4.4 数学归纳法-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

所以教列（口，）是首项为1，公比为一号的等比数列，所以 =子(+1[4+1)-， a,=() 即当n=k十1时，等式成立， 由①②可知，对一切n∈N“等式成立】 !题点二 2由0可得m,=…（号） ![典例]解(1)由题意知Sn=a-an, 当n=1时，S1=a1=a一a1,解得a1=2 T=1·（2)+2·(2)+3·()+…+ 当n=2时，S,=a十a=a-2ae,解得a=号 m()· 当n=3时，S,=a1十a十a=a一3a,解得a=是2 合工.=1…(（号)+2·（号）+…+m-10… 2)猜想a,n(m十Dn∈N. 证明①当n=1时，由(1)知等式成立， (）+m…() ②假设当n=k(k≥1，k∈N”)时等式成立， 两式湘减得受1=1+（合）+()++(）) 即a4一A市，剥当n=k+1时， ax+1=S:+1-S;=a-(k+1)a+1-(a-ka), 所以a+1=k十1)(k+2)(k+1儿(k十1)十可 1-（) -”·(（)=号 即当n=十1时，等式成立 (+号)() 结合①@得a,=nn千D对任意n∈N均成立. :对点训练 所以数列{nan}的前n项和 解a2= ,且a+1 (n-1)a2(m≥2)， n一am 工=音（学+号）小()八 1 1 4 1 2×7 4.4数学归纳法 2a3 .ag一2a2-4 1 =7a-3-a3- 1 10 必备知识·自主梳理 (1n=no(o∈N*)(2)n=k(k∈N”,k≥) 1 即时小练 猜想：a,32n∈N), 1.(1)×(2)×(3)/ 下面用数学归纳法证明猜想正确】 2B[由题多得，当”=2时，不等式为1十之十号<2，就选B] ①当n-1,2易知猜想正确. ②假设当n=k(k≥2，k∈N”)时猜想正确， 3.f(2")>n+2 2 即a:=3欢2当n=k+1时，a41=乐1a k一a 关键能力·合作探究 1 k一1 题点一 (k-1)·3k2 3k-2 k-1 [典]运期当=1时品我之 k一3k-2 3k2-2k-13k2-2k-1 3k-2 (2)假设当n=(k∈N“)时等式成立， -1 中有长+头十+T 22 (3k+1)(k-1)3k十13(k十1)-21 .n=k十1时猜想也正确. k(k十1) 由①②可知，猜想对任意n∈N”都正确， =22十 题点三 则当n=k十1时， an 12 22 (k+1)2 [典例]解(1)证明“a+1=2a.干 +3X5++2k-)(2++(2k+D(2k+3 k(k十1) (k+1)2 上2a,+中，化商得=2+士， an+l an+l 22++2+1)2k+3 即1 12 (k十1)(k+2) an+l an 2(2k+3) 即当n=k十1时等式也成立. 故载列{}足以1为首项：2为公发的等羞数别 由(I),(2)可得对于任意的n∈N“等式都成立， (2)由(1)，知Sn=n2, 对点训练 当n=1时，写=1十合不等式里然成立. 证明①当1=1时，左边=1，右边=号×1X(4X12-1D=1,左 边=右边，等式成立。 假设当以=（≥1，k∈N)时，不等式成立，即令十号十…十号 ②假设当n=k(≥1，k∈N*)时，等式成立， >干' 即12+32+52+…十(2k-1)2=号(4k2-1), 到音”=十1时分十分 1+ 1 十G十S4+1k十1T(k+1)2’ 则当n=k十1时， 12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2 k k十1 又年十十)干21厂市+十-1+中2十2 =号(4-1D+(2+102 k 号(2+1(2k-1+(2+1 (k+1)k+2)(k+1)>0, k十1 专(2+1D[k(2k-1)+3(2k+1D] 1+] 号(2k+1)(22+5+3) S:S:+1 k+2' 综上，原不等式成立， =吉(2+1)+1D(2+3) :对点训练 证明①当n=3时，左边=1十 号+1)4k+8+3) 万十后，右边=3+=2，左边> 右边，不等式成立。 149 ②假设当n=k(k∈N“,k≥3)时，不等式成立， 又1=1=2 产方十后十+后.当=中1时， 即1+1 SI a 所以{得}是首项为2，公差为2的等差数列 1+ 1 >√k十1+ √5 √十I k十1十1k十2 2)由（可得安=2m,所以5，一面 1 √R+I√+I 当n≥2时，an=Sm一5m-1=2n2(n-1D 2n(n-1): 因为+2>十2 =R十2=√(k+1)十I, √+1√k十2 当n=1时a1=2,不符合a,= 2n(n-1) 所以1十1十 1 >√(k+1)+1. 2,n=1, 故an 所以当n=十1时，不等式也成立 由①②知对一切n∈N“,n>2,不等式恒成立， 2n(m-1)n≥2且n∈N*. 素养演练·提升技能 2.解(1)证明由题设知，a,am+1=ASn一1，an+1am+2=ASn+1一1， 1.D[当n=1时，左边=1+2+3+4.] 两式相减得a+1(am+2一am)=a+1· 2.C[增加一个顶点，就增加(n十1一3)条对角线，另外原来的一边也 由于an+1≠0，所以an+2一an=入. (2)存在入=4满足题意，理由如下： 变成了对角线，对f(n十1)=f(n)十1十n十1一3=f(n)十n-1.故 、 选C. 由题设知，a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=入-1. 由(1)知，a=入十1. 3.6[由题意，当n=1时，2<(1+1)： 令2ag=a1十a3,解得1=4.故an+2一an=4, 当n=2时，22<(2十1)2： ∴.数列{a2m-1}是首项为1，公差为4的等差数列， 当n=3时，23<(3十1)2； a2m-1=4n-3: 当n=4时，21<(4十1)2： 同理，数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列， 当n=5时，25<(5+1)2； a2m=4n-1. 当n=6时，2>(6十1)2， 综上可得am=21-1,am+1一an-2, 所以用教学归纳法证明不等式2”>(n十1)P(n∈N)时，初拾值题型二 因此存在入=4，使得数列{an}为等差数列. 应等于6.] 4.证明由已知条件可得bn=2n(n∈N“), 1.B01=1+8号-3+号5是=5+务0，=(2m 。2 3 所证不等式为21.4中..201V十 2 4 2n (n+12.] 1)+ ①当川=1时，左边=号，右边=厄， !2.解am-1十an+1=2a,am-1ana+1成等差数列. 左边>右边，不等式成立. 又n≥2且n∈N", ②假设n=k(k∈N“)时，不等式成立， ∴.数列{an}为等差数列，设首项为a1,公差为d. 即2+1.4+1 2 4 .2法 二4可得=3， ae=8, d=1. 别+1生，中…2法·>用，醇通设验贫务计 .通项公式am=3十(n-1)×1=n十2. 2 4 2k 2k+32k十3=(k+1)十(k+2).1 ,a2-a1=3-1=2,a3-a2=7-3=4, 2(k+1)2√+1 2 √W十I ew阿· a1-a3=13-7=6,…,an-am-1=2(n-1) 以上n一1个等式左右两边分别相加，得 am一a1=2×[1十2十3十.+(n-1)]=(n-1)n, .am=n一n十1，且n=1时，a1=1适合上式， 当n=k十1时，不等式成立 .an=n一n十1. 由①②可知，对一切n∈N“,原不等式均成立. 4.解“an+1=2”·anan=20-1·an-1, 5.证明①易验证n=1,2时命题成立. ②假设n=k(k∈N“,k≥2)时命题成立 : 心a=a2··2a」 am=3X2X22×23×…×2”-1 即a4= )] 2- =3X21+2+3++a-1)=3×22 -3·22 则当n=k十1时 5.解 +[()(]+[() 当=1时.a=5a-3,a=是， 当n≥2时，an=55n-3,∴an-1=5Sm-1-3, .am-am-1=5(Sn-Sn-1). ()] 即a,-a-1=5ana 1 4 (+()()()] 3 六{an}是首项a1=子，公比g= 子的等比盘列。 (+()'(+川 ian=ald-1= ()）ueN). 题型三 )·(()(] 1.C[由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列 {a2m-1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和 )()] 为1X1210+10×1+10X9×2=1123.故选C.] 所以n=k十1时，命题也成立. :2.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由①②可知，数列{F,}的通项公式为 则由题意，可得2a1十1=23， 2a1+9d=-29. E.[()(]eN 解得a-1, d=-3, 章末综合提升 所以an=-1十(n-1)×(-3)=-3n十2. (2)由题意，得an十bn=g-1, 题型 所以bn=31-2十g1 1.解(1)证明当n≥2时，由an十2SnSn-1=0得 当g=1时，bn=3n-1, SS-1=-2SS-1 则s=n(2+31-1)_n(3n+1) 所以5S-1 =2, 2 2 当q≠1时， 150第四章数列 S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到： (2)求数列{nan}的前n项和Tn· 不同规格图形的种数为 ;如果对折n 次，那么2S= dm2. 5.已知数列{am}的前n项和为Sn,且满足an=3Sm -2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 4.4* 数学归纳法 明学习目标 知结构体系 课标 1.了解数学归纳法的原理. 证明等式 要求 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题. 不等式 重点 重点：理解数学归纳法的简单应用。 数学归纳法 与数列结合 难点 难点：对数学归纳法的理解 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 数学归纳法的定义 (2)递推是关键 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按： 数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“k十 下列步骤进行： 1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键 (1)(归纳奠基)证明当 是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到n= k十1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样 时命题成立； 的项. (2)(归纳递推)以“当 (3)利用假设是核心 时命题成立”为条件，推出“当n=k十1时命题也 在第二步证明n=k十1成立时，一定要利用归纳 成立” 假设，即必须把归纳假设“=k时命题成立”作为 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从o 条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时，一定 开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为： 要把包含f(k)的式子写出来，尤其是()中的 数学归纳法」 最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假 设的证明就不是数学归纳法， 微点注解 即时小练 数学归纳法证题的三个关键点 :1.