拓视野 欧拉公式及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件以欧拉公式\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)为核心，系统呈现其与复数、三角函数的联系，通过背景介绍搭建学习支架，帮助学生从复数基础过渡到公式应用及拓展。 其亮点在于结合例题、月考真题及分层练习（A/B/C级），以数学眼光感受公式和谐美，数学思维训练运算推理，数学语言表达复数关系。学生提升运算与探究能力，教师可利用分层资源高效教学。

拓 视 野　欧拉公式及应用 　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名 数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角 函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被 誉为“数学中的天桥”. 数学·必修第二册 【例】　（1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数 单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满 足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　B　） A. B. － C. 1 D. －1 解析：由欧拉公式知：eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝ （－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚 部为－ ，故选B. B 数学·必修第二册 （2）（多选）欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位， x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　BC　） A. 复数e2i对应的点位于第三象限 B. 为纯虚数 C. 复数 的模等于 D. 的共轭复数为 － i BC 数学·必修第二册 解析：由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复 数e2i对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝ i，则 为纯虚数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋ i，则 的模为 ＝ ＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C. 数学·必修第二册 【迁移应用】 1. （2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知 ＝ ＋ i，则θ＝（　　） A. ＋2kπ（k∈Z） B. ＋2kπ（k∈Z） C. ＋kπ（k∈Z） D. ＋kπ（k∈Z） 数学·必修第二册 解析：　∵eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴ ＝ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）＝ ＋ i，∴⇒θ＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），∴θ＝2kπ＋ （k∈Z），故选B. 数学·必修第二册 2. （多选）公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函 数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则 有（　　） A. eiπ＋1＝0 B. （ ＋ i）2 025＝－1 C. ｜eix＋e－ix｜≤2 D. －2≤eix－e－ix≤2 数学·必修第二册 解析：　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1， 所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（ ＋ i）2 025＝（ cos ＋i sin ）2 025＝（ ）2 025＝e675πi＝ cos 675π＋i sin 675π＝－1， 故选项B正确；对于C，由eix＝ cos x＋i sin x，e－ix＝ cos （－x） ＋i sin （－x）＝ cos x－i sin x，所以eix＋e－ix＝2 cos x，得出｜eix ＋e－ix｜＝｜2 cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分 析得eix－e－ix＝2i sin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误. 故选A、B、C. 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 复数z＝i（2－i）在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　z＝i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标 为（1，2），位于第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 2. 已知复数z＝ ＋5i，则｜z｜＝（　　） A. B. 5 C. 3 D. 2 解析：　z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝ 5 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 3. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i.故选C. 法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 4. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512 解析：　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－ 2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－ （－4）5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 5. （多选）在复平面内，复数z对应的点与复数 对应的点关于实 轴对称，则（　　） A. 复数z＝1＋i B. ｜ ｜＝ C. 复数z对应的点位于第一象限 D. 复数 的实部是－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　复数 ＝ ＝ ＝－1－i对应的点的 坐标为（－1，－1）.因为复数z对应的点与复数 对应的点关于 实轴对称，所以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z ＝－1＋i.故A、C均错. ＝－1－i，｜ ｜＝ ， 的实部是－ 1，B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 6. （多选）若复数z满足z（1－i）＝｜1－ i｜，则（　　） A. z＝－1＋i B. z的实部为1 C. ＝1＋i D. z2＝2i 解析：　由z（1－i）＝｜1－ i｜，得z（1－i）＝2，所以z ＝ ＝ ＝1＋i，A错误；实部为1，B正确； ＝1－i， C错误；z2＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 7. （4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝ ⁠. 解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋ 2）－（28＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i. －5－15i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 8. 在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝ ⁠. 解析：x＝ ＝－3±i. －3±i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 9. （2024·绍兴月考）若z＝（a－ ）＋ai为纯虚数，其中a∈R， 则 ＝ ⁠. 解析：∵z为纯虚数，∴∴a＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝－i. －i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 10. 计算： （1）（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）； 解：（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（ － ＋ i）·（7－i）＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 11. （2024·莆田月考）已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R）， 若｜z｜＝2 ，则t＝（　　） A. －2 B. －1 C. ±2 D. ±1 解析：　由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝ ＝ ＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2 ，所以t2＋t2＝（2 ） 2，解得t＝2或t＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 12. （多选）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表 学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要 性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根 分别为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　对于方程x3＝1，移项因式分解可得：（x－1）（x2 ＋x＋1）＝0，x＝1为实数根，要求虚数根，解方程x2＋x＋1＝0 即可，解得x＝ . 故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 13. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为 ⁠. 解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4 ＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜ ＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜ b｜＝－2＋ 或｜b｜＝－2－ （舍）.综上共有6个解：z＝ ±1，z＝±3，z＝±（ －2）i. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 14. 已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px ＋q＝0的根. （1）求p＋q的值； 解：关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2 ，求复数w的值. 解：设w＝a＋bi（a，b∈R）. 由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得 a＋2b＝0.又｜w｜＝2 ，则a2＋b2＝20， 解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w ＝－4＋2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 15. （多选）下面四个命题中真命题为（　　） A. 若复数z满足z2∈R，则z∈R B. 若复数z满足z∈R，则z2∈R C. 若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D. 若复数z满足｜z｜2＝z2，则z∈R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　当z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i∉R，故A错误；当 z∈R时，z2∈R，故B正确；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1 ＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1·z2＝ac －bd＋（ad＋bc）i＝0，则两式平方后相加得： a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝（a2＋b2）·（c2＋d2）＝0，故a2＋b2 ＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，C正确；设z＝m＋ni（m， n∈R），则｜z｜2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝ m2－n2＋2mni，整理得：n2＝mni，故n＝0，m∈R，所以 z∈R，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 16. 已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R） 在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位. （1）求复数z； 解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2i＝a＋（b＋2）i， ∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2， ∴ ＝ ＝ ＝ ＋ i， ∵ 为实数，∴ ＝0，解得a＝4. ∴z＝4－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）求实数x的取值范围. 解：∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x －2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且 复数（z＋xi）2在复平面内对应的点在第一象限， ∴解得2＜x＜6. 即实数x的取值范围是（2，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 $