培优课 解三角形中的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦解三角形综合问题，涵盖与三角恒等变换、三角函数的综合应用，以及中线、角平分线、最值等专题。通过典型例题导入，从基础边角关系（如a+c=2b）逐步过渡到复杂综合问题，搭建从单一知识到综合应用的学习支架。 其亮点是通过“通性通法”总结解题策略，如边角互化、方程思想，结合向量法求中线长等实例，培养学生数学思维与推理能力。跟踪训练和随堂检测帮助学生用数学眼光分析问题，提升解题能力，教师可直接用于教学，提高效率。

培优课　解三角形中的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 解三角形与三角恒等变换的综合 【例1】　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a ＋c＝2b. （1）求证：B≤ ； 解：证明：由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ≥ ＝ ，∵B是△ABC的内角，∴0＜B≤ . 目录 数学·必修第二册 （2）若C＝2A，试求a∶b∶c. 解：在△ABC中，由a＋c＝2b，结合正弦定理可得 sin A＋ sin C＝2 sin B， ∵C＝2A，∴B＝π－A－C＝π－3A， ∴ sin A＋ sin 2A＝2 sin 3A， 即 sin A＋2 sin A cos A＝2（ sin A cos 2A＋ cos A· sin 2A）＝ 2[ sin A（2 cos 2A－1）＋2 sin A cos 2A]， ∵ sin A＞0， ∴1＋2 cos A＝2（2 cos 2A＋2 cos 2A－1）， 整理得8 cos 2A－2 cos A－3＝0， 目录 数学·必修第二册 解得 cos A＝ 或 cos A＝－ . ∵C＝2A，∴0＜A＜ ，∴ cos A＝ . 由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ， 代入a＋c＝2b，得2b2＋2c2－2（2b－c）2＝3bc，整理得b ＝ c， ∴a＝ c， 故a∶b∶c＝ c∶ c∶c＝4∶5∶6. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋ B＋C＝π）展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角 或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理 替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化 为一个角的三角函数问题，从而求解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·宁波月考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c， ＋ ＝6 cos C，则 ＋ ＝ ⁠. 解析：法一　因为 ＋ ＝6 cos C，所以 ＝6· ，所以 2a2＋2b2＝3c2.而 ＋ ＝ ＋ ，由正弦定理及余 弦定理的推论，可得 ＋ ＝ （ · ＋ · ）＝ · ＝ · ＝ ＝4. 4 目录 数学·必修第二册 法二　由 ＋ ＝6 cos C，可得a2＋b2＝6ab cos C. 又在△ABC中， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c2＝4ab cos C，故 ＋ ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＝ · ＝ · ＝4. 目录 数学·必修第二册 法三　 ＋ ＝ ＋1＋ ＋1－2＝ ＋ －2＝ ＋ －2.观察式子结构，使用 正弦定理，得到 ＋ ＝ ·（ ＋ ）－2＝ （ ＋ ）－2＝ ·6 cos C－2＝4. 目录 数学·必修第二册 题型二 解三角形与三角函数的综合 【例2】　已知函数f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx＋ ，其中ω ＞0，若实数x1，x2满足｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的 最小值为 . （1）求ω的值及f（x）的对称中心； 目录 数学·必修第二册 解：f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx＋ ＝ sin 2ωx－ ＋ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ sin （2ωx＋ ）， 显然f（x）的最大值为1，最小值为－1， 则｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值等于 ， 则 ＝ ，则 ＝π，ω＝1； 令2x＋ ＝kπ，k∈Z，解得x＝－ ＋ ，k∈Z，则f（x） 的对称中心为（－ ＋ ，0），k∈Z. 目录 数学·必修第二册 （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A） ＝－1，a＝ ，求△ABC周长的取值范围. 解：f（A）＝ sin （2A＋ ）＝－1，2A＋ ＝－ ＋2kπ， k∈Z，又A∈（0，π），则A＝ ， 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝2，则b＝2 sin B，c＝2 sin C， 目录 数学·必修第二册 则周长为a＋b＋c＝ ＋2 sin B＋2 sin C＝ ＋2 sin B＋2 sin （ －B）＝ ＋ sin B＋ cos B＝ ＋2 sin （B＋ ）， 又0＜B＜ ，则 ＜B＋ ＜ ，则 ＜2 sin （B＋ ）≤2， 故周长的取值范围为（2 ，2＋ ］. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　正、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由 正、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公 式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函 数求角，解与三角形有关的问题. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·郑州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，设f（x）＝ sin （x＋B）＋ cos （x＋B）tan C，且f（ ） ＝－ . （1）求角A； 目录 数学·必修第二册 解：f（x）＝ ＝ ＝ ＝－ . ∵f（ ）＝－ ，∴－ ＝－ ，∴ sin （ － A）＝1. 又0＜A＜π，∴－ ＜ －A＜ ，∴ －A＝ ，∴A＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若△ABC的面积为 ，且 sin B＋ sin C＝ ，求a的值. 解：∵△ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc· ＝ ，∴bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知 ＝ ＝ ＝2R， sin B＝ ， sin C＝ ，a＝ R， sin B＋ sin C＝ ⇒b＋c ＝ R， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，∴a2＝（b＋c）2－ 3bc， ∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2 . 