拓视野 互斥与独立事件关系的判断-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦互斥事件与独立事件的区别、联系及运算性质，通过对比概念（互斥事件相互影响、独立事件互不影响），结合表格呈现概率公式，搭建从概念理解到公式应用的学习支架。 其亮点在于以现实情境例题（如环保问答、电话接听）引导学生用数学眼光观察问题，通过事件符号表达与逻辑推理培养数学思维和语言。分层练习（基础到拓展）助力学生掌握概率计算，既提升学生应用能力，也为教师提供高效教学资源。

拓 视 野　互斥与独立事件关系的判断 1. 互斥事件与独立事件的区别与联系 从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相 容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比 如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影 响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容. 2. 互斥事件与独立事件的运算性质 已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有 数学·必修第二册 事件 表示 概率（A，B互 斥） 概率（A，B相 互独立） A，B中至少有 一个发生 P（A∪B） P（A）＋P （B） 1－P（ ）P （ ）或P （A）＋P （B）－P （AB） A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P （B） 数学·必修第二册 事件 表示 概率（A，B互 斥） 概率（A，B相 互独立） A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋ P（B）] P（ ）P （ ） A，B恰有一个 发生 P（A ∪ B） P（A）＋P （B） P（A）P （ ）＋P （ ）P（B） A，B中至多有 一个发生 P（ ∪A ∪ B） 1 1－P（A）P （B） 数学·必修第二册 【例1】　（2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答 比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环 保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两 个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概 率是 .若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； 数学·必修第二册 解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道 题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P （A）＝ ，且有 即 所以P（B）＝ ，P（C）＝ . 数学·必修第二册 （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题 的概率. 解：有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（ ）＝P（ ） P（ ）P（ ）＝ × × ＝ ， 有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A ＋ B ＋ C） ＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1 ＝1－ － ＝ . 数学·必修第二册 【例2】　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响 第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时 被接的概率是0.35. （1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ 解：设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N）， 那么事件Ak彼此互斥， 设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A， 根据互斥事件概率加法公式，得： P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4） ＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4） ＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95. 数学·必修第二册 （2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件， 记为 ， 根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95 ＝0.05. 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一 粒，则两粒种子都发芽的概率是（　　） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 解析：　由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独 立，则下列命题一定成立的是（　　） A. A与B相互独立 B. A与C互斥 C. B与C互斥 D. 与 相互独立 解析：　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指 的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件 是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独 立，由两事件相互独立的性质易知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 3. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（　　） A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙 都没有射中目标” D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中 目标但乙未射中目标” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个 事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中， 甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的 概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一 次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同 时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人 射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B， 则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P （B），故事件A，B不相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 4. （2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节 来徐州旅游的概率分别是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有 影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ） ×（1－ ）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1 人来徐州旅游的概率为1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 5. （多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，则（　　） A. P（ ）＝ B. P（A ）＝ C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B） ＝ ，可得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P （ ）＝1－P（B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P （ ）＝ × ＝ ，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式可得P（A ＋ B）＝P （A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 6. （多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为 ，乙 成功的概率为 ，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为 .则 （　　） A. 甲、乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A. 根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝ ；B. 由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（ ）＝ ；C. 两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝ ；D. 所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝ .故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 7. 设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P （AB）＝ ，P（A∪B）＝ ⁠. 解析：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P （A∪B）＝1－P（ ）P（ ）＝1－0.3×0.2＝0.94. 0.56 0.94 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 8. 甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都 是 ，则这道数学题被解出的概率是 　​ 　. 解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝ × ＝ ，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 9. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售 A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口 罩的概率分别如表： 购买A种医用外 科口罩 购买B种医用外 科口罩 购买C种医用外 科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 ⁠. 解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的 概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋ 0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28. 0.28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 10. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ， 乙投篮命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相 互没有影响. （1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ， 因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立， 那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率. 解：由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ） ＝ × ＝ ， 所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 11. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工 作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1， A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率 为（　　） A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B， C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2 至少有一个正常工作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－ 0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96 ＝0.864.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 12. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概 率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们 三人中恰有两人被录取的概率为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概 率为 × × ＝ ，仅甲和丙被录取的概率为 × × ＝ ，仅乙和丙被录取的概率为 × × ＝ ，则他 们三人中恰有两人被录取的概率为 ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 13. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生 的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P （A）＝ ⁠. ​ 解析：由题意知，P（ ）·P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P （A）·P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0， 1），则即∴x2－ 2x＋1＝ ，解得x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 14. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环 节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ， ， ， ，且每个环节是否通过互不影响.求： （1）此人进入第四环节才被淘汰的概率； 解：由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四 环节才被淘汰的概率为 × × ×（1－ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）此人至多进入第三环节的概率. 解：法一　此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ； 此人进入第二环节被淘汰的概率为 ×（1－ ）＝ ； 此人进入第三环节被淘汰的概率为 × ×（1－ ）＝ ， 所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ . 法二　此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第三环节的概率为1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 15. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙 队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则 甲队获得冠军的概率为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局 甲队获胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获 胜，此时的概率为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率 为 ＋ ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 16. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须 参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知 在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮 比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛 中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概 率更大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解：设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2） ＝P（B1）P（B2）＝ × ＝ ，∵ ＞ ，∴派甲参赛获胜的概率更大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 解：由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”， ∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－ ＝ . 设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”. ∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 $