＝·（＋）＝·＝·＝·＝4. 法三　＋＝＋1＋＋1－2＝＋－2＝＋－2.观察式子结构，使用正弦定理，得到＋＝·（＋）－2＝（＋）－2＝·6cos C－2＝4. 题型二 解三角形与三角函数的综合 【例2】　已知函数f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋，其中ω＞0，若实数x1，x2满足｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值为. （1）求ω的值及f（x）的对称中心； 解：f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋）， 显然f（x）的最大值为1，最小值为－1， 则｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值等于，则＝，则＝π，ω＝1； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，则f（x）的对称中心为（－＋，0），k∈Z. （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围. 解：f（A）＝sin（2A＋）＝－1，2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），则A＝， 由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C， 则周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin（－B）＝＋sin B＋cos B＝＋2sin（B＋）， 又0＜B＜，则＜B＋＜，则＜2sin（B＋）≤2， 故周长的取值范围为（2，2＋］. 通性通法 　　正、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题. 【跟踪训练】 （2024·郑州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tan C，且f（）＝－. （1）求角A； 解：f（x）＝＝＝＝－. ∵f（）＝－，∴－＝－，∴sin（－A）＝1. 又0＜A＜π，∴－＜－A＜，∴－A＝，∴A＝. （2）若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值. 解：∵△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，∴bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R， sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ，∴a2＝（b＋c）2－3bc， ∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2. 题型三 解三角形中的中线问题 【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B. （1）求A； 解：cos ＝cos（－）＝sin ，∴bsin ＝asin B， 由正弦定理得：sin Bsin ＝sin Asin B， ∵sin B≠0，∴sin ＝sin A， ∴sin ＝2sin cos ，∵A∈（0，π），∈（0，），∴sin ≠0，得cos ＝，即＝， ∴A＝. （2）若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 解：∵·＝3， ∴bccos（π－A）＝3，得bc＝6， 由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13， ∵＝（＋）， ∴｜｜2＝（＋）2＝（c2＋b2＋2bccos A）＝， ∴｜｜＝，即AD的长为. 通性通法 求解三角形中线问题的常用方法 （1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）； （2）向量法：＝（b2＋c2＋2bccos A）. 【跟踪训练】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin B＝bcos A. （1）求角A的大小； 解：由asin B＝bcos A及正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为A，B∈（0，π），则sin B＞0，可得sin A＝cos A＞0， 则tan A＝，因此A＝. （2）若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值. 解：因为＝（＋）， 所以2＝＋，所以4＝（＋）2＝＋＋2·， 即28＝c2＋b2＋2bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）. 题型四 解三角形中的角平分线问题 【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B.若a＝2，·＝，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 解：由bcos＝asin B可得A＝，由·＝，得cbcos ＝，∴bc＝3，又a＝2， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－2bc＋bc＝12， 可得b＋c＝＝， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴bcsin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ， ∴AD＝＝＝. 通性通法 求解三角形中角平分线问题的常用方法 　　在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； （2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝； （3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝（角平分线长公式）. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝（　　） A. B. C.2 D.3 解析：A　∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos ∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈（0，） ，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，∴＝，∴AE＝＝×sin ＝×＝. 题型五 解三角形中的最值（范围）问题 【例5】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A. （1）求B； 解：由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 又sin B＝2sincos，所以cos＝2sin·cos. 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°. （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC＝a. 由（1）知A＋C＝120°， 由正弦定理得a＝＝＝＋. 所以S△ABC＝（＋）＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以tan C∈（，＋∞）. 从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是（，）. 通性通法 　　解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝（a2＋b2－c2）. （1）求角C的大小； 解：由题意可知absin C＝×2abcos C. 所以tan C＝. 因为0＜C＜π，所以C＝. （2）求sin A·sin B的最大值. 解：由已知sin A·sin B＝sin A·sin （π－C－A）＝sin A·sin（－A）＝sin A（cos A＋sin A）＝sin 2A－cos 2A＋＝sin（2A－）＋. 因为0＜A＜，所以－＜2A－＜， 所以当2A－＝，即A＝时，sin A·sin B取最大值. 所以sin A·sin B的最大值是. 1.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　） A.（2，8） B.（1，4） C.（4，＋∞） D.（2，4） 解析：D　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D. 2.