6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的实际应用，以故宫角楼高度测量情境导入，衔接定理知识，通过基线、方向角等概念梳理及自我诊断题，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，如测量海岛距离、珠峰高度等案例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过通性通法分类（距离、高度、角度测量）发展数学思维，结合跟踪训练强化数学语言表达，助力学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如 图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能 直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 目录 数学·必修第二册 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 1. 基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而 叫做基线； （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要 选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确 度越高. 确定的线段　 目录 数学·必修第二册 2. 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏 东30°，南偏东45°. 目录 数学·必修第二册 3. 仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角. 以上　 以下　 目录 数学·必修第二册 1. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上 C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上 解析：　如图所示. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·丽水月考）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距 离为（　　） A. a km B. a km C. a km D. 2a km 解析：　在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝ a.故选A. 目录 数学·必修第二册 3. （2024·三门峡质检）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同 一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（ － 1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为 米. 20 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔高为20米. 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 测量距离问题 【例1】　海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成 60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的 距离为 n mile. 5 解析：如图，在△ABC中，C＝180°－（B＋A）＝45°，由正弦定 理，可得 ＝ ，所以BC＝ ×10＝5 （n mile）. 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 （变条件）在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改 为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的 距离. 解：由已知，在△ABC中，AB＝10 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos 60°＝102＋202－2×10×20× ＝ 300.故BC＝10 n mile. 即B岛与C岛间的距离为10 n mile. 目录 数学·必修第二册 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类 型 A，B两点间 不可达或不可 视 A，B两点间可 视，但有一点 不可达 A，B两点都不可达 图 形 目录 数学·必修第二册 方 法 先测角C， AC＝b，BC ＝a，再用余 弦定理求AB 以点A不可达为 例，先测角 B，C，BC＝ a，再用正弦定 理求AB 测得CD＝a，∠BCD， ∠BDC，∠ACD，∠ADC， ∠ACB，在△ACD中用正弦定 理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝ 7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离 为 km. 解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB· cos C＝72＋52 －2×7×5× ＝39.所以AB＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 2. （2024·泰安月考）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， AB＝120 m，则河的宽度CD是 m. 解析：tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又AD＋DB＝120，所以 AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，所以AD＝60 ，故CD＝ 60.即河的宽度是60 m. 60 目录 数学·必修第二册 题型二 测量高度问题 【例2】　彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于 陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了 与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝ 15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为 60°，则塔高AB＝（　　） A. 30 m B. 20 m C. 20 m D. 20 m 目录 数学·必修第二册 解析：　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD ＝30°，在△BCD中， ＝ ，可得BC＝20 m，在 Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ，则AB＝20 m.故选D. 目录 数学·必修第二册 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C， AB＝a·tan C 目录 数学·必修第二册 类型 简图 计算方法 底 部 不 可 达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·南阳月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形 成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地 势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀 登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始， 直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工 作.在测量过程中， 目录 数学·必修第二册 已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（ sin 70°≈0.94）（　　） A. 10米 B. 9.72米 C. 9.40米 D. 8.62米 目录 数学·必修第二册 解析：　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10 sin 70°≈9.4（米）. 目录 数学·必修第二册 题型三 测量角度问题 【例3】　某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距20（ ＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海 里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台 风中心将从基地东北方向刮过且 ＋1小时后开始持续影响基地2小 时，求台风移动的方向. 目录 数学·必修第二册 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线 上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20（ ＋1），DC＝20 ，BC＝（ ＋1）×10 . 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 目录 数学·必修第二册 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ ， 所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位 于A的正北方向， 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°. 目录 数学·必修第二册 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（ －1） n mile的B 处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉 私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方 向行驶才能最快截获走私船？ 目录 数学·必修第二册 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私 船，则CD＝10 t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠CAB＝（ －1）2＋22－2（ －1）×2 cos 120°＝6，∴BC＝ ， ∵ ＝ ， ∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 目录 数学·必修第二册 ∵ ＝ ， ∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 目录 数学·必修第二册 1. 如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在 观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则 灯塔A在灯塔B的（　　） A. 北偏东10°方向上 B. 北偏西10°方向上 C. 南偏东80°方向上 D. 南偏西80°方向上 目录 数学·必修第二册 解析：　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝ 60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔 B的南偏西80°方向上.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧， 在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB ＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为 （　　） A. 50 m B. 50 m C. 25 m D. m 解析：　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由 ＝ ，得AB＝100× ＝50 （m）. 目录 数学·必修第二册 3. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中 的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某 人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米 到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近 于（忽略人的身高）（参考数据： ≈1.732）（　　） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 目录 数学·必修第二册 解析：　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°， ∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42， 又tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，可得h＝ ≈57米.故选D. 目录 数学·必修第二册 4. （2024·东莞月考）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 （填度数）. 45° 解析：依题意可得AD＝20 ，AC＝30 ，又CD＝50，所以 在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝ ＝ ＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（　　） A. 12 m B. 8 m C. 3 m D. 4 m 解析：　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30° ＝120°，由正弦定理得 ＝ ，即AB＝ ＝ ＝ 4 m.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 2. 若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向 上，且AC＝BC，则点A在点B的（　　） A. 北偏东15°方向上 B. 北偏西15°方向上 C. 北偏东10°方向上 D. 北偏西10°方向上 解析：　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝ BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90° －45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方 向上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 3. （2024·南平月考）一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看 见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方 向上，则这艘船的速度是（　　） A. 5 海里/时 B. 5海里/时 C. 10 海里/时 D. 10海里/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以 ∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10（海里），在Rt△ABC 中，由正弦定理，可得AB＝5（海里），所以这艘船的速度是10海 里/时.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 4. 某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走 3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距 离为（　　） A. 3 m B. m C. m D. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝ AB·BC sin ∠ABC＝ x＝ ，∴x＝ .由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝12－6 cos 30°＝ 3，∴AC＝ ，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 5. （多选）（2024·济源月考）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东 75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西 30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再 看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　） A. A处与D处之间的距离是24 n mile B. 灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C. 灯塔C在D处的西偏南60° D. D在灯塔B的北偏西30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝ 75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－ 75°＝45°，AB＝12 ，AC＝8 ，在 △ABD中，由正弦定理得 ＝ ，所以 AD＝ ＝24（n mile），故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ，即CD＝＝ 8 （n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 6. （多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同 学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案 （△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能 确定A，B间距离的方案为（　　） A. 测量A，B，b B. 测量a，b，C C. 测量A，B，a D. 测量A，B，C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利 用正弦定理 ＝ 解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋ b2－2ab cos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－ A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c；对于D，不知道长度， 显然不能求c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 7. 如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的 北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离 为 km. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：连接AB，由题意AC＝BC＝ ，∠ACB＝120°，则AB2 ＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 120°＝3＋3－2×3× ，即AB2 ＝9，即AB＝3 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 8. （2024·滨州月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内， 若飞机的海拔为19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山 顶的俯角为45°，经过2 min后，又在B处看到山顶的俯角为 75°，则山顶的海拔约为 km.（结果精确到0.1，参考数 据： ≈1.732） 5.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：如图，过C点作直线AB的垂线，垂足 为D. 由题意得AB＝300× ＝10 km，∠ACB ＝30°，因为 ＝ ，所以BC＝ AB· ＝10 km，又因为 sin 75°＝ sin （45°＋30°）＝ ，所以CD＝BC· sin ∠CBD＝10 × ＝5（ ＋1）≈13.66 km.故山顶的海拔约为19－13.66≈5.3 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 9. 台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中 心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处 于危险区内的持续时间为 h. 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋ 402－2×20t×40× cos 45°＝302.化简，得4t2－8 t＋7＝0， ∴t1＋t2＝2 ，t1·t2＝ .从而｜t1－t2｜＝ ＝1（h）. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 10. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一 种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然 后从B沿直线步行到C. 山路AC长为1 260 m，经测量， cos A＝ ， cos C＝ ，求索道AB的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解：在△ABC中，因为 cos A＝ ， cos C＝ ， 所以 sin A＝ ， sin C＝ . 从而 sin B＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由 ＝ ，得AB＝ · sin C＝ × ＝1 040（m）. 所以索道AB的长为1 040 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 11. 如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的 斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h ＝（　　） A. a m B. m C. a m D. a m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝ 60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°， ∴ ＝ ，∴PB＝ a m，∴h＝PC＋CQ＝ a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 12. （多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A 处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后， 到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且 cos ∠AOB＝－ ，则（　　） A. 此山的高PO＝ km B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C. PA＝2 km D. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝ x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝ x km，OB＝x km.因 为AB＝7.5× ×20＝ （km），所以 cos ∠AOB＝ ＝ ＝－ ，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知 sin ∠AOB＝ ，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为 ＝ .又AO＞BO，所以最小 仰角为30°.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 13. 如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D 两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2 ，CD ＝4 ，则BC的长为 　4 　. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：在△ABD中，由正弦定理得 sin ∠ADB＝ ＝ ＝ ，∵∠ADC＝90°，∴ cos ∠BDC＝ ，在△BDC中，由余 弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD· cos ∠BDC＝24＋48－4 ×4 × ＝48，∴BC＝4 （负值舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 14. 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从 A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后 从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步 行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后 他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则 sin A ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为 x m/s，因为 AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以 ＝ ，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos A＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 15. 如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案. 解：此题答案不唯一，下面举出三种方案. （方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可 同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB. 由余弦定理，得 AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 （方案二）解四边形ABNM. 如图①， 测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数. 在△AMN中，由余弦定理，得 AN＝ ， sin ∠ANM＝ ， 在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM. 由余弦定理，得AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 （方案三） 在线段AB上选一点C， 布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN 的内部，不影响视线. 在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则 AC＝ . 在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则 BC＝ . 于是AB＝AC＋BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 $