目录 数学·必修第二册 题型三 解三角形中的中线问题 【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b， c，且满足b cos ＝a sin B. （1）求A； 解： cos ＝ cos （ － ）＝ sin ，∴b sin ＝a sin B， 目录 数学·必修第二册 由正弦定理得： sin B sin ＝ sin A sin B， ∵ sin B≠0，∴ sin ＝ sin A， ∴ sin ＝2 sin cos ，∵A∈（0，π）， ∈（0， ），∴ sin ≠0，得 cos ＝ ，即 ＝ ， ∴A＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若a＝ ， · ＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 解：∵ · ＝3， ∴bc cos （π－A）＝3，得bc＝6， 由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， ∵ ＝ （ ＋ ）， ∴｜ ｜2＝ （ ＋ ）2＝ （c2＋b2＋2bc cos A）＝ ， ∴｜ ｜＝ ，即AD的长为 . 目录 数学·必修第二册 通性通法 求解三角形中线问题的常用方法 （1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2 ＝2（BD2＋AD2）； （2）向量法： ＝ （b2＋c2＋2bc cos A）. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝ b cos A. （1）求角A的大小； 解：由a sin B＝ b cos A及正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为A，B∈（0，π），则 sin B＞0，可得 sin A＝ cos A＞0， 则tan A＝ ，因此A＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值. 解：因为 ＝ （ ＋ ）， 所以2 ＝ ＋ ，所以4 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · ， 即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）. 目录 数学·必修第二册 题型四 解三角形中的角平分线问题 【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且满足b cos ＝a sin B. 若a＝2 ， · ＝ ，AD是△ABC的 角平分线，求AD的长. 目录 数学·必修第二册 解：由b cos ＝a sin B可得A＝ ，由 · ＝ ，得cb cos ＝ ，∴bc＝3，又a＝2 ， ∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－2bc＋bc＝12， 可得b＋c＝ ＝ ， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴ bc sin ＝ b·AD· sin ＋ c·AD· sin ， ∴AD＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 求解三角形中角平分线问题的常用方法 　　在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a， b，c： （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； （2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝ ； （3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝ （角平分线 长公式）. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝ ，b ＝2 ，b2＋c2－a2＝ bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则 AE＝（　　） A. B. C. 2 D. 3 目录 数学·必修第二册 解析：　∵b2＋c2－a2＝ bc，∴ cos ∠BAC＝ ＝ ， ∵B＝ ，∴∠BAC∈（0， ） ，∴∠BAC＝ ，∴C＝ ，∴ ＝ ，∴c＝ × ＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ，∴∠AEB＝π－ － ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝ ＝ × sin ＝ × ＝ . 目录 数学·必修第二册 题型五 解三角形中的最值（范围）问题 【例5】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A. （1）求B； 目录 数学·必修第二册 解：由题设及正弦定理得 sin A sin ＝ sin B sin A. 因为 sin A≠0，所以 sin ＝ sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得 sin ＝ cos ， 又 sin B＝2 sin cos ，所以 cos ＝2 sin · cos . 因为 cos ≠0，所以 sin ＝ ，所以B＝60°. 目录 数学·必修第二册 （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC＝ a. 由（1）知A＋C＝120°， 由正弦定理得a＝ ＝ ＝ ＋ . 所以S△ABC＝ （ ＋ ）＝ ＋ . 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 目录 数学·必修第二册 结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以tan C∈（ ，＋∞）. 从而 ＜S△ABC＜ . 因此，△ABC面积的取值范围是（ ， ）. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问 题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问 题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调 性，再结合角的范围确定最值（范围）. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面 积为S，且满足S＝ （a2＋b2－c2）. （1）求角C的大小； 解：由题意可知 ab sin C＝ ×2ab cos C. 所以tan C＝ . 因为0＜C＜π，所以C＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）求 sin A· sin B的最大值. 解：由已知 sin A· sin B＝ sin A· sin （π－C－A）＝ sin A· sin （ －A）＝ sin A（ cos A＋ sin A）＝ sin 2A－ cos 2A ＋ ＝ sin （2A－ ）＋ . 因为0＜A＜ ，所以－ ＜2A－ ＜ ， 所以当2A－ ＝ ，即A＝ 时， sin A· sin B取最大值 . 所以 sin A· sin B的最大值是 . 目录 数学·必修第二册 1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是 （　　） A. （2，8） B. （1，4） C. （4，＋∞） D. （2，4） 解析：　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依 题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝ ＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜ 4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·汕尾月考）在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝ π，则AB 边上的高为（　　） A. B. C. D. 目录 数学·必修第二册 解析：　因为BC＝3，AB＝7，C＝ π，所以由余弦定理可得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos π，即49＝AC2＋9＋3AC，解得 AC＝5或AC＝－8（舍去），设AB边上的高为h，则 AB·h＝ AC·BC· sin C，即7h＝3×5× ⇒h＝ ，故选B. 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝ ⁠. 解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得， ×2×3× sin 120°＝ ×2AD× sin 60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的 周长为4（ ＋1），且 sin B＋ sin C＝ sin A，则a＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 2 解析：　由题知周长为a＋b＋c＝4（ ＋1）①，∵ sin B＋ sin C＝ sin A，由正弦定理得b＋c＝ a②，∴由①②，可解得a ＝4，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 2. （2024·威海质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知三个向量m＝（a， cos ），n＝（b， cos ），p ＝（c， cos ）共线，则△ABC为（　　） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　∵向量m，n共线，∴a cos ＝b cos ，由正弦定理得 sin A cos ＝ sin B cos ，∴2 sin · cos cos ＝2 sin cos cos . ∵ cos ≠0， cos ≠0，∴ sin ＝ sin .∵0＜ ＜ ，0＜ ＜ ， ∴ ＝ ，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的 面积为 ，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为（　） A. B. 3 C. D. 4 解析：　由题意结合正弦定理得 sin C＝2 sin B cos B，即 sin C＝ sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝ 180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C ＋2B＝180°时，B＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为 ，所以 a·a· ＝ ，解得a＝2（负值舍去），即a＝b＝2.由余弦定理可知c＝ ＝ ＝2 .设AC边的中点为D，则 ＝ （ ＋ ），因此｜ ｜＝＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°， b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝ ，则 cos ∠ADB＝ （　　） A. － B. C. D. ± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD ＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ 3.因为BD＝ ，所以CD＝3 ，a＝CB＝4 .由余弦定理可 得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c· ，解得c ＝4.在△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin ∠ADB＝ .因为b＞c，所以B＞C. 又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC， 所以∠ADB为锐角，所以 cos ∠ADB＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 5. （2024·郑州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，且BC边上的高为 a，则 ＋ 的最大值为（　　） A. 8 B. 6 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　∵BC边上的高为 a，∴S△ABC＝ a× a＝ bc sin A，∴a2＝2 bc sin A，由余弦定理得2 bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，整理得 ＝2 sin A＋2 cos A，即 ＋ ＝4 sin （A＋ ）.∵A∈（0，π），∴A＋ ∈（ ， ），∴当A＋ ＝ ，即 A＝ 时，4 sin （A＋ ）有最大值，且最大值为4.∴ ＋ 的最大 值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝ ，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大 值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由 余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得 c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋c2＝36 ＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④， 联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且 仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin ≤ ×16× ＝4 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 7. （多选）在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D， AD＝1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是（　　） A. AB＝8 B. ＝ C. AB＝6 D. △ABD的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　如图所示，因为AD是角平分线，设 ∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二 倍角公式得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝ ，且0＜α ＜ ，所以 cos α＝ ，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝ ，在Rt△ACB中，AB＝ ＝ ×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理， ＝ ＝ × ＝ ，故B正确；因为 cos α＝ ，且0＜α＜ ，所以 sin α＝ ，所以S△ABD＝ AD·AB· sin α＝ ×6× ＝ ，故D正确，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 8. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正 确的是（　　） A. sin A∶ sin B∶ sin C＝4∶5∶6 B. △ABC是钝角三角形 C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍 D. 