6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，通过情境导入问题“如何用坐标表示向量数量积”，衔接向量加减与数乘坐标运算，构建前后知识脉络，为学生提供学习支架。 其亮点在于对比向量垂直与平行的坐标表示并总结记忆口诀，通过典型例题精研析和通性通法提炼，培养学生数学运算与逻辑推理素养。如用坐标法解决正方形向量问题，分层练习覆盖基础到拓展，学生能提升解题能力，教师可高效开展教学。

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两 个平面向量的夹角 数学运算 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2， y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标. 【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ 目录 数学·必修第二册 知识点　平面向量数量积的坐标表示 　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.则 （1）a·b＝ ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的 ⁠； （2）｜a｜2＝ ，或｜a｜＝ ⁠； （3）a⊥b⇔ ＝0（a，b是非零向量）； x1x2＋y1y2　 乘积的和　 ＋ 　 　 x1x2＋y1y2　 目录 数学·必修第二册 （4）若a，b都是非零向量，则 cos θ＝ ⁠＝ ⁠. 　 　 目录 数学·必修第二册 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0 平行 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0 提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 【想一想】 向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 目录 数学·必修第二册 1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　） A. 3 B. C. － D. －3 解析：　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4， ∴x＝－ . 目录 数学·必修第二册 2. 已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b 与b垂直， 则｜a｜＝（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 解析：　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1 ＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝ ＝2. 目录 数学·必修第二册 3. 已知a＝（3，4），b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 解析：　｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝13.a·b＝ 3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平面向量数量积的坐标表示 【例1】　（2024·江门月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解：法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－ 4）＋2×0＝4. 法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. 目录 数学·必修第二册 （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝ （－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－ 5）＋4×2＝－2. 目录 数学·必修第二册 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性 质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行 数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计 算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之 差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·三明月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3， x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝ 30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. 目录 数学·必修第二册 2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， ＝2 ，求 · 的值. 解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1）， D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F （ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）－（2，0）＝（－ ，2）， 所以 · ＝（2，1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ . 目录 数学·必修第二册 题型二 平面向量的模 【例2】　（1）（2022·全国乙卷3题）已知向量a＝（2，1），b＝ （－2，4），则｜a－b｜＝（　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所 以｜a－b｜＝ ＝5，故选D. D 目录 数学·必修第二册 （2）（2024·商丘月考）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2）， 且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝ ⁠. 解析：∵a＋b＝（x－1，y＋2）＝（1，3），则x＝2，且y＝ 1.∴a＝（2，1），则a－2b＝（4，－3），故｜a－2b｜＝ ＝5. 5 目录 数学·必修第二册 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为 向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝ x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝ （　　） A. B. C. 5 D. 25 解析：　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ， ∴（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝ 25，∴｜b｜＝5.故选C. 目录 数学·必修第二册 2. 已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2）， B（4，1），C（0，－1），则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上均不正确 解析：　｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜ ＝ ＝ .又｜ ｜＝ ＝ ，∴｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△ABC为等腰直角三角形. 目录 数学·必修第二册 题型三 向量的夹角与垂直 【例3】　已知a＝（4，3），b＝（－1，2）. （1）求a与b夹角的余弦值； 解：因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2， ｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝ ， 设a与b的夹角为θ， 所以 cos θ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值. 解：因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8）， 又（a－λb）⊥（2a＋b）， 所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出 cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值 范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ的值时，要注 意 cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝（1，0），e2＝ （0，1），则向量a与b夹角的余弦值为 ⁠. 解析：∵a＝e1－e2＝（1，0）－（0，1）＝（1，－1），b＝4e1 ＋3e2＝4（1，0）＋3（0，1）＝（4，3），∴｜a｜＝ ，｜ b｜＝5，a·b＝4×1＋3×（－1）＝1，设a，b的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 2. （2024·济宁月考）已知向量a＝（1，3），b＝（3，4），若（a －λb）⊥b，则λ＝ ⁠. 解析：法一　a－λb＝（1－3λ，3－4λ），∵（a－λb）⊥b， ∴（a－λb）·b＝0，即（1－3λ，3－4λ）·（3，4）＝0，∴3－9λ ＋12－16λ＝0，解得λ＝ . ​ 法二　由（a－λb）⊥b可知，（a－λb）·b＝0，即a·b－λb2＝0， 从而 λ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 1. 已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（　　） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：D　a·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°. 故选D. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·丽水月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k）， a·（2a－b）＝0，则k＝（　　） A. －12 B. －6 C. 6 D. 12 解析：　2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由 a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k＝12. 目录 数学·必修第二册 3. 设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋ b｜＝ ⁠. 解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a ＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 4. 已知点A（0，1），B（1，－2），向量 ＝（4，－1），求 · 及｜ ｜. 解：因为 ＝（1，－3），所以 · ＝1×4＋（－3）×（－ 1）＝7， ＝ － ＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2）， 所以｜ ｜＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 向量a＝（1，－2），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 2 D. 5 解析：　由题意得，2a＋b＝（2，－4）＋（－1，2）＝（1， －2），所以（2a＋b）·a＝1×1＋（－2）×（－2）＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 已知a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，则｜b｜＝（　） A. 2 B. C. 10 D. 5 解析：　因为a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，所以 2x＋2＝0，解得x＝－1，所以b＝（－1，2），则｜b｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状 是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析：　由题设知 ＝（8，－4）， ＝（2，4）， ＝ （－6，8），所以 · ＝8×2＋（－4）×4＝0，即 ⊥ . 所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若 四边形OABC是平行四边形，则向量 与 的夹角为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　∵四边形OABC是平行四边形，∴ ＝ ，即（4－ 0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴ ＝（4，2）， ＝（2，6），设向量 与 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，又θ∈（0，π），∴ 与 的夹角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，2），c＝（1， 1），则（　　） A. a∥b B. （a＋b）⊥c C. a＋b＝c D. c＝5a＋3b 解析：　由2×2－（－3）×（－1）≠0知，A错误；由题意得 a＋b＝（－1，1），所以（a＋b）·c＝－1＋1＝0，所以B正 确，C错误；由题意得5a＋3b＝5（2，－1）＋3（－3，2）＝ （1，1）＝c，所以D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）（2024·平顶山月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－ 3，1），则（　　） A. a与a－b夹角的余弦值为 B. （a＋b）∥a C. 向量a在向量b上的投影向量的模为 D. 若c＝（ ，－ ），则a⊥c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A：由题意得，a－b＝（5，0），所以a与a－ b夹角的余弦值为 ＝ ，故A正确；对于B：由题意得， a＋b＝（－1，2），所以（a＋b）·a＝－1×2＋1×2＝0，所以 （a＋b）⊥a，故B不正确；对于C：易知 ＝ ＝ ＝－ ，所以向量a在向量b上的投影向量的模为 ，故C正 确；对于D：因为a＝（2，1），c＝（ ，－ ），所以a·c＝2× ＋1×（－ ）＝0，所以a⊥c，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m ＝ ⁠. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要 条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 已知a＝（1，2），b＝（－2，n），且a⊥b，则｜3a＋b｜ ＝ ⁠. 解析：因为a⊥b，所以－2＋2n＝0，于是n＝1，因此a＝（1， 2），b＝（－2，1），所以3a＋b＝（1，7），故｜3a＋b｜＝ 5 . 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. （2024·湖州质检）设向量a＝（2，3），b＝（6，t），若a与b 的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a与b不共线， 所以解得t＞－4且t≠9，所以实数t的取值范围为 （－4，9）∪（9，＋∞）. （－4，9）∪（9，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）. （1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜； 解：a＋2b＝（5，0）， a－b＝（－4，3）， ｜a－b｜＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求向量a与a－b的夹角的余弦值. 解：a·（a－b）＝10， ｜a｜＝ ＝ ， cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n· ＝（　　） A. －2 B. 2 C. －2或2 D. 0 解析：　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即 n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E在边CD 上，且 ＝2 ，则 · ＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所 在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB ＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C （ ，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且 ＝2 ， ∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），∴ · ＝－ ＋4＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·宁德质检）已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的 坐标为 ⁠. 解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2）， ＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）× （－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， · 有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. （3，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）. （1）若｜c｜＝2 ，且c与a 方向相反，求c的坐标； 解：设c＝（x，y），由c∥a及｜c｜＝2 . 可得 所以或 因为c与a方向相反，所以c＝（－2，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：因为（a＋2b）⊥（2a－b）， 所以（a＋2b）·（2a－b）＝0， 即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0， 所以2×5＋3a·b－2× ＝0， 所以a·b＝－ ， 所以 cos θ＝ ＝－1. 又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝（ sin A，1），q＝（1，－ cos B），则p与q的夹角是（　　） A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞ ，即 ＞A ＞ －B＞0，又因为函数y＝ sin x在（0， ）上单调递增，所以 sin A＞ sin （ －B）＝ cos B，所以p·q＝ sin A－ cos B＞0，设p 与q的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＞0，又因为p与q不共线， 所以p与q的夹角是锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. （2024·云浮月考）已知向量 ＝（6，1）， ＝（x，y）， ＝（－2，－3）. （1）若 ∥ ，求x与y之间的关系式； 解：∵ ＝ ＋ ＋ ＝（x＋4，y－2）， ∴ ＝－ ＝（－x－4，2－y）. 又 ∥ ，且 ＝（x，y）， ∴x（2－y）－y（－x－4）＝0， 即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）在（1）的条件下，若 ⊥ ，求x，y的值及四边形 ABCD的面积. 解： ＝ ＋ ＝（x＋6，y＋1）， ＝ ＋ ＝（x－2，y－3）. ∵ ⊥ ，∴ · ＝0， 即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0. 由（1）知x＋2y＝0，与上式联立， 化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 当y＝3时，x＝－6， 此时 ＝（0，4）， ＝（－8，0）； 当y＝－1时，x＝2， 此时 ＝（8，0）， ＝（0，－4）； ∴S四边形ABCD＝ ｜ ｜｜ ｜＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $