6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦余弦定理、正弦定理的实际应用，以故宫角楼高度测量问题导入，通过基线、方向角、仰角俯角等术语学习，结合测量距离、高度、角度的例题与训练，构建从实际问题到定理应用的学习支架。 资料以真实情境（如珠穆朗玛峰测量、台风移动）激发探究，通过题型分类与通性通法培养数学思维，借助建模与规范表达发展数学语言，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源，高效落实核心素养。

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 1.基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而　确定的线段　叫做基线； （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 3.仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线　以上　时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线　以下　时，视线与水平线所成的角. 1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 解析：C　如图所示. 2.（2024·丽水月考）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　） A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析：A　在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A. 3.（2024·三门峡质检）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为20米. 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（－1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米. 题型一 测量距离问题 【例1】　海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离为5n mile. 解析：如图，在△ABC中，C＝180°－（B＋A）＝45°，由正弦定理，可得＝，所以BC＝×10＝5（n mile）. 【母题探究】 （变条件）在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的距离. 解：由已知，在△ABC中，AB＝10 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC＝60°，由余弦定理可得， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300.故BC＝10 n mile. 即B岛与C岛间的距离为10 n mile. 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 【跟踪训练】 1.A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为km. 解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39.所以AB＝. 2.（2024·泰安月考）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度CD是60m. 解析：tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，所以AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，所以AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m. 题型二 测量高度问题 【例2】　彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m　 B.20 m　 C.20 m　 D.20 m 解析：D　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，在△BCD中，＝，可得BC＝20 m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，则AB＝20 m.故选D. 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 【跟踪训练】 （2024·南阳月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin 70°≈0.94）（　　） A.10米 B.9.72米 C.9.40米 D.8.62米 解析：C　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4（米）. 题型三 测量角度问题 【例3】　某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时，求台风移动的方向. 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20（＋1），DC＝20，BC＝（＋1）×10. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向， 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°. 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 【跟踪训练】 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（－1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6，∴BC＝， ∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. ∵＝， ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　） A.北偏东10°方向上　　B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 解析：D　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D. 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（　　） A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析：A　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50（m）. 3.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：≈1.732）（　　） A.49米 B.51米 C.54米 D.57米 解析：D　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D. 4.（2024·东莞月考）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°（填度数）. 解析：依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（　　） A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m 解析：D　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4 m.故选D. 2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的（　　） A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上 解析：B　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上. 3.（2024·南平月考）一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（　　） A.5 海里/时 B.5海里/时 C.10海里/时 D.10海里/时 解析：D　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10（海里），在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5（海里），所以这艘船的速度是10海里/时.故选D. 4.某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距离为（　　） A.3 m B. m C. m D. m 解析：D　如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝x＝，∴x＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12－6cos 30°＝3，∴AC＝，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D. 5.（多选）（2024·济源月考）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 解析：AC　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得 CD＝， 即CD＝ ＝ 8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C. 6.（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案为（　　） A.测量A，B，b B.测量a，b，C C.测量A，B，a D.测量A，B，C 解析：ABC　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c. 7.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为3 km. 解析：连接AB，由题意AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km. 8.（2024·滨州月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶的俯角为45°，经过2 min后，又在B处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔约为5.3km.（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732） 解析：如图，过C点作直线AB的垂线，垂足为D.由题意得AB＝300×＝10 km，∠ACB＝30°，因为＝，所以BC＝AB·＝10 km，又因为sin 75°＝sin（45°＋30°）＝，所以CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5（＋1）≈13.66 km.故山顶的海拔约为19－13.66≈5.3 km. 9.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为1h. 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而｜t1－t2｜＝＝1（h）. 10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长. 解：在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 从而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040（m）. 所以索道AB的长为1 040 m. 11.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝（　　） A.a m B. m C.a m D.a m 解析：A　由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a（m），故选A. 12.（多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，则（　　） A.此山的高PO＝ km B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C.PA＝2 km D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 解析：BCD　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝（km），所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D. 13.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为4. 解析：在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4（负值舍去）. 14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝. 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝. 15.如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案. 解：此题答案不唯一，下面举出三种方案. （方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB. 由余弦定理，得 AB＝. （方案二）解四边形ABNM.如图①， 测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数. 在△AMN中，由余弦定理，得 AN＝， sin∠ANM＝， 在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM.由余弦定理，得AB＝. （方案三） 在线段AB上选一点C， 布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内部，不影响视线. 在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则 AC＝. 在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则 BC＝. 于是AB＝AC＋BC. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $