6.3.1平面向量基本定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，课堂导入先系统复习向量线性运算、共线定理及数量积，再通过火箭速度分解、斜面上物体重力分解等情景引入，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点是以探究为主线，通过问题链（如给定基底表示向量、讨论分解唯一性）结合几何画板动态演示，严谨推导定理形成过程，体现数学思维与几何直观。如用向量法证明直角三角形实例，培养学生推理能力与应用意识，助力教师高效搭建知识框架，提升学生数学素养。

人教A版(2019)必修第二册 作者：林祖成 单位：湖南省临澧县第一中学 6.3.1 平面向量基本定理 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 年级：高一 学科：数学 1 复习回顾 、铺陈蓄势 ①三角形法则 ②平行四边形法则 请同学们回顾平面向量的线性运算、共线定理以及 数量积知识内容 C A B B A C D 1.向量的加法 (首尾相接，首尾连) (共起点，连对角) 2.向量的减法 (共起点连终点，指向被减向量) 复习回顾 、铺陈蓄势 其方向和长度规定如下: 3.数乘运算 4.向量共线定理 向量 与 共线的充要条件是： 存在唯一一个实数 ， 使得： 复习回顾 、铺陈蓄势 5.数量积 复习回顾 、铺陈蓄势 情景引入、初步感知 火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。在利用平行四边形法则对速度进行分解的过程中，我们看到一个速度可以分解为两个不共线方向的速度之和. 复习回顾 、铺陈蓄势 情景引入、初步感知 一个放在斜面上物体所受竖直向下重力G，可分解分使物体沿斜面滑动的力F1，和物体垂直压紧斜面的力F2，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力之和. G F1 F2 由速度与力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢？ 我们知道已知两个力，可以求出它们的合力．反过来，一个力可以分解为两个力，如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F将分解为多组大小、方向不同的分力． F C e1 e2 探究1 给定平面内不共线两个向量e1，e2，如何求 作向量3e1＋2e2 ？ O 3e1 A D 2e2 B OC=3e1＋2e2 探究新知、定理形成 7 探究新知、定理形成 M N C B O A 探究2 若已知 ,能用 ， 表示 吗？ 思考1 既然 可以分解成 两方向上的向量，那么 能否 用含 的式子表示出来呢？ 探究新知、定理形成 M N C B O A 唯一 思考2 对于给定的向量 ， ，，且 不共线，则实数λ1，λ2是否唯一？ 分解时，平行四边形是唯一的 9 探究新知、定理形成 M N C B O A 10 探究新知、定理形成 思考3 若 与 共线，还能用 , 表示任一向量 ? 不能 11 探究新知、定理形成 探究三:几何画板、探究一般情况 链接打开几何画板，进行一般性探究 (需要安排几何画板插件才能正常显示，可直接打开几何画板独立运行gsp文件) 12 探究新知、定理形成 探究三:几何画板、探究一般情况（动态演示，以下为截图） 13 探究新知、定理形成 探究三:几何画板、探究一般情况（动态演示，以下为截图） 14 平面向量基本定理 基底 有且只有一对实数 、 使 向量，那么对于这一平面内的任一向量 如果 、 是同一平面内的两个不共线 探究新知、定理形成 平面向量基本定理 探究新知、定理形成 (1)我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.基底不唯一，关键是不共线. (2) 定理的实质：平面内任意一个向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，即用一组基底 ， 表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．并且这种分解是唯一的，即 ， 是被 , , 唯一确定的数量.当 , 互相垂直时，就称为向量的正交分解. 基本定理，体现转化的数学思想，为是建系坐标化的理论基础. 平面向量基本定理 探究新知、定理形成 （4）特别的，若 与 共线, （3）特别的，若 = = 0 则有且只有 使得 则有 =0 平面向量基本定理 探究新知、定理形成 （5）共线定理、基本定理是特殊与一般的关系， 基本定理是共线定理的深化与扩充． 定理运用、形成技能 定理运用、形成技能 定理运用、形成技能 A B D C 自我反思、归纳提升 5 （1）一个定理：平面向量基本定理； （2）一个思想：体现了转化的思想； （3）一个作用：平面向量基底化、 解决简单几何问题等． 作业布置 6 （1）教材P27 练习1、2、3题 （2）预习 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 THANK YOU 非常感谢大家聆听 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 24 应用：（判垂直） （求模长） （求夹角） 定义： （为的夹角） 事实上，如果还可以表示成的形式，那么 可得.由此式可以推出全为0， 也就是说，有且只有一对实数，，使． 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使． 如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使． 1．(多选)如果 是平面内所有向量的一组基底， 是实数，则下列说法 正确的是( ) (　　) A．若 满足 ，则 B．对于平面 内任意一个向量 ，使得 成立的实数 有无数对 C．线性组合 可以表示平面 内的所有向量 D．当 取不同的值时，向量 可能表示同一向量 eq \a\vs4\al() [答案]　AC eq \a\vs4\al() 2.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点， 有下列向量组：①eq \o(AD,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))；②eq \o(DA,\s\up17(―→))与eq \o(BC,\s\up17(―→))； ③eq \o(CA,\s\up17(―→))与eq \o(DC,\s\up17(―→))；④eq \o(OD,\s\up17(―→))与eq \o(OB,\s\up17(―→)). 其中可作为该平面内的所有向量的基底的是 (　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ [解析]∵eq \o(AD,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))不共线，eq \o(CA,\s\up17(―→))与eq \o(DC,\s\up17(―→))不共线，∴①③可以作为基底，其他两组分别共线，故不可以，故选B. 因为 ,所以 ． 因为 ,所以． 因此 ． 于是 △是直角三角形． 3．如图， 是△的中线， ， 用向量法证明△ 是直角三角形. 证明：设 则于是 ． ． $