6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，涵盖面积计算、平面几何问题及综合应用三大题型。通过例题导入，从已知两边一角求面积等基础问题出发，逐步过渡到复杂平面图形转化，构建层层递进的学习支架。 资料以题型分层设计为特色，例题解析结合通性通法总结，如面积计算思路提炼培养数学语言表达能力，平面四边形问题转化体现数学思维的逻辑推理。融入2024年月考真题，助力学生用数学眼光抽象问题，提升解题能力，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 题型一 有关三角形面积的计算 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为； 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. （2）（2024·日照月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，求cos B的值. 解：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B， 由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 通性通法 求三角形面积的解题思路 　　在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝（　　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 解析：D　由面积公式S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. 2.（2024·聊城月考）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的面积为2. 解析：依题意sin A＝2sin Bcos C，由正弦定理得a＝2bcos C，2＝2×3×cos C，cos C＝＞0，所以0＜C＜，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为absin C＝×2×3×＝2. 题型二 求解平面几何问题 【例2】　（2024·平顶山月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. （1）若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； 解：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝. （2）若AD＝3AC，求AC. 解：设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－（舍去），即AC＝3. 通性通法 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 【跟踪训练】 如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. （1）求sin∠BAD； 解：在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝， 所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－B）＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B＝×－×＝. （2）求的值. 解：在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以AC＝7，所以＝. 题型三 正、余弦定理的综合应用 【例3】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C，则角A的大小为60°. 解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 通性通法 利用正、余弦定理解与三角形有关问题的一般思路 （1）抓住两定理的特点，在涉及求三角形边角时，合理选择定理，可有效减少运算量及不必要的分类讨论； （2）根据已知条件及几何图形的特点构建含待求元素的三角形，对综合性较强的问题应认真梳理，挖掘隐含条件，结合三角函数的性质、三角恒等变换等知识合理转化； （3）注意三角形的几何性质在解题中的运用. 【跟踪训练】 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. （1）求B的大小； 解：∵bsin A＝acos B， ∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝，∴B＝. （2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解：∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2acos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为（　　） A.2　　　B. C.　　　D. 解析：B　由题意可知，a＝，b＝4，C＝，所以S△ABC＝absin C＝××4×＝. 2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C. 3.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为60°. 解析：由三角形的面积公式及题设可得，3＝×4×3×sin C，所以sin C＝，因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°. 4.（2024·揭阳月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝. 解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝. 1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为（　　） A. B.2 C.2 D.4 解析：B　由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，△ABC的面积为bcsin A＝×4×2×＝2.故选B. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝absin C＝＝abcos C，可得sin C＝cos C，∵C∈（0，π），∴C＝.故选A. 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：A　∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A. 4.（2024·济南月考）如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（　　） A. B.5 C.6 D.7 解析：B　连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 . 5.（多选）（2024·周口月考）在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是（　　） A. B.1 C. D. 解析：AD　∵AB＝，AC＝1，B＝，又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或BC＝2，∵S△ABC＝·AB·BC·sin B，∴S△ABC＝或S△ABC＝. 6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是（　　） A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c 解析：ABC　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；对于B，根据正弦定理＝，可得asin B＝bsin A，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确. 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝2a，则＝2. 解析：由已知及正弦定理，得sin2A·sin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B（sin2A＋cos2A）＝2sin A，所以sin B＝2sin A，所以b＝2a，即＝2. 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为9＋. 解析：由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋. 9.（2024·焦作月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，B＝，则AC边上的高为. 解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，解得b＝（负值舍去），设AC边上的高为h，则S△ABC＝acsin B＝h·b，即×2×3×sin＝h×，解得h＝. 10.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a. （1）求角B； （2）若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值. 解：（1）因为（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a， 所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 因为0＜B＜π，所以B＝. （2）因为c＝4，△ABC的面积为3， 所以acsin B＝3， 即×4a×＝3，解得a＝3. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝（负值舍去）， 所以cos C＝＝＝. 11.已知向量a＝（2，－1），b＝（2，2），则以a，b为邻边的平行四边形的面积为（　　） A.6　　　　B.3 C.4　　　　D.8 解析：A　设向量a与b的夹角为θ，则由题意得，cos θ＝＝＝，则sin θ＝，所以平行四边形的面积为S＝2××｜a｜·｜b｜sin θ＝×2×＝6. 12.（多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则下列说法正确的是（　　） A.△ABC的面积为8 B.△ABC的周长为8＋4 C.△ABC为钝角三角形 D.sin∠CDB＝ 解析：ABC　如图，在△BCD中，CB＝2CD，cos∠CDB＝－，由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠CDB，得4CD2＝9＋CD2＋CD，即CD2－CD－3＝0，解得CD＝，BC＝2，又由余弦定理的推论得cos B＝＝，则sin B＝，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BCsin B＝8，A正确；△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4，B正确；显然AB是最大边，cos∠ACB＝＝－＜0，所以∠ACB为钝角，C正确；sin∠CDB＝＝，D不正确. 13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. （1）求B的大小； （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值. 解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°. （2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. 故由正弦定理，得a＝b·＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b·＝2×＝. 14.在锐角三角形ABC中，边BC＝2，B＝2A，则边AC的取值范围是（2，2）. 解析：因为B＝2A，故sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，所以AC＝2BCcos A＝4cos A，而△ABC为锐角三角形，故故＜A＜，故4cos＜AC＜4cos即2＜AC＜2. 15.从①A＋C＝2B；②a＋c＝2b.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，　　，试求sin A·sin B·sin C的取值范围. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①A＋C＝2B.易知B＝，A∈（0，）， sin Asin Bsin C＝－cos（2A＋）∈（0，］. 选②a＋c＝2b.可知ac≤（）2＝4，cos B＝＝－1≥， 从而B∈（0，］，sin B∈（0，］， 而sin Asin Bsin C＝sin3B≤，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，从而sin Asin Bsin C∈（0，］. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $