专题4.2 等比数列导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学导学案聚焦等比数列专题，通过对比等差数列导入，系统梳理定义、通项公式、判定方法及前n项和公式等必备知识，搭建从基础到综合的学习支架。 资料精选各地期末真题设计考点专练，分基本量计算、定义判定等模块，结合经典例题与变式训练强化推理应用，培养数学思维与问题解决能力，分层设计便于自主学习与教学评估。

专题4.2 等比数列 高中数学导学案 专题4.2 等比数列 考点预览 一、必备知识 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 2.等比数列的通项公式： . 3.等比数列的判断（证明） (1)定义：（或者）（可判断，可证明） (2)等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） (3)通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 4.等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 5.等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 6.等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 二、考点专练： 地 城 考点01 等比数列的基本量计算 【经典例题】 1．(23-24高二上·江苏盐城·期末)已知等比数列满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列为等比数列，设数列的公比为，因为，，所以， 所以，即，故.故选：C. 2．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知等比数列的前2项和为，则公比的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为等比数列的前2项和为，即，解得， 故选：B. 3．(24-25高二上·云南文山文山第一中学·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，故.故选：C. 【变式训练】 1．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B．5 C． D．9 【答案】D 【详解】由题设，，∴．故选：D 2．(23-24高二上·广西百色·期末)在等比数列中，，，则 ； 【答案】2 【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，因为，所以，解得，所以.故答案为：2. 3．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知等比数列的公比为2，，则（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【详解】由，可得：，所以，所以，则，故选：C 4．(23-24高三下·北京平谷区·)已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因， 则有，解得，令， 可得，此时满足的只有成立；当时，显然， ①若是奇数，则，显然不满足； ②若是偶数，则，且， 即，可得即不成立； 综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即.故选：A. 【经典例题】地 城 考点02 等比数列的定义与数列判定 1．若数列的前项和为,则的通项公式是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，，当时，，所以，∴是以3为首项，为公比的等比数列，所以．故答案为：． 2．(23-24高二下·河南”·期中)已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 【答案】BC 【详解】对选项A，因为，当时，，两式作差可得，当时，；又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，所以选项A错误；对选项B，因为，当时，，两式作差可得，当时，； 又满足，故，得到为常数，故数列为等比数列，所以选项B正确；对选项C，因为是等差数列，故，所以选项C正确；对选项D，因为是等比数列，且，，不妨取，所以，故选项D错误. 故选：BC. 3．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以，即，于是有 因为，所以，所以数列是从起，公比为的等比数列，所以，当时，，所以此式不满足，故的通项公式为 所以，因为，所以.数列的所有“和谐项”的平方和为：.故选：A. 【变式训练】 1．(21-22高一上·上海杨浦高级中学·期末)下列结论正确的是（     ） A．已知为一个数列，那么对任意正整数，均有； B．对于任意实数，一定存在实数，使得为的等比中项； C．若数列的前项和，则一定是等差数列； D．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列. 【答案】D 【详解】对于A：缺少条件，A错； 对于B：当异号时不存在，B错； 对于C：①，当时，② ①-②，得，而， 当时，不满足，C错； 对于D：令等差数列公差为，则，D正确； 故选：D 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （    ） A．949 B．1160 C．1276 D．2261 【答案】A 【详解】由题意：，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以. 所以， .所以.故选：A. 3．(25-26高二上·江苏南京第一中学·)已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误；根据题意得，，所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确；所以，故C正确；，故D正确.故选：BCD 【经典例题】地 城 考点03 等比数列的前n项和 1．(21-22高二上·山西太原·期末)在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 【答案】C 【详解】令等比数列的公比为，则，，解得，，所以.故选：C 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 【答案】D 【详解】易知，为等比数列，， 代入数据可得，解得或（舍），所以.故选：D. 3．(24-25高三上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知数列是等比数列，，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q，由，解得，所以，解得. 故选：B 【变式训练】 1．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以，故，则，所以， ，因此，故选：B. 2．(24-25高二上·广西贵港·期末)记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．49 C． D．43 【答案】C 【详解】设，则，因为，所以，解得，所以.故选：C 3．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是. 故选：D 7．(23-24高二上·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知等比数列满足，其前n项和.则（   ） A．数列的公比为p B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 【答案】D 【详解】对于A，，当时，，两式相减得，，，则，时，，所以，因为是等比数列，所以公比为，解得，故A错误，C错误； 对于B，因为，，所以，所以数列为递增数列，故B错误；    对于D，因为，，所以，当且仅当即时等号成立，此时公比为，，故D正确.故选：D. 8．(23-24高二上·广西南宁·调研)记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 【详解】依题意，，故当时，，当时，，依题意，两式相减可得，，则，因为当时，也满足，所以，，故；因为，，是等比数列的前三项，所以，则，化简得，，解得或（舍去） 所以，，所以等比数列的公比，通项公式，故.故答案为：1296 9．(24-25高二上·黑龙江绥化绥棱县第一中学·月考)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， ， ，，，由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式.故选：A 地 城 考点04 等差等比数列综合 【经典例题】 1．(2024·安徽马鞍山·模拟)已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】D 【详解】由成等比数列，得，所以，解得，所以.故选：D 2．(24-25高二上·广西河池·期末)在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由等差数列下标和性质知，，则由等比数列下标和性质可知，故选：A. 3．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，，则 【答案】BC 【详解】对于A，，，，所以，，因为，不符合上式，所以，不是等差数列，A错误；对于B，，，，，，因为，符合上式，所以，是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，有，故C正确；对于D，，，， 所以，D错误.故选：BC 【变式训练】 1．等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（   ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，所以，又，所以，整理得，因为，所以，所以数列前6项的和为.故选：A 2．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，因为首项为1，所以，所以，故.故答案为：2 3．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（    ） A．5 B．512 C．1024 D．2048 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 因为与的等差中项为，则有，即，解得，所以，故，则，所以．故选：C 4．(2024·四川雅安·模拟)已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列， ，所以，，又数列是等比数列，，则，，，.故选：C 5．(25-25高二上·贵州毕节威宁县·期末)已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，在等差数列中，，，所以有，故，所以，，则，故.故选：B 6．(24-25高二上·云南西双版纳傣族第一中学等四校·期末)已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，若成等比数列，则，即，解得，因为正项等差数列，则，则，当时，，舍去；当时，，所以.故选：A. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(22-23高二下·四川广安友谊中学·月考)已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 【详解】（1）∵，∴，，解得， ∴； （2）由题可知，∴， ∴， 2．(23-24高二上·广西百色·期末)已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①， 由可得：，即②， 联立①②解得：或，因，故， 于是，. （2）由（1）得：，，则， 故. 【变式训练】 1．(2023·福建漳州·模拟)已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①，由题可得，解得， 若选择条件②，由题可得，解得， . （2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，则， 2．(24-25高三上·贵州铜仁第一中学·模拟)已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或， 当时， 当时， 所以数列的通项公式为或. （2）由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和； 当时，，则，且， 故是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和或. 3．(22-23高二上·福建宁德·期中)已知数列中，，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 【详解】（1）由，可知，， 所以可得，即， 而，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2）不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 即对于恒成立. 设，由， 当时，，即，即， 当时，，即， 即，所以最大，， 所以，故的最小值为. 三、强化实训 1．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】等比数列中，，解得.故选：A. 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知是等比数列，若，则公比为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】由题意，则.故选：D 3．(2024·北京通州·模拟)已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式 ；数列的前9项和的值为 . 【答案】 171 【详解】由，可得，，所以，， 故答案为：，171 4．(23-24高二下·贵州黔南州·期末)记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，因为，可得解得， 所以．故选：A． 5．（23-24高二下·大庆市·期末）设是等比数列，且，则 . 【答案】32 【详解】设的公比为，则，由，得，解得，所以.故答案为：32 6．（23-24高二下·齐齐哈尔市·期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则，从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为，易知，，即； 当时，，与矛盾，舍去． 故选：C． 7．（23-24高二下·哈尔滨市·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【详解】由题意得，则，因为，，成等比数列，故，即，解得，故.故答案为：. 8．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知等比数列满足，其前项和满足，则符合条件的一个数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）. 【详解】等比数列满足，即，数列为单调递增的等比数列，又，即，则符合上述条件的数列只要满足，且即可，令，，故. （答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）.故答案为：.（答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）. 9．(25-26高二上·重庆第七中学校·月考)若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项和为，偶数项和为，所以，即，可得：，解得． 故答案为： 10．(21-22高二上·山西太原·期末)已知是等比数列，，若，则实数 ． 【答案】11 【详解】由题设，，∴，则，可得. 故答案为：11. 11．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确；由，得，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；，故C错误；由B选项可得，所以，所以，，故D正确.故选：ABD. 12．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知等差数列、等比数列的前项和分别为、，下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列一定是等差数列 C．对任意正整数， D．数列一定是等比数列 【答案】ABC 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，.对于A选项，，所以，为等差数列，故A正确；对于B选项，令，所以，，故数列一定是等差数列，故B正确；对于C选项，对任意的，，由等比中项的性质可得，由基本不等式可得，故C正确；对于D选项，设等比数列的公比为，当时，，此时，数列不是等比数列，故D错误.故选ABC. 13．(24-25高三上·河北邢台质检联盟·期中)已知数列的前项和为则下列说法正确的是（   ） A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据题意易知，所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确；对于B，同理，，即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，，则 ，故B正确；对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列，不妨设该三项为，则，即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误；对于D项，若n为奇数，则，，而由A项可知，递增，所以，，则，若n为偶数，则，，同理由A项可知，递增，所以，，则，而，则，故D正确. 故选：ABD 14．(24-25高二上·广西河池·期末)数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递减数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】AC 【详解】，由递推公式得，，，,数列是首项为2，公比为2的等比数列，故正确；，即，随着的增大减小，故正确，，故数列不是等差数列，即错误；，故错误.故选：. 15．(24-25高二上·福建三明第一中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若满足，则一定是等差数列 B．若满足，则一定是等比数列 C．若，则既是等差数列也是等比数列 D．若成等比数列，则 【答案】AD 【详解】对A：由满足，则是的等差中项，故一定是等差数列，故A正确； 对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误； 对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误； 对D：若成等比数列，设公比为，则有，，则，故D正确. 故选：AD. 16．(23-24高二上·云南师范大学附属中学·期末)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点．已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z且依次构成等差数列，而2，，z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（    ） A．18 B．16 C．10 D．4 【答案】B 【详解】依题意，解得，所以丙地应抽取的数据个数为.故选B 17．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 【详解】（1）设公比为q，由，，得，所以， 所以； （2）由得，. 18．已知数列的首项． (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 【详解】（1）由，，得的通项公式为． 设，则． 又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列； （2）由，，得． 两边取以3为底的对数，得． 所以． 又，所以，是首项为1，公差为的等差数列． 19．(24-25高二上·广西河池·期末)已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 详解】（1）设等差数列的公差为 由，，可得，解得，则 由，，故是首项为3，公比为3的等比数列，则 （2）由（1）得， 20．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)设数列的前n项和为.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”； (2)若数列的首项，且，，证明：数列不是“H数列”； (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 【详解】（1）因为，设公差为，， 令，则，于是， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得， 故数列是“H数列”； （2）因，，则， 故是以1为首项，2为公比的等比数列， 从而，， 假设数列是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 当时，有，则； 当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解， 所以对任意正整数，不存在正整数m，使得， 所以数列不是“H数列”； （3）依题意，，， 若是“H数列”，则对任意的，都存在使得， 即，解得， 又因为，而， 故对任意的，需使恒成立， 因，所以 试卷第1页，共3页 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.2 等比数列 高中数学导学案 专题4.2 等比数列 考点预览 一、必备知识 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 2.等比数列的通项公式： . 3.等比数列的判断（证明） (1)定义：（或者）（可判断，可证明） (2)等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） (3)通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 4.等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 5.等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 6.等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 二、考点专练： 地 城 考点01 等比数列的基本量计算 【经典例题】 1．(23-24高二上·江苏盐城·期末)已知等比数列满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知等比数列的前2项和为，则公比的值为（    ） A． B． C． D．2 3．(24-25高二上·云南文山文山第一中学·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【变式训练】 1．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B．5 C． D．9 2．(23-24高二上·广西百色·期末)在等比数列中，，，则 . 3．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知等比数列的公比为2，，则（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．(23-24高三下·北京平谷区·)已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 【经典例题】地 城 考点02 等比数列的定义与数列判定 1．若数列的前项和为,则的通项公式是 ． 2．(23-24高二下·河南”·期中)已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 3．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(21-22高一上·上海杨浦高级中学·期末)下列结论正确的是（     ） A．已知为一个数列，那么对任意正整数，均有； B．对于任意实数，一定存在实数，使得为的等比中项； C．若数列的前项和，则一定是等差数列； D．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列. 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （    ） A．949 B．1160 C．1276 D．2261 3．(25-26高二上·江苏南京第一中学·)已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 【经典例题】地 城 考点03 等比数列的前n项和 1．(21-22高二上·山西太原·期末)在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 3．(24-25高三上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知数列是等比数列，，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】 1．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西贵港·期末)记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．49 C． D．43 3．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知等比数列满足，其前n项和.则（   ） A．数列的公比为p B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 8．(23-24高二上·广西南宁·调研)记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 9．(24-25高二上·黑龙江绥化绥棱县第一中学·月考)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 等差等比数列综合 【经典例题】 1．(2024·安徽马鞍山·模拟)已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 2．(24-25高二上·广西河池·期末)在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 3．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，，则 【变式训练】 1．等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（   ） A． B． C．3 D．8 2．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 3．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（    ） A．5 B．512 C．1024 D．2048 4．(2024·四川雅安·模拟)已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（   ） A．2 B． C． D． 5．(25-25高二上·贵州毕节威宁县·期末)已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 6．(24-25高二上·云南西双版纳傣族第一中学等四校·期末)已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(22-23高二下·四川广安友谊中学·月考)已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 2．(23-24高二上·广西百色·期末)已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【变式训练】 1．(2023·福建漳州·模拟)已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 2．(24-25高三上·贵州铜仁第一中学·模拟)已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 3．(22-23高二上·福建宁德·期中)已知数列中，，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 三、强化实训 1．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知是等比数列，若，则公比为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．(2024·北京通州·模拟)已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式 ；数列的前9项和的值为 . 4．(23-24高二下·贵州黔南州·期末)记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·大庆市·期末）设是等比数列，且，则 . 6．（23-24高二下·齐齐哈尔市·期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 7．（23-24高二下·哈尔滨市·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 8．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知等比数列满足，其前项和满足，则符合条件的一个数列的通项公式 . 9．(25-26高二上·重庆第七中学校·月考)若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 10．(21-22高二上·山西太原·期末)已知是等比数列，，若，则实数 ． 11．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 12．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知等差数列、等比数列的前项和分别为、，下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列一定是等差数列 C．对任意正整数， D．数列一定是等比数列 13．(24-25高三上·河北邢台质检联盟·期中)已知数列的前项和为则下列说法正确的是（   ） A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 14．(24-25高二上·广西河池·期末)数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递减数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D． 15．(24-25高二上·福建三明第一中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若满足，则一定是等差数列 B．若满足，则一定是等比数列 C．若，则既是等差数列也是等比数列 D．若成等比数列，则 16．(23-24高二上·云南师范大学附属中学·期末)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点．已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z且依次构成等差数列，而2，，z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（    ） A．18 B．16 C．10 D．4 17．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 18．已知数列的首项． (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 19．(24-25高二上·广西河池·期末)已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 20．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)设数列的前n项和为.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”； (2)若数列的首项，且，，证明：数列不是“H数列”； (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 试卷第1页，共3页 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $