拓视野 三角形解的个数判断-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦三角形解的个数判断核心知识点，从已知两角一边的唯一解切入，对比引出两边及其中一边对角的多解问题，搭建从确定到不确定的认知支架，梳理正弦定理应用脉络。 特色在于代数法与几何法结合，代数法通过正弦定理和“大边对大角”推理，几何法以画弧判断交点个数，体现数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观。例题与迁移应用结合实例，用数学语言精准表达数量关系，助力学生提升逻辑推理和直观想象能力，为教师提供系统教学方法，提高课堂效率。

拓 视 野　三角形解的个数判断 1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？ 具体方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解. （2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表： 分类 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 a＜bsin A 无解 A为锐角 a＝bsin A 一解 bsin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 A为钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 【例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； 解：sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解. （2）a＝9，b＝10，A＝60°； 解：sin B＝sin 60°＝×＝，而＜＜1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解：sin B＝＝sin C＞sin C＝. 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 方法总结 1.在△ABC中，0＜sin B≤1，故≥1.∵＝，∴a＝，∴a≥bsin A.这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提. 2.解三角形时，可以先求出sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数. 【迁移应用】 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A.a＝30，b＝50，A＝36° B.a＝50，b＝30，A＝36° C.a＝30，b＝60，A＝30° D.a＝30，B＝20°，A＝136° 解析：A　A选项，bsin A＝50sin 36°＜a，又a＜b，所以三角形有两个解；B选项，bsin A＝30sin 36°＜a，又a＞b，所以三角形有一个解；C选项，bsin A＝60sin 30°＝30＝a，所以三角形有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A. 2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A.x＞2 B.x＜2 C.2＜x＜2 D.2＜x＜2 解析：C　由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　） A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析：C　法一　由正弦定理和已知条件，得＝，∴sin B＝.∵＞1，∴此三角形无解. 法二　∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，故此三角形无解. 法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 1.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　由＝，故＝，解得sin B＝.故选A. 2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：B　由正弦定理＝及＝，可得sin B＝cos B.又0＜B＜π，所以B＝. 3.（2024·阳江月考）在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝（　　） A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 解析：C　因为AB＝AC，由正弦定理得＝，又因为B＝30°，所以sin C＝，又因为AB＞AC，所以C＝45°或C＝135°. 4.（2024·开封月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin（A＋B）＝，sin A＝，则c＝（　　） A.4 B.3 C. D. 解析：C　sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C. 5.（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＝bcos B，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：AC　由正弦定理＝，得＝.又acos A＝bcos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 6.（多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　） A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 解析：ABD　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解. 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝1∶1∶. 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶. 8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asin C＝c，则A＝45°或135°. 解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2Rsin Asin C＝×2Rsin C，因此sin A＝，又因为0°＜A＜180°，故A＝45°或A＝135°. 9.（2024·烟台月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝1. 解析：在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，∴B＝或B＝π.又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1. 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； （2）b＝3，c＝3，B＝30°. 解：（1）∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－（A＋C）＝45°. ∵＝＝， ∴b＝＝＝2， c＝＝＝＋. ∴B＝45°，b＝2，c＝＋. （2）由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 11.在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈（，），则的取值范围为（　　） A.（，） B.（，2） C.（0，2） D.（，2） 解析：A　由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）. 12.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B D.在△ABC中，＝ 解析：ACD　对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确. 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为（，2）. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2. 14.（2024·嘉兴月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b. （1）求角A的大小； （2）若a＝1，b＝，求c的值. 解：（1）由acos C＋c＝b， 得sin Acos C＋sin C＝sin B. 因为sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin C＝cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A＝. 因为0＜A＜π，所以A＝. （2）由正弦定理，得sin B＝＝. 又b＞a，所以B＞A，所以B＝或B＝. ①当B＝时，由A＝，得C＝， 所以c＝＝2. ②当B＝时，由A＝，得C＝. 所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或c＝2. 15.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB＝，BC＝1，∠APC＝120°，则tan∠BCP＝. 解析：由题得AC＝＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP＝α，∴∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－（60°－α）＝α，在Rt△PBC中，PC＝1×cos α＝cos α.在△ACP中，由正弦定理得＝，∴tan α＝. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围. 解：由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin（－B） ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin（B＋）， 又B∈（0，），∴B＋∈（，）， ∴sin（B＋）∈（，1］，∴L∈（2，3]. 即△ABC的周长的取值范围为（2，3]. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $