第10章 概率 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件系统梳理了概率的知识体系，包括样本空间与事件、概率性质、古典概型等核心内容，通过天气统计、电影好评率等实例导入，帮助学生连接基础概念与实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合具体实例培养学生用数学眼光观察现实（如用频率估计概率），用数学思维分析问题（如古典概型中样本点列举），用数学语言规范表达（如概率公式应用）。采用例题解析与跟踪训练结合的方法，学生能提升知识应用能力，教师可借助系统框架高效开展复习教学。

章末复习与总结 数学·必修第二册 一、随机事件的概率 通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解 概率的意义及频率与概率的区别. 数学·必修第二册 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 【例1】　随机抽取一个年份，对某市4月份的天气情况进行统计，结 果如下： 数学·必修第二册 （1）在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率； 解：在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概 率，在4月份任取一天，该市不下雨的概率约为P＝ ＝ . 数学·必修第二册 （2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会， 估计运动会期间不下雨的概率. 解：称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日 与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的 频率为 ， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为 . 数学·必修第二册 反思感悟 1. 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接 近概率. 2. 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试 验次数无关，可以用频率估计概率. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类 型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部 数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 数学·必修第二册 （1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评 的第四类电影的概率； 解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋ 800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50. 故所求概率为 ＝0.025. 数学·必修第二册 （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； 解：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋ 50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372. 故所求概率估计为1－ ＝0.814. 数学·必修第二册 （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类 型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数 据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评 率减少0.1，可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总 部数的比值达到最大（只需写出结论）？ 解：增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. 数学·必修第二册 二、古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解 题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在 应用公式P（A）＝ 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出 试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k. 数学·必修第二册 【例2】　（1）（2023·全国乙卷9题）某学校举办作文比赛，共6个 主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位 参赛同学抽到不同主题的概率为（　A　） A. B. C. D. 解析：因为共有6个主题，甲、乙两位同学各抽取1个主题，结果有36 种，其中抽到的主题相同的结果有6种，所以甲、乙两位同学抽到不 同主题的概率为1－ ＝ .故选A. A 数学·必修第二册 （2）（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二 年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名 学生来自不同年级的概率为（　D　） A. B. C. D. D 数学·必修第二册 解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分 别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基 本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1）， （a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年 级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1）， （a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝ ＝ ，故选D. 数学·必修第二册 反思感悟 　　在古典概型中，计算概率的关键是准确找出样本点的数目，这就 需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多 试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列 出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为区间 的长度为 ，区间 的长度为 ，所 以在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率P＝ ÷ ＝ .故选B. 数学·必修第二册 三、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事 件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定 是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件 的特殊情况. 2. 若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相 互独立，且当A与B相互独立时，A与 ， 与B， 与 也相互 独立. 数学·必修第二册 【例3】　（多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、 1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表 示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个 球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的 是（　　） A. 事件A1，A2互斥 B. 事件B与事件A1相互独立 C. P（A1B）＝ D. P（B）＝ 数学·必修第二册 解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数， 数学·必修第二册 所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（A1B）＝ ＝ ，故C正确，D正确；因为P（A1B）＝ ，P（A1）P（B）＝ × ＝ ，则P（A1B）≠P（A1）P（B），事件B与事件A1不独立，故B错误. 数学·必修第二册 反思感悟 事件间关系的判断方法 （1）判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事 件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系； （2）对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是 对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事 件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事 件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与 否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断； （3）判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P （AB）与P（A）P（B）是否相等，若相等，则A，B相互独 立，否则不相互独立. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6， 拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空 间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1， 3}，事件G＝{2，4}，则（　　） A. E与F不是互斥事件 B. F与G是对立事件 C. E与F是相互独立事件 D. F与G是相互独立事件 数学·必修第二册 解析：　因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确； 由F∩G＝⌀，即F与G互斥，但F∪G≠Ω，即F与G不是对立事 件，B错误；由P（E）＝ ，P（F）＝ ，P（EF）＝ ≠P （E）·P（F），故E与F不是相互独立事件，C错误；由P（F） ＝ ，P（G）＝ ，P（FG）＝0≠P（F）·P（G），所以F与 G不是相互独立事件，D错误.故选A. 数学·必修第二册 2. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出 现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查 一件，抽得正品的概率为 ⁠. 解析：记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，事件 A，B，C彼此互斥且A与B＋C是对立事件，所以P（A）＝1－ P（B＋C）＝1－P（B）－P（C）＝1－0.03－0.01＝0.96. 0.96 数学·必修第二册 四、相互独立事件概率的计算 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问 题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率 值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相 应的公式计算求解. 数学·必修第二册 【例4】　我国的乒乓球运动领先世界水平，被国人称为“国球”， 在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜 三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率 为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率； 数学·必修第二册 解：设“第i局甲胜”为事件Ai，“第j局乙胜”为事件Bj（i， j＝1，2，3，4，5）， 记M1＝“三局结束比赛”，则M1＝A1A2A3＋B1B2B3， ∴P（M1）＝P（A1A2A3）＋P（B1B2B3）＝P（A1）·P （A2）P（A3）＋P（B1）P（B2）P（B3） ＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4 ＝0.28. 数学·必修第二册 （2）若第一局比赛乙队获胜，求这场选拔赛五局结束的概率. 解：记M2＝“五局结束比赛”，则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋ B2A3A4， ∴P（M2）＝P（A2A3B4）＋P（A2B3A4）＋P（B2A3A4） ＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.432. 数学·必修第二册 反思感悟 求相互独立事件概率的步骤 （1）标记事件； （2）判断事件的独立性； （3）分清所涉及的事件及事件状态（互斥还是对立）； （4）套用公式. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 　甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为 0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）两人都射中的概率； 解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次， 击中目标”为事件B. 事件A与B是相互独立的. 两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝ 0.72. 数学·必修第二册 （2）两人中恰有一人射中的概率； 解：两人中恰有一人射中的概率为P（A ）＋P（ B）＝ 0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26. （3）两人中至少有一人射中的概率. 解：两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有射中 的概率， ∴所求的概率等于1－P（ ）＝1－P（ ）·P（ ）＝1－ 0.2×0.1＝0.98. 数学·必修第二册 $