拓视野 向量加法三角形法则的推广-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量加法法则的推广，以机器人世界杯比赛中机器人跳舞的正多边形轨迹为情境导入，衔接向量加法三角形法则，梳理从单一向量合成到多边形位移合成的知识脉络。 特色在于情境化探究设计，通过机器人跳舞轨迹让学生用数学眼光观察运动规律，推导α角满足条件培养推理思维，向量表示位移体现数学语言应用。实例丰富如正八边形轨迹分析，提升学生应用意识与几何直观，教师可借情境互动，丰富教学资源。

拓 视 野　向量加法三角形法则的推广 　在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断. 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，……，最终回到起点. 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球，又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！ 【问题探究】 1.当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明（假设机器人跳1步为1米）. 提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手的位移为零. 2.要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？ 提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝，且n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝，且n≥3，n∈N*. 【迁移应用】 甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为＋＋＝，故球的最终位移为， 依题意知△ABC为正三角形，故｜｜＝｜｜＝AC＝2 m. 又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以｜｜＝ m. 1.化简＋＋＝（　　） A.0　　　　B.0 C.　　　　D. 解析：B　＋＋＝＋＝0，故选B. 2.（多选）下列等式正确的是（　　） A.a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 解析：AC　易知A、C正确.B错误，因为＋＝0；D错误，因为只有在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，而其它情况下等式不成立. 3.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量： （1）＋＝； 解析：因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. （2）＋＝； 解析：因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝. （3）＋＝0. 解析：因为＝，故＋＝＋＝0. 4.如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋表示的向量. 解：如图，连接DA，＋＝＋＝， 因为四边形DEAF和四边形CDFE均为平行四边形， 所以＋＝，＋＝＋＝. 1.在四边形ABCD中，＋＋＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　＋＋＝＋＋＝，故选D. 2.（2024·龙岩月考）已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向（　　） A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.不确定 解析：A　若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同.故选A. 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　） A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行（1＋）km 解析：B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B. 4.（2024·中山月考）在矩形ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝2，则向量＋＋的长度为（　　） A.2 B.4 C.12 D.6 解析：B　因为在矩形ABCD中，＋＝，所以＋＋的长度为｜｜的2倍.又｜｜＝＝2，所以向量＋＋的长度为4. 5.（多选）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有（　　） A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ 解析：AC　由题意，向量a＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C. 6.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　） A.＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＋＝0 解析：ACD　由向量加法的平行四边形法则可得＋＝，故A正确；由向量加法的三角形法则可得＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确.故选A、C、D. 7.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝e. 解析：a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e. 8.（2024·舟山月考）在边长为1的等边三角形ABC中，｜＋｜＝1，｜＋｜＝. 解析：易知｜＋｜＝｜｜＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC（图略），则｜＋｜＝｜｜＝2｜｜×sin 60°＝2×1×＝. 9.某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h. 解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h. 10.如图所示，在△ABC中，O为△ABC的重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： （1）＋＋； （2）＋＋； （3）＋＋. 解：（1）＋＋＝＋＝. （2）＋＋＝（＋）＋＝＋＝. （3）＋＋＝＋＋＝＋＝. 11.（2024·安阳月考）若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜＋｜＝，则△ABC的形状是（　　） A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析：D　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形. 12.若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　　） A.2｜a｜＞｜2a＋b｜ B.2｜a｜＜｜2a＋b｜ C.2｜b｜＞｜a＋2b｜ D.2｜b｜＜｜a＋2b｜ 解析：C　因为｜a＋b｜＝｜b｜，所以｜a＋2b｜＝｜a＋b＋b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜.因为a，b是非零不共线向量，所以a＋b与b不共线，故等号不成立. 13.设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值的和为24. 解析：当a与b同向共线时，｜a＋b｜max＝20；当a与b反向共线时，｜a＋b｜min＝4，所以｜a＋b｜的最大值与最小值的和为24. 14.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 解：如图，设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜，两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋800＝1 600（km）. 又∠α＝35°，∠β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以｜｜＝＝＝800（km）， 其中∠BAC＝45°， 所以的方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移的和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $