6.3.1 平面向量基本定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理及基底概念，课堂导入从共线向量基本定理出发，通过“能否用两个不共线向量表示平面内任一向量”的问题引导，构建从共线到共面的知识支架，帮助学生迁移旧知。 其亮点在于情境导入联系旧知，例题分题型精研析并总结通性通法，如用基底表示向量的两种方法，结合直观想象和数学运算，分层练习（基础、综合、拓展）助力学生能力提升，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

6.3.1　平面向量基本定理 新课程标准解读 核心素养 理解平面向量基本定理及其意义 直观想象、数学运算 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 【问题】　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分 别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点　平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平 面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a ＝ ⁠. 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 目录 数学·必修第二册 2. 基底 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向 量的一个基底. 提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的； （2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定 的数值. 不共线　 目录 数学·必修第二册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有 向量的基底. （　×　） （2）一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所 有向量的基底. （　√　） （3）零向量不可以作为基底中的向量. （　√　） （4）一对不共线的单位向量可以作为基底. （　√　） × √ √ √ 目录 数学·必修第二册 2. （多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作 为该平面内一个基底的是（　　） A. a＝e1＋e2，b＝e1 B. a＝2e1＋e2，b＝ e1＋ e2 C. a＝－e1＋e2，b＝e1－e2 D. a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2 解析：　对于A，B，D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以A、B、D符合；对于C，a＝－b，故a，b共线，所以C不符合，故选A、B、D. 目录 数学·必修第二册 3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 ⁠. 答案：解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2. 4e1＋3e2 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】　（1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2 与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是 ⁠ （填序号）； ①②④ 目录 数学·必修第二册 解析：①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，∴e1＋e2与e1不 共线，即{e1，e1＋e2}能作为一个基底；②设e1－2e2＝k（e2－2e1） （k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴无解，∴e1－ 2e2与e2－2e1不共线，即 能作为一个基底；③ ∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即{e1－ 2e2，4e2－2e1}不能作为一个基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2） （n∈R），则e1＋e2＝ne1－ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1 －e2不共线，即{e1＋e2，e1－e2}能作为一个基底. 目录 数学·必修第二册 （2）（2024·潍坊月考）已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足 （3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ ⁠. 解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向 量基本定理得所以所以x－y＝3. 3 目录 数学·必修第二册 通性通法 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若 共线，则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线 的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （多选）设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作 为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：　寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中， 与 不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故A、C选项 可作为基底. 目录 数学·必修第二册 2. 已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作 为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则 a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ 的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）. （－∞，4）∪ （4，＋∞） 目录 数学·必修第二册 题型二 用基底表示向量 【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b，用 a，b表示 ， . 解：法一　设AC，BD交于点O， 则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b. 所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b， ＝ ＋ ＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y. 又所以 解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b， 即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 通性通法 用基底表示向量的两种基本方法 （1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底 表示为止； （2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即 若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方程 （组），使得问题获解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 如图，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则以 {a，b}为基底时， 可表示为 ，以{a，c}为基底 时， 可表示为 ⁠. a＋b 2a＋c 解析：以{a，b}为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以{a，c}为基底时，将 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得 ＝2a＋c. 目录 数学·必修第二册 2. 如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用 ＝e1， ＝e2表示 . 解： ＝ － ＝e1－e2， 因为D，E，F依次是边AB的四等分点， 所以 ＝ ＝ （e1－e2）， 所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2. 目录 数学·必修第二册 题型三 平面向量基本定理的应用 【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解：设 ＝e1， ＝e2， 则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ ＝2μe1 ＋μe2. 目录 数学·必修第二册 故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2. 而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得 解得 ∴ ＝ ， ＝ ， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ . 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，若 ＝a， ＝b，试用a，b表示 . 解：由本例知 ＝ ，则 ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝b＋ （ － ）＝b＋ a－ b＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 通性通法 平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一 向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向 量和的形式，且分解是唯一的； （2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将 条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题 （即求有关参数问题）. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·济源月考）如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点， 若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝ ⁠. ​ 解析：由题意，得 ＝ （ ＋ ）.又 ＝ ＝ － ，所以 ＝ （－ ＋2 ）＝－ ＋ .又 ＝λ ＋μ ，所以λ＋μ＝－ ＋1＝ . 目录 数学·必修第二册 1. 若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量 的基底的是（　　） A. e1－e2，e2－e1 B. 2e1－e2，e1－ e2 C. 2e2－3e1，6e1－4e2 D. 4e1＋2e2，8e1－4e2 解析：　选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向 量的基底，D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底. 目录 数学·必修第二册 2. 如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　） A. －2e1－4e2 B. －4e1－2e2 C. e2－3e1 D. －e2＋3e1 解析：　如图所示，a－b＝ ＝ － ＝e2－3e1.故选C. 目录 数学·必修第二册 3. 已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝x ＋y ，若 ＝ λ （λ∈R），则x，y满足的关系式是（　　） A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0 C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0 解析：　由 ＝λ ，得 － ＝λ（ － ），即 ＝ （1＋λ） －λ .又2 ＝x ＋y ，所以消 去λ得x＋y＝2. 目录 数学·必修第二册 4. （2024·嘉兴月考）设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋ 2b，试用m，n表示p. 解：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x（2a－3b）＋y（4a－2b） ＝（2x＋4y）a＋（－3x－2y）b. 由平面向量基本定理，得 解得 所以p＝－ m＋ n. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是 （　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析：　由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能 作为基底， 与 不共线，可作为基底.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋ 2xe2，则实数x＋y＝（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：　∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－ 7）e1＋2xe2，∴解得∴x＋y＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. （2024·菏泽月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是 边CD上的点，且CE＝ CD. 若记 ＝a， ＝b，则 ＝ （　　） A. － a＋b B. a＋b C. a＋b D. a＋ b 解析：　 ＝ ＋ ＝－ ＋（ ＋ ）＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＝－ a＋b.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－ 3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 解析：　因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b ＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以 AD∥BC且AD≠BC. 故四边形ABCD为梯形.选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列 说法正确的是（　　） A. 若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B. 对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C. λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2∈R）不一定在平面α内 D. 对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 解析：　A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中 点，且 ＝a， ＝b，则有（　　） A. ＝－ a－b B. ＝a－ b C. ＝ a＋ b D. ＝－ a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，在△ABC中， ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝－b－ a，故A正确； ＝ ＋ ＝a＋ b，故B错误； ＝ ＋ ＝－b－a， ＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b， 故C错误； ＝ ＝－ a，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设 ＝ a， ＝b，则 ＝ .（用a，b表示） 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b. a＋ b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 如图，在△ABC中， ＝ ， ＝ ，若 ＝λ ＋ μ ，则 ＝ 　​ 　. ​ 解析：由题意可得， ＝ － ＝ － ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，据此可知λ ＝ ，μ＝ ，∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. （2024·漯河月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝ 6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝ ⁠. 解析：考虑以{ ， }为基底来计算.∵ ＝3 ， ＝ 2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ， ∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ － ＝ ×36－ ×16＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （1）证明：{a，b}可以作为一个基底； 解：证明：假设a＝λb（λ∈R）， 则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）. 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一个基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 解：设c＝ma＋nb（m，n∈R）， 则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1 ＋（－2m＋3n）e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 在△ABC中，D是AB边上的一点，若 ＝2 ， ＝ ＋ λ ，则λ＝（　　） A. B. 解析：　画出示意图如图所示，由题意可得，A，B，D三点共 线，C为A，B，D所在直线外一点，且 ＝ ＋λ ，则 ＋λ＝1，所以λ＝ . C. － D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝ 2AD＝2DC， ＝3 ， ＝2 ，则下列表示正确的是 （　　） A. ＝－ ＋ B. ＝ ＋ C. ＝ － D. ＝－ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　如图， ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝ ＋ ，故选项A不正确； ＝ ＝ （ ＋ ）＝ ［ － （ ＋ ）］＝ （ － ）＝ ＋ ，故选项B正确； ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ － ，故选项C不正确； ＝ － ＝ ＋ － ＝－ ＋ ，故选项D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·潮州质检）在△ABC中，D是直线AB上的点.若2 ＝ ＋λ ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则 ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：依题意作图，设 ＝μ ＝μ（ － ）＝－μ ＋μ ，由条件 ＝ ＋ ，∴μ＝－ ， ＝μ＝－ ， ＝－ ，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝ AB，∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝ 2 ， ＝2 . （1）求CD的长； 解：因为 ＝2 ， 所以 ＝ ， 所以 ＝ － ＝ － ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 即CD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求 · 的值. 解： ＝ － ＝－ ＋ ＝－ （ － ）＋ ＝ ＋ ， 所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量， ＝（a－1）e1＋e2， ＝be1－2e2（a＞0，b＞0）.若A，B，C三点共线，则 ＋ 的最小值为 ⁠. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：∵A，B，C三点共线，∴ 与 共线，∴存在实数λ， 使得 ＝λ ，即（a－1）e1＋e2＝bλe1－2λe2.∵e1，e2不共 线，∴解得∵a＞0，b＞0，∴0＜a＜ 1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ .当a＝ 时， ＋ 取得最小值，最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 已知O是线段AB外一点，若 ＝a， ＝b. （1）设点G是△OAB的重心，证明： ＝ （a＋b）； 解：证明：设AB的中点为E，则 ＝ ＝ × （a＋b）＝ （a＋b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及 △OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示 ＋ ＋ ； 解：点A1，A2是线段AB的三等分点， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）， 则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝ （a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结 论？（不必证明） 说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 解：设A1是AB的二等分点，则 ＝ （a＋b）， ＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋ b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）， 或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＝a＋b（k＝1，2，…，n－1）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $