培优课 空间几何体的截面问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦空间几何体的截面问题，系统讲解直接法、平行线法、延长线法作截面的原理与步骤，从截面定义切入，通过典型例题逐步递进，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接平面几何与空间几何知识。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过延长线法作五边形截面等实例发展推理能力，用通性通法总结提升数学思维。学生能提升空间想象与解题能力，教师可借助分层训练实现高效教学，落实核心素养。

培优课　空间几何体的截面问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫 做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几 何体棱的交集（交点）叫做截点. 目录 数学·必修第二册 解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 题型一 直接法作截面 【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过 A1，C1，P三点的截面. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借 助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线 在这个平面内”，直接连线作截面. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别 为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面， 则截面的形状可以为（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 目录 数学·必修第二册 解析：　截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为 直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面 A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与 B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形 EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的 EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形 EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方 形.故A、C、D正确. 目录 数学·必修第二册 题型二 平行线法作截面 【例2】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，点P是棱BB'的中点，画出过 点A'，D'，P三点的截面. 目录 数学·必修第二册 解：连接 A'P，因为平面 ADD'A'∥平面BCC'B'，所以只要过P作 A'D'的平行线即可.取CC'的中点Q，连接PQ，则A'D'∥PQ. 连接 D'Q即得截面A'PQD'. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与 几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行 于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就 和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两 条交线平行，利用平行线法作截面. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则 平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为（　　 ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，把截面AEF补形为四边形 AEFD1，连接BC1，因为E，F分别为BC， CC1的中点，则EF∥BC1， 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以 EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面.则平 面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为 四边形.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P 作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为 时，线段AP的长为（　　） A. B. 1 C. D. 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，连接BD，A1D，过点P作 BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点 Q，R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以 PQ∥B1D1，因为B1D1⊂平面B1D1C，PQ⊄平 面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为 A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 因为B1C⊂平面 B1D1C，PR⊄平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则 PQ2· ＝ ，解得PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ .故选D. 　　 目录 数学·必修第二册 题型三 延长线法作截面 【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中 点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正 方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 目录 数学·必修第二册 解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E， 连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H， 连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN， 所以五边形DQMFN即为所求截面. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助 于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线 在这个平面内”，利用延长线法作截面. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA 中点，过C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与 棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求 点F的位置. 目录 数学·必修第二册 解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交 PB于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截 面α.在△ADE中，BC∥AD，由 ＝ ，则 C为DE中点，B为AE中点，过M作 MN∥AB交PB于N，则MN＝ AB＝1， ∴△MNF∽△EBF，∴ ＝ ＝ ，∴BF＝ 2NF，即BF＝ BP，∴F为棱PB上靠近点B 位置的三等分点. 目录 数学·必修第二册 1. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何 体不可能是（　　） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体 目录 数学·必修第二册 解析：　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰 三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形 状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所 以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一 个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面 的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α和线段AA1，BB1，CC1， DD1分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是 （　　） A. 梯形 B. 正方形 C. 长方形 D. 菱形 目录 数学·必修第二册 解析：　∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面α∩平面ADD1A1＝ EH，平面α∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，同理可得 EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴截面EFGH的形状不 可能是梯形.故选A. 目录 数学·必修第二册 3. （2024·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M， N分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，则过点A，M， N的平面截正方体的截面面积为 ⁠. 解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接 B1C，则B1C经过点N，连接AB1，则过点A、 M、N的平面截正方体的截面为等边△ACB1， 因为正方体棱长为a，故△ACB1边长为 a， 面积为 ·（ a）2＝ a2. a2 目录 数学·必修第二册 4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面. 解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形PRGFIQ即为所作截面. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　） A. 四边形 B. 三角形 C. 五边形 D. 六边形 解析：　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交 线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可 能的是六边形，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 2. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表 面积为（　　） A. （3＋3 ）π B. C. （4＋6 ）π D. （6＋6 ）π 解析：　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角 形，所以圆锥的底面半径为r＝ ，所以圆锥的表面积为π× （ ）2＋π× ×3＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 3. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截 面（　　） A. 一定通过正方体的中心 B. 一定通过正方体一个表面的中心 C. 一定通过正方体的一个顶点 D. 一定构成正多边形 解析：　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可 能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正 方体的中心.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 4. （2024·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相 交，分别交棱AA1，CC1于M，N. 则下列关于截面BMD1N的说法 中，不正确的是（　　） A. 截面BMD1N可能是矩形 B. 截面BMD1N可能是菱形 C. 截面BMD1N可能是梯形 D. 截面BMD1N不可能是正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　如图①，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 如图②，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形； 根据对称性，其它情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的 点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体中过点M，N，C1的 截面图形是（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P， 直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 6. 如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B1、A1D1的中点M、N，顶 点A和过点N及顶点D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何 体，则该几何体的体积为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　将正方体还原可得如图所示图形，则 ＝ × ×1×1×2＝ ， ＝ × ×1×2×2＝ ， ＝23＝8，所以该几何体的体积V＝8－ － ＝7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下 底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截 这个几何体，则截面图形可能是（　　） A. （2）（5） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （1）（5） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：　当截面ABCD如图①为轴截面时，截面图形如 （1）所示； 当截面ABCD如图②不为轴截面时，截面图形如（5）所 示，下侧为抛物线的形状. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 8. 已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则 α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 3 解析：　在正方体中，共有3组互相平行的棱， 每条棱与平面α所成的角都相等，如图所示的正 六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边 长为 ，其面积为6× ×（ ）2＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 9. 用一个平面去截一个正方体，截面边数有 种情况. 解析：正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，因此截面边数有4种情况. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F 分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD- A1B1C1D1的一截面，则该截面的周长为 ⁠. 4 ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，所以B1P＝ A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF＝ ＝2 ，且EP＝ AF＝ ，AE＝ ＝2 ，FP＝ ＝ ，所以截面AFPE的周长为2 ＋ ＋2 ＋ ＝4 ＋2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 11. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1， B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面最大 面积为 ⁠. 解析：如图所示，最大面积的截面四边形为等 腰梯形MNCA，其中MN＝ ，AC＝2 ， AM＝CN＝ ，高为h＝ ＝ ，故面 积为 ×（ ＋2 ）× ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 12. 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯 形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝60°，四边形CDD1C1是 正方形.指出棱CC1与平面ADB1的交点E的位置（无需证明）， 并在图中将平面ADB1截该四棱柱所得的截面补充完整. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 解：E为CC1的中点. 作图如下：如图，取CC1的中点E，连接DE，B1E， 平面ADEB1即为该四棱柱所得的截面（可通过证明 DE∥AB1来判断）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 13. （2024·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝ ，M为DD1的中点. （1）求证：D1B∥平面MAC； 解：证明：连接DB，交AC于点O， 所以O为DB的中点，连接MO. 因为M为 DD1的中点，所以MO是△D1DB的中位线， 所以D1B∥MO. 又MO⊂平面MAC，D1B⊄平面MAC，所 以D1B∥平面MAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 （2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行 于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理 由，并求出截面的面积. 解：分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连接D1E，EB，BF，FD1， 则四边形D1EBF即为所求截面，证明如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB. 同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F， A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB， 即四边形D1EBF是平行四边形. 又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行四边形，所以D1F∥MC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 因为D1F⊄平面MAC，MC⊂平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B⊂平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四边形D1EBF即为所求截面. 又因为EB＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 FB＝ ＝ ＝ ， 所以EB＝FB，所以四边形D1EBF为菱形， 所以D1B⊥EF. 因为D1B＝ ＝ ＝ ＝2， EF＝AC＝ ＝ ，所以截面面 积为 D1B·EF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 $