专题4.1 等差数列导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学导学案以“等差数列”为核心，围绕定义、公式、性质及应用构建学习目标，通过“必备知识梳理-考点分层专练-综合强化实训”的递进式设计，将基础概念、判断方法、前n项和等知识模块关联，形成连贯的知识建构路径。 亮点在于融入《周髀算经》节气晷长、报告厅座位排列等现实情境，引导学生用数学眼光观察问题，通过最值范围分析培养逻辑推理思维，解答题设计强化数学语言表达能力。分层例题与变式训练结合，既巩固基础又提升综合应用能力，为教师单元复习教学提供系统且针对性的支持。

专题4.1 等差数列 高中数学导学案 专题4.1 等差数列 考点预览 一、必备知识 1.等差数列的定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 符号语言：（或者）(为常数，) 2.等差数列的通项公式： . 3.等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 4.等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 5.等差数列的前项和公式 （1）首项为，末项为的等差数列的前项和公式 （2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式 6.等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 二、考点专练： 地 城 考点01 等差数列的基本量计算 【经典例题】 1．(22-23高二上·河北邢台·月考)设等差数列的公差为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西玉林·期末)记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·云南大理白族大理·期末)已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(21-22高二上·广东深圳南山区·期末)在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（    ） A．48 B．56 C．81 D．100 3．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 4．(24-25高二上·广西南宁·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 5．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)等差数列的前n项和为，其中，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．4 6．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【经典例题】地 城 考点02 等差数列定义的应用 1．设数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·云南保山·期末)已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为 ． 3．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（    ）   A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为75寸 C．立秋的晷长比立春的晷长长 D．立冬的晷长为一丈五寸 【变式训练】 1．(24-25高二上·江苏启东中学·月考)从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为 . 2．某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 . 3．(24-25高二上·云南昆明第八中学·期末)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 4．(2023·甘肃·高三一模)斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）   A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点03 等差数列的前n项和 1．已知数列的前n项和，则数列通项公式为 . 2．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高三上·河南TOP二十名校·调研)已知为等差数列的前项和，若，，则 . 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 3．(24-25高二上·广西贵港·期末)设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 5．已知数列的前项和为，且，，则（ ） A．200 B．210 C．400 D．410 地 城 考点04 等差数列中的最值与范围问题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末) （多选）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 2．(23-24高二上·广西玉林·期末) （多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 【变式训练】 1．（多选）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列的最大项为 D． 2．(23-24高二上·江苏徐州高级中学·期中) （多选）记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 3．(24-25高二上·云南昆明第八中学·期末) （多选）等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时， D．时n的最小值为10 4．(24-25高二上·湖南长郡十八校·) （多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 5．(23-24高二下·河南·期中) （多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西百色·期末)已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 2．(22-23高二上·广东广州思源学校·期末)已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 3．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【变式训练】 1．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．(19-20高二下·河北秦皇岛抚宁区第一中学·)已知在等差数列中，. (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前项和. 3．记是公差不为0的等差数列的前项和，，且，，成等比数列. (1)求和； (2)若，求数列的前20项和. 4．(24-25高二上·云南楚雄州·期末)记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 5．(25-26高二上·河南豫北名校·)已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)设，求数列中的最小项． 三、强化实训 1．(23-24高二上·山西运城·期末)已知等差数列的前n项和为，已知，则公差 ． 2．（23-24高二下·大庆市·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·佳木斯市·期末）在等差数列中，已知，则该数列前2019项的和（ ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 4．等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·甘肃兰州西北中学·期中)《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 6．(23-24高二上·广西玉林·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 7．（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，若，则i的取值为（    ） A．1或2 B．3或4 C．5 D．11 8．(24-25高二上·河南新乡·期末) （多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 9．（23-24高二下·佳木斯市·期末）（多选）若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是递增数列，则，； B．若，，则是递减数列 C．若，则； D．若，则是等比数列 10．（23-24高二下·佳木斯市·期末）（多选）数列满足，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．点()都在直线 D．数列的前项和的最大值为32 11．（23-24高二下·哈尔滨市·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 12．(24-25高三上·山东济宁·期末)已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 13．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知数列是等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，符号表示的和，求． 14．已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，为数列的前n项和，证明：. 试卷第1页，共3页 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.1 等差数列 高中数学导学案 专题4.1 等差数列 考点预览 一、必备知识 1.等差数列的定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 符号语言：（或者）(为常数，) 2.等差数列的通项公式： . 3.等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 4.等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 5.等差数列的前项和公式 （1）首项为，末项为的等差数列的前项和公式 （2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式 6.等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 二、考点专练： 地 城 考点01 等差数列的基本量计算 【经典例题】 1．(22-23高二上·河北邢台·月考)设等差数列的公差为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得，解得.故选：B. 2．(24-25高二上·广西玉林·期末)记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则.故选：C. 3．(24-25高二上·云南大理白族大理·期末)已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，即，则，故选A. 【变式训练】 1．(21-22高二上·广东深圳南山区·期末)在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则，所以. 故选：B 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（    ） A．48 B．56 C．81 D．