拓视野 三角形解的个数判断-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“三角形解的个数判断”，系统梳理已知两角一边唯一解、两边及其中一边对角多解情况，通过代数法（正弦定理、大边对大角）与几何法（画弧判断交点）构建学习支架，衔接正弦定理应用与图形直观，帮助学生逐步掌握判断逻辑。 其亮点在于代数推理与几何直观结合，通过例题解析（如a=9,b=10,A=60°两解判断）和迁移应用（选项题分析），培养数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。学生能提升逻辑推理与空间想象，教师可借助系统例题与分层练习优化教学，提高课堂效率。

拓 视 野　三角形解的个数判断 1. 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解， 三角形被唯一确定. 2. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能 出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样 判断解的个数呢？ 数学·必修第二册 具体方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判 定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有 一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A， 一解；③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解. 数学·必修第二册 （2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边 长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个 数即为三角形解的个数，见下表： 分类 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 a＜b sin A 无解 数学·必修第二册 分类 图形 关系式 解的个数 A为锐 角 a＝b sin A 一解 b sin A＜ a＜b 两解 a≥b 一解 数学·必修第二册 分类 图形 关系式 解的个数 A为 钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 数学·必修第二册 【例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； 解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解. 数学·必修第二册 （2）a＝9，b＝10，A＝60°； 解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1. 所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是 60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B ＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. 数学·必修第二册 （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ . 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 数学·必修第二册 方法总结 1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝ ，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形 解的个数（1或2）的前提. 2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条 件判断三角形解的个数. 数学·必修第二册 【迁移应用】 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列 条件解三角形，其中有两解的是（　　） A. a＝30，b＝50，A＝36° B. a＝50，b＝30，A＝36° C. a＝30，b＝60，A＝30° D. a＝30，B＝20°，A＝136° 数学·必修第二册 解析：　A选项，b sin A＝50 sin 36°＜a，又a＜b，所以三角 形有两个解；B选项，b sin A＝30 sin 36°＜a，又a＞b，所以三 角形有一个解；C选项，b sin A＝60 sin 30°＝30＝a，所以三角形 有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A. 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝ x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　） A. x＞2 B. x＜2 C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2 解析：　由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1， 可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C. 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ， c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 解的个数不确定 解析：　法一　由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sin B＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解. 法二　∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解. 法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为 半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝ ，则角B的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：　由正弦定理 ＝ 及 ＝ ，可得 sin B＝ cos B. 又0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 3. （2024·阳江月考）在△ABC中，已知AB＝ AC，B＝30°，则 C＝（　　） A. 45° B. 15° C. 45°或135° D. 15°或105° 解析：因为AB＝ AC，由正弦定理得 ＝ ，又因为B＝30°，所以 sin C＝ ，又因为AB＞AC，所以C＝45°或C＝35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 4. （2024·开封月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝（　　） A. 4 B. 3 C. D. 解析：　 sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C ＝ × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 5. （多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由正弦定理 ＝ ，得 ＝ .又a cos A＝b cos B，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos A＝ sin B· cos B，所以2 sin A· cos A＝2 sin B· cos B，即 sin 2A＝ sin 2B. 因为 A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A ＋B＝ ，故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 6. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　） A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝ 90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B， C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝ sin 30°∶ sin 30°∶ sin 120°＝1∶1∶ . 1∶1∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝ c，则A＝ ⁠. 解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2R sin A sin C＝ ×2R sin C，因此 sin A＝ ，又因为0°＜A＜180°， 故A＝45°或A＝135°. 45°或135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 9. （2024·烟台月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.若a＝ ， sin B＝ ，C＝ ，则b＝ ⁠. 解析：在△ABC中，∵ sin B＝ ，0＜B＜π，∴B＝ 或B＝ π.又 ∵B＋C＜π，C＝ ，∴B＝ ，∴A＝π－ － ＝ π.∵ ＝ ，∴b＝ ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解：∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－（A＋C）＝45°. ∵ ＝ ＝ ， ∴b＝ ＝ ＝2 ， c＝ ＝ ＝ ＋ . ∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ . 10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条 件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）b＝3，c＝3 ，B＝30°. 解：由正弦定理，得 ＝ ， 即 ＝ ，解得 sin C＝ . ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为 直角三角形，此时a＝ ＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B， ∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 11. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取 值范围为（　　） A. （ ， ） B. （ ，2） C. （0，2） D. （ ，2） 解析：　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B ＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈ （ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 12. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B D. 在△ABC中， ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c ＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正 确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A ＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理 可得， sin A＞ sin B⇔a＞b⇔A＞B，故C正确；对于D，由 ＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B ＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ， 得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c sin B，即 ＜b＜2. （ ，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 14. （2024·嘉兴月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且a cos C＋ c＝b. （1）求角A的大小； 解：由a cos C＋ c＝b， 得 sin A cos C＋ sin C＝ sin B. 因为 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 所以 sin C＝ cos A sin C. 因为 sin C≠0，所以 cos A＝ . 因为0＜A＜π，所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）若a＝1，b＝ ，求c的值. 解：由正弦定理，得 sin B＝ ＝ . 又b＞a，所以B＞A，所以B＝ 或B＝ . ①当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ ， 所以c＝ ＝2. ②当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ . 所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或c＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 15. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB＝ ，BC＝1， ∠APC＝120°，则tan∠BCP＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：由题得AC＝ ＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP ＝α，∴∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－（60°－α） ＝α，在Rt△PBC中，PC＝1× cos α＝ cos α.在△ACP中，由正 弦定理得 ＝ ，∴tan α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ， A＝ ，试求△ABC的周长的取值范围. 解：由正弦定理，得 ＝ ＝ ， 即 ＝ ＝ ＝2， ∴b＝2 sin B，c＝2 sin C， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝ ＋2 sin B＋2 sin C＝ ＋2 sin B＋2 sin （ －B） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 ＝ ＋3 sin B＋ cos B ＝ ＋2 sin （B＋ ）， 又B∈（0， ），∴B＋ ∈（ ， ）， ∴ sin （B＋ ）∈（ ，1］，∴L∈（2 ，3 ]. 即△ABC的周长的取值范围为（2 ，3 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 $