判断正误 （1)验证是基础 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个： 学归纳法. () 数n0,这个n0,就是我们要证明的命题对象对应： (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. 的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因 () 此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点。 (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( 31 数学选择性必修第二册 2.用数学归纳法证明1+号十号十…十2 m(n3.已知fm)=1+方+子十+n∈N).计算 n-1 ∈N*,n>1)时，第一步应验证不等式( ) 得f(2)= 3f(4)>2,f(8)>号，f16)>3 A.1+<2 B1+号+2 32)>,由此推测，当m>2时，有 C1++<3 D.1++3+}3 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一用数学归纳法证明等式 题点二归纳一猜想一证明 [典例]用数学归纳法证明： [典例门 已知数列{an}中，Sm是{an}的前n项和且 n(n+1) Sn是2a与一2nam的等差中项，其中a是不为0 2(2n+1) 的常数 (n∈N*). (1)求a1a2a3; (2)猜想am的表达式，并用数学归纳法进行 证明. /方法技巧/ 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取 第一个值0时等式两端项的情况；二是弄清从 n=k到n=k十1等式两端的项是如何变化的， 即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n= k十1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假 设建立联系，并向n=k十1时证明目标的表达 式进行变形. …/方法技巧/ 1.“归纳一猜想一证明”的一般环节 对点训练 计算 根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、 猜想的基础 用数学归纳法证明12+32十52十…十(2n一1)2 (归纳 =3a(4n-1D0m∈N. 通过观察、分析、比较、综合、联想、猜想出 猜想 一般的结论 (证明 对一般结论用数学归纳法进行证明 2.“归纳一猜想一证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前 项和」 (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性 问题，求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想 并证明对任意正整数”都成立的一般性命题： 32 第四章数列 对点训练 /方法技巧/ 用数学归纳法证明不等式的四个关键： 1 数列{an}中，a=1,a=4,且a+1= (n-1)an 键 验证第1个n的取值时，要注意n。不一定为 n-an 1,若条件为n>k,则n=k+l (n≥2)，求a3,a4,猜想an的表达式，并加以 证明. 证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+] 关键 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不 点二 应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因 为缺少“归纳递推” 应用归纳假设后，若证明方法不明确，可 关键 采用分析法证明n=k+l时也成立，这样既 点三 易于找到证明的突破口，又完整表达了证 明过程 证明n=+1成立时，应加强目标意识，即 题点三用数学归纳法证明不等式 关键 要证明的不等式是什么，目标明确了，要 点四 根据不等号的方向适当放缩，但不可“放 的过大”或“缩的过小” [典例] 数列{an}满足am+1 an 2am+1,a1=1. 1)正明：数列}是等差数列： 对点训练 (2)求数列台}的前。项和5，并用数学归纳法 已知n∈N*,n>2,求证：1十 2 1>n >√n+1. Snn+1' 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.用数学归纳法证明等式1+2十3十…十(n十3)=5.若数列{Fm}满足F1=1,F2=1,Fm=Fm-1十Fm-2 n+3)(n+4)(m∈N),验证n=1时，左边应取 (n≥3，n∈N*),则{Fn}称为斐波那契数列.试用 2 数学归纳法证明其通项公式为F,= 的项是 ( A.1 B.1+2 -1] C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n十1边形对角： 线的条数f(n+1)等于 A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 3.用数学归纳法证明不等式2>(n+1)2(n∈N*) 时，初始值应等于 4.已知{an〉为等比数列且an=2”-1,记bn= 2(log2a,十1)(n∈N*),用数学归纳法证明：对任！ 意的n∈N,不等式十1，十1、· b2 bn 温馨提示 请做课时分层检测（十二） >√n十1成立. 33