（2024·汕尾月考）在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝π，则AB边上的高为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为BC＝3，AB＝7，C＝π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosπ，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝－8（舍去），设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC·sin C，即7h＝3×5×⇒h＝，故选B. 3.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝. 解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得，×2×3×sin 120°＝×2AD×sin 60°＋×3AD×sin 60°，解得AD＝. 1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　） A. B.2 C.4 D.2 解析：C　由题知周长为a＋b＋c＝4（＋1）①，∵sin B＋sin C＝sin A，由正弦定理得b＋c＝a②，∴由①②，可解得a＝4，故选C. 2.（2024·威海质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝（a，cos），n＝（b，cos），p＝（c，cos）共线，则△ABC为（　　） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　∵向量m，n共线，∴acos ＝bcos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ，∴2sin·coscos＝2sincoscos.∵cos≠0，cos≠0，∴sin＝sin.∵0＜＜，0＜＜，∴＝，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形.故选A. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为（　　） A. B.3 C. D.4 解析：C　由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2（负值舍去），即a＝b＝2.由余弦定理可知c＝＝＝2.设AC边的中点为D，则＝（＋），因此｜｜＝ ＝ ＝＝.故选C. 4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝（　　） A.－ B. C. D.± 解析：B　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B. 5.（2024·郑州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为（　　） A.8 B.6 C.3 D.4 解析：D　∵BC边上的高为a，∴S△ABC＝a×a＝bcsin A，∴a2＝2bcsin A，由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin（A＋）.∵A∈（0，π），∴A＋∈（，），∴当A＋＝，即A＝时，4sin（A＋）有最大值，且最大值为4.∴＋的最大值为4. 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B. 7.（多选）在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是（　　） A.AB＝8 B.＝ C.AB＝6 D.△ABD的面积为 解析：BCD　如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确，故选B、C、D. 8.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（　　） A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 解析：ACD　因为（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；易知c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故B错误；易知a最小，所以△ABC中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈（0，π），C∈（0，），所以2A＝C，故C正确；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝，又c＝6，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正确.故选A、C、D. 9.（2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝2，角C的最大值为. 解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为. 10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为［，1］. 解析：∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］. 11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝.求a＋c的取值范围. 解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x）， 则f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－， 由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）. （2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝. 所以B＝，又b＝， 由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C， 即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－）， 又0＜A＜，所以－＜A－＜， 所以2cos（A－）∈（，2]. 即a＋c的取值范围为（，2]. 12.（2024·潮州月考）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍. （1）求； （2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长. 解：（1）如图， 过A作AE⊥BC于E. 因为＝＝2， 所以BD＝2DC. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC. 在△ABD中，＝， 所以sin B＝. 在△ADC中，＝， 所以sin C＝， 所以＝＝. （2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝. 如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. 因为AD平分∠BAC，所以DM＝DN， 所以＝＝2，所以AB＝2AC. 令AC＝x，则AB＝2x. 因为∠BAD＝∠DAC，所以cos∠BAD＝cos∠DAC， 所以由余弦定理可得＝， 解得x＝1，即AC＝1. 综上，BD的长为，AC的长为1. 13.如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网. （1）当AM＝ km时，求防护网的总长度； （2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小.问：如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面积是多少？ 解：（1）因为在△OAB中，OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°. 在△AOM中，由OA＝3 km，AM＝ km，∠OAM＝60°及余弦定理，得 OM＝＝ km. 所以OM2＋AM2＝OA2，即OM⊥AN， 所以∠AOM＝30°，即∠AON＝60°. 所以△OAN为等边三角形，所以△OAN的周长为3OA＝9 km，即防护网的总长度为9 km. （2）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°）. 在△OAN中，由＝，得ON＝ km. 在△AOM中，由＝，得OM＝ km. 所以S△OMN＝OM·ON·sin 30°＝＝ km2. 当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最小面积为 km2. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $