章末检测（7） 复数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦复数章节，涵盖概念、运算、几何意义及应用，通过从实数到复数的过渡导入，以例题解析和分层练习为支架，帮助学生构建复数知识体系。 其亮点在于题型全面且注重数学思维与几何直观，如通过复平面向量、方程问题培养运算能力与推理意识，解答题结合三角形式等综合应用。学生能提升数学表达与问题解决能力，教师可高效开展分层教学。

章末检测（七）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则（　　） A. a＝1，b＝－1 B. a＝1，b＝1 C. a＝－1，b＝1 D. a＝－1，b＝－1 解析：　因为a，b∈R，（a＋b）＋2ai＝2i，所以a＋b＝0， 2a＝2，解得a＝1，b＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 2. 设复数z＝ ，则z在复平面内对应的点的坐标为（　　） A. （1，1） B. （－1，1） C. （1，－1） D. （－1，－1） 解析：　z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，则z在复平面 内对应的点的坐标为（－1，1）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 3. 已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的 虚部为（　　） A. 2 B. 1 C. －2 D. i 解析：　由题意，化简得z＝ ＝ ＝ ＝2＋i，所以 复数z的虚部为1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 4. 在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是 ， ，其 中O是坐标原点，则向量 对应的复数为（　　） A. 1＋i B. 5－i C. 5－3i D. －5＋i 解析：　由题设 ＝（3，2）， ＝（－2，3），则 ＝ － ＝（－5，1），所以向量 对应的复数为－5＋i.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 5. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜＝（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析：　因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－ 1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝ ＝2 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 6. 已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足 ·z2是纯虚数，则复数z2＝（　　） A. 1－2i B. 1＋2i C. 2－i D. 2＋i 解析：　由z1＝2＋i，得 ＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直 线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则 ·z2＝（2－i）（1＋ bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由 ·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－ 1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 7. 当1＜m＜2时，复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点位于 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　由1＜m＜2，可得所以复数m－1＋（m －2）i在复平面内对应的点Z（m－1，m－2）位于第四象限，故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a ＋bi，则复数z＝（　　） A. 2－2i B. 2＋2i C. －2＋2i D. －2－2i 解析：　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可 得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋ 4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面关于复数z＝ 的四个说法中，正确的有（　　） A. ｜z｜＝2 B. z2＝2i C. z的共轭复数为1＋i D. z的虚部为－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　∵z＝ ＝ ＝－1－i，∴｜z｜＝ ， A不正确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i， C不正确；z的虚部为－1，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 10. 设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（　　） A. 若｜z1－z2｜＝0，则 ＝ B. 若z1＝ ，则 ＝z2 C. 若｜z1｜＝｜z2｜，则z1 ＝z2 D. 若｜z1｜＝｜z2｜，则 ＝ 解析：　A项，｜z1－z2｜＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒ ＝ ，真命题；B项，z1＝ ⇒ ＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜⇒｜z1｜2＝｜z2｜2⇒z1 ＝z2 ，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然 ＝1， ＝－1，即 ≠ ，假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 11. 任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以 表示成：z＝r（ cos θ＋i sin θ）的形式，通常称之为复数z的三 角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn （ cos nθ＋i sin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理. 根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. 当r＝1，θ＝ ，n＝1时， ＝ － i B. （ ＋ i）3＝1 C. ｜z4｜＝｜z｜4 D. （ ＋ i）10在复平面内对应的点在第三象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　对A，由题意可知，当r＝1，θ＝ ，n＝1时，z＝r （ cos θ＋i sin θ）＝ ＋ i，所以 ＝ － i，A正确；对B， （ ＋ i）3＝（ cos ＋i sin ）3＝ cos π＋i sin π＝－1，所以B错 误；对C，｜z4｜＝｜r4（ cos 4θ＋i sin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝ r4，所以C正确；对D，由（ ＋ i）10＝（ cos ＋i sin ）10＝ cos ＋i sin ＝ － i，所以（ ＋ i）10在复平面内对应的点 的坐标为（ ，－ ），在第四象限，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点 分别为Z1和Z2，且 ⊥ ，则a＝ 　​ 　. 解析：依题意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 13. 已知复数z1＝ cos θ－i，z2＝ sin θ＋i（θ∈R），则z1·z2的实部的 最大值为​ . 解析：z1·z2＝（ cos θ－i）·（ sin θ＋i）＝（ cos θ sin θ＋1）＋i （ cos θ－ sin θ），故实部为 cos θ sin θ＋1＝1＋ sin 2θ≤ ，最 大值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 14. 已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的 取值范围为 ⁠. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜ ≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A （a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0） 之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图 易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点 C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜ ≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3]. [0，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝ .求： （1）z1z2；（2） . 解：z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－3i. （1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i. （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 16. （本小题满分15分）设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－ 2）（m∈R）对应的向量为 . （1）若 的终点Z在虚轴上，求实数m的值及｜ ｜； 解：因为 的终点Z在虚轴上，所以复数z的实部为0， 则有log2（m2－3m－3）＝0，所以m2－3m－3＝1，所以 m＝4或m＝－1. 因为m－2＞0，所以m＝4，此时z＝i， ＝（0，1），｜ ｜＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）若 的终点Z在第二象限内，求m的取值范围. 解：因为 的终点Z在第二象限内， 则有解得 ＜m＜4， 所以m的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 17. （本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2， z3，z4分别对应的向量 ， ， ， ，z1＝1，z2＝i，z3 ＝4＋3i，z4＝4－3i； 解：由题意可得如图所示图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）求向量 ， ， ， 的模； 解：由于 ， ， ， 的坐标分别为（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3）， 则向量 ， ， ， 的模分别为｜ ｜＝ 1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存 在，则它们所对应的复数有什么关系？ 解：点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 18. （本小题满分17分）已知关于x的二次方程x2－（tan θ＋i）x－ （i＋2）＝0. （1）当θ为何值时，这个方程有一个实根？ 解：设x0是方程的一个实根，则 －（tan θ＋i）x0－ （i＋2）＝0， 即（ －tan θ·x0－2）－i（x0＋1）＝0. 根据复数相等知 解得x0＝－1，tan θ＝1，θ＝kπ＋ （k∈Z）. 所以当θ＝kπ＋ （k∈Z）时，原方程有一实根－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值； 若不存在，试说明理由. 解：假定方程有纯虚数根bi（b∈R，且b≠0），代 入原方程得（bi）2－（tan θ＋i）·bi－（i＋2）＝0， 即－b2＋b－2－（btan θ＋1）i＝0. 由复数相等知 但方程－b2＋b－2＝0即b2－b＋2＝0无实数解，即实数b 不存在. 所以对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 19. （本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1＜ω ＜2. （1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围； 解：∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， ∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋ ＋（y－ ）i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒｜z｜＝1， 此时，ω＝2x⇒－ ＜x＜1， 即z的实部的取值范围为（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）设μ＝ ，求证：μ为纯虚数； 解：证明：μ＝ ＝ ＝ ＝ ，∵y≠0，∴μ为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （3）求ω－μ2的最小值. 解：ω－μ2＝2x－（－ i）2， 化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋ －3≥ 2 －3＝1. 当且仅当x＋1＝ ，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 $