拓视野 向量加法三角形法则的推广-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦向量加法（三角形法则推广），通过机器人世界杯比赛情境导入，如机器人跳舞轨迹（正多边形）、传球路线，连接正多边形几何知识与向量运算，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是情境化与问题驱动，以机器人跳舞轨迹求α值、传球位移计算为例，培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理角度与位移关系）、数学语言（向量表达）。帮助学生理解向量应用，教师可借生活化案例提升教学效果。

拓 视 野　向量加法三角形法则的推广 　在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学 队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人 在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对 手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断. 数学·必修第二册 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门， 行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队 员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形 舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转 变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向 前行进1米，……，最终回到起点. 数学·必修第二册 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球， 又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器 人足球世界杯冠军！ 数学·必修第二册 【问题探究】 1. 当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为 0，请作图说明（假设机器人跳1步为1米）. 提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m， 跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手 的位移为零. 数学·必修第二册 2. 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？ 提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式 作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角 和定理可得n（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝ ，且 n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝ ，且n≥3，n∈N*. 数学·必修第二册 【迁移应用】 甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东 30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方 向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人 丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为 ＋ ＋ ＝ ，故球的最终位移为 ， 数学·必修第二册 依题意知△ABC为正三角形，故｜ ｜＝｜ ｜＝AC＝2 m. 又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD 为等腰直角三角形，所以｜ ｜＝ m. 数学·必修第二册 1. 化简 ＋ ＋ ＝（　　） A. 0 B. 0 C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故选B. 数学·必修第二册 2. （多选）下列等式正确的是（　　） A. a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b B. ＋ ＝0 C. ＝ ＋ ＋ D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 解析：　易知A、C正确.B错误，因为 ＋ ＝0；D错误，因为只有在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，而其它情况下等式不成立. 数学·必修第二册 3. 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量： （1） ＋ ＝ ⁠； 解析：因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故 ＋ ＝ . ​ （2） ＋ ＝ ⁠； 解析：因为 ＝ ，故 ＋ 与 方向相同，长度为 的长度的2倍，故 ＋ ＝ . （3） ＋ ＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ，故 ＋ ＝ ＋ ＝0. ​ 0 数学·必修第二册 4. 如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出 ＋ ， ＋ ， ＋ 表示的向量. 解：如图，连接DA， ＋ ＝ ＋ ＝ ， 因为四边形DEAF和四边形CDFE均为平行四边形， 所以 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＋ ＝ . 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 2. （2024·龙岩月考）已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量 a＋b的方向（　　） A. 与向量a的方向相同 B. 与向量a的方向相反 C. 与向量b的方向相同 D. 不确定 解析：　若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b） 的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的 和的方向与a的方向相同.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 3. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　） A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km C. 向北偏东60°方向航行2 km D. 向东北方向航行（1＋ ）km 解析：　如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 4. （2024·中山月考）在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2， 则向量 ＋ ＋ 的长度为（　　） A. 2 B. 4 C. 12 D. 6 解析：　因为在矩形ABCD中， ＋ ＝ ，所以 ＋ ＋ 的长度为｜ ｜的2倍.又｜ ｜＝ ＝2 ，所以 向量 ＋ ＋ 的长度为4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 5. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向 量，则下列结论正确的有（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ 解析：　由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确； 由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜ a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不 正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 6. （多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　） A. ＋ ＝ B. ＋ ＋ ＝ C. ＋ ＋ ＝ D. ＋ ＋ ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 解析：　由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＝ ，故A正确；由向量加法的三角形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 7. 已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e，则a＋b＋c ＋d＝ ⁠. 解析：a＋b＋c＋d＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝e. e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 8. （2024·舟山月考）在边长为1的等边三角形ABC中，｜ ＋ ｜＝ ，｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析：易知｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝1，以AB，AC为邻边作平 行四边形ABDC（图略），则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜ × sin 60°＝2×1× ＝ . 1 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 9. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方 向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿 ⁠ 的方向前进，速度为 ⁠. 解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝ 60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h. 与水流方向 成60° 8 km/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 10. 如图所示，在△ABC中，O为△ABC的重心，D，E，F分别是 BC，AC，AB的中点，化简下列各式： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ . （3） ＋ ＋ . 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 11. （2024·安阳月考）若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜ ＝ ，则△ABC的形状是（　　） A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC ＝1，AD＝ ，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 12. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　　） A. 2｜a｜＞｜2a＋b｜ B. 2｜a｜＜｜2a＋b｜ C. 2｜b｜＞｜a＋2b｜ D. 2｜b｜＜｜a＋2b｜ 解析：　因为｜a＋b｜＝｜b｜，所以｜a＋2b｜＝｜a＋b＋ b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜.因为a，b是非零不共线向 量，所以a＋b与b不共线，故等号不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 13. 设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值的和 为 ⁠. 解析：当a与b同向共线时，｜a＋b｜max＝20；当a与b反向共 线时，｜a＋b｜min＝4，所以｜a＋b｜的最大值与最小值的和为 24. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 14. 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞 行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 解：如图，设 表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km， 表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜，两次飞行的位移的 和指的是 ＋ ＝ . 依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋800＝1 600（km）. 又∠α＝35°，∠β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝800 （km）， 其中∠BAC＝45°， 所以 的方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移的和的大小为 800 km，方向为北偏东80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 $