若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　因为（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝ 9∶10∶11，所以可设解得所以由 正弦定理可得 sin A∶ sin B∶ sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正 确；易知c最大，所以△ABC中角C最大，又 cos C＝ ＝ ＝ ＞0，所以C为锐角，所以△ABC为锐 角三角形，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 易知a最小，所以△ABC中角A最小，又 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 cos 2A＝2 cos 2A－1＝ ，所以 cos 2A＝ cos C，由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈（0，π），C∈（0， ），所以2A＝C，故C正确；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝ ，又c＝6， sin C＝ ＝ ，所以2R＝ ，解得R＝ ，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 9. （2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C 的最大值为 ⁠. 解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2⇒a2＋b2－c2 ＝c2⇒ ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a ＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 . 2 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ， a＝6，1≤b≤4，则 sin A的取值范围为 ⁠. 解析：∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2 －ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋ 27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ， 可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］. ［ ，1］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x） ＝a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； 解：因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x）， 则f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ， 由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （B）＝ 且b＝ .求a＋c的取值范围. 解：由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－ ∈（－ ， ），即2B－ ＝ . 所以B＝ ，又b＝ ， 由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2 cos （A－ ）， 又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ， 所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ]. 即a＋c的取值范围为（ ，2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 12. （2024·潮州月考）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分 ∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍. （1）求 ； 解：如图， 过A作AE⊥BC于E. 因为 ＝ ＝2， 所以BD＝2DC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD∠DAC. 在△ABD中， ＝ ， 所以 sin B＝ . 在△ADC中， ＝ ， 所以 sin C＝ ， 所以 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 （2）若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长. 解：由（1）知，BD＝2DC＝2× ＝ . 如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. 因为AD平分∠BAC，所以DM＝DN， 所以 ＝ ＝2，所以AB＝2AC. 令AC＝x，则AB＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 因为∠BAD＝∠DAC，所以 cos ∠BAD＝ cos ∠DAC， 所以由余弦定理可得 ＝ ， 解得x＝1，即AC＝1. 综上，BD的长为 ，AC的长为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 13. 如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游 景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB 上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假 山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在 △OAN的一周安装防护网. （1）当AM＝ km时，求防护网的总长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解：因为在△OAB中，OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°. 在△AOM中，由OA＝3 km，AM＝ km，∠OAM＝60°及余弦定理，得OM＝ ＝ km. 所以OM2＋AM2＝OA2，即OM⊥AN， 所以∠AOM＝30°，即∠AON＝60°. 所以△OAN为等边三角形，所以△OAN的周长为3OA＝9 km，即防护 网的总长度为9 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 （2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小. 问：如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面 积是多少？ 解：设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°）. 在△OAN中，由 ＝ ， 得ON＝ km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 在△AOM中，由 ＝ ，得OM＝ km. 所以S△OMN＝ OM·ON· sin 30°＝ ＝ km2. 当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最 小面积为 km2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 $