100 【答案】C 【详解】设数列的首项和公差分别为和，，，. 故选：C. 3．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】在等差数列中，，所以，所以公差.故选：A. 4．(24-25高二上·广西南宁·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【详解】为等差数列，所以也为等差数列，因为，所以，所以.故选：. 5．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)等差数列的前n项和为，其中，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【详解】由等差数列的定义和性质可得，再由，可得， 故故选：A 6．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，所以为方程的两根，又因为为递增的等差数列，所以，故公差为.故选：D 【经典例题】地 城 考点02 等差数列定义的应用 1．设数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，若与中有一个为0，则另一个也为0，这样应有，这是不可能的，因此对所有，，∴，即， ∴数列是等差数列，又，∴，∴．故选：D． 2．(24-25高二上·云南保山·期末)已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题知，，即，∴数列是首项公差为2的等差数列， ∴，从而．故答案为：. 3．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（    ）   A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为75寸 C．立秋的晷长比立春的晷长长 D．立冬的晷长为一丈五寸 【答案】C 【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；春分的晷长为,秋分的晷长为，所以正确；立冬的晷长为，即立冬的晷长为一丈五寸，正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，故错误.故选：C. 【变式训练】 1．(24-25高二上·江苏启东中学·月考)从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为 . 【答案】7 【详解】记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，由题意，集合中取出个不同元素，它们的和，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，∴，∵，∴的最大值为7．故答案为：7． 2．某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 . 【答案】840 【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为．根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且，故．由，因此，则该报告厅总座位数为840个座位．故答案为：840 3．(24-25高二上·云南昆明第八中学·期末)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 【答案】C 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则余0，则2125年对应的天干为乙，余4，则2125年对应的地支为酉，所以2125年为乙酉年.故选：C 4．(2023·甘肃·高三一模)斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列， 所以，， 所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.故选：B. 【经典例题】地 城 考点03 等差数列的前n项和 1．已知数列的前n项和，则数列通项公式为 . 【答案】 【详解】由，得当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，， 当n＝1时，a1＝1，不符合上式．∴数列的通项公式为．故答案为：. 2．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，又，故，故选：B 【变式训练】 1．(24-25高三上·河南TOP二十名校·调研)已知为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】16 【详解】由，，可得：，解得：，所以， 故答案为：16 2．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 【答案】 【详解】当时，；当时，，符合. 所以.故答案为： 3．(24-25高二上·广西贵港·期末)设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】因为，当时，，得，当时，，所以，则，所以，又，所以，所以是等差数列. 因为，所以.故选：D 4．等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为等差数列的前n项和为，所以，则，即，故选：D 5．已知数列的前项和为，且，，则（ ） A．200 B．210 C．400 D．410 【答案】B 【详解】由题，，又因为所以，当时，可解的， 当时，，与相减得， 当为奇数即时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 当为偶数即时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 所以当为正整数时，，则.故选B. 地 城 考点04 等差数列中的最值与范围问题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末) （多选）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 【答案】AC 【详解】因为数列是等差数列，设公差为，若，得，，，所以选项A正确；，如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误；，得，所以选项C正确；，所以选项D错误.故选：AC. 2．(23-24高二上·广西玉林·期末) （多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为，对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，当时，，所以C正确；对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.故选：ACD. 【变式训练】 1．（多选）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】ABD 【详解】由题意，，则，，又是等差数列，所以，故A正确；又，则，故D正确；因为，故B正确；因为时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误.故选：ABD 2．(23-24高二上·江苏徐州高级中学·期中) （多选）记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为，因为，则，故， 所以，所以，故A正确； 由于的正负不清楚，故可能为最大值或最小值，故B错误； 因为，则，故C正确； 因为，所以，即，故D错误． 故选：AC. 3．(24-25高二上·云南昆明第八中学·期末) （多选）等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时， D．时n的最小值为10 【答案】AD 【详解】由可得，故，由于是递增数列，故，因此，故A正确，B错误，进而可得当时，，当时，因此取得最小值时，或，C错误，由于，故当时，，因此时n的最小值为10，D正确，故选：AD 4．(24-25高二上·湖南长郡十八校·) （多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，所以等差数列为单调递增数列，故A正确；对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误；对于C，因为，，所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确；对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 5．(23-24高二下·河南·期中) （多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 【答案】BC 【详解】对选项A，因为，当时，，两式作差可得，当时，；又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，所以选项A错误；对选项B，因为，当时，，两式作差可得，当时，； 又满足，故，得到为常数，故数列为等比数列，所以选项B正确；对选项C，因为是等差数列，故，所以选项C正确；对选项D，因为是等比数列，且，，不妨取，所以，故选项D错误. 故选：BC. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西百色·期末)已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①， 由可得：，即②， 联立①②解得：或，因，故， 于是，. （2）由（1）得：，，则， 故 . 2．(22-23高二上·广东广州思源学校·期末)已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以 . 3．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，且，，则，解得，， 所以，. （2）令，得， 又，故不是数列的项. （3）设数列的前项和为， 法1：， 所以当时，取最大值，最大值为. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前项均为正数，且， 所以前项和最大，. 【变式训练】 1．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为是等差数列，则 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 所以的前项和 . 所以. 2．(19-20高二下·河北秦皇岛抚宁区第一中学·)已知在等差数列中，. (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得 解得，所以等差数列的通项公式可得； （2）由（1）可得， 所以. 3．记是公差不为0的等差数列的前项和，，且，，成等比数列. (1)求和； (2)若，求数列的前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由成等比数列，得， 则，即， 而，解得，所以，. （2）由（1）知，又，则， 因此， 所以. 4．(24-25高二上·云南楚雄州·期末)记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，，解得，， 故的通项公式为； （2）由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 5．(25-26高二上·河南豫北名校·)已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)设，求数列中的最小项． 【详解】（1）由题可知，则，即． 所以是公差为的等差数列． 所以，故． （2）， 则． 故 （3）由题意知，则， 易知关于单调递增，当时，，当时，， 所以，故数列中的最小项为． 三、强化实训 1．(23-24高二上·山西运城·期末)已知等差数列的前n项和为，已知，则公差 ． 【答案】3 【详解】依题意，得，而，得，故答案为：3 2．（23-24高二下·大庆市·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得.故选:B. 3．（23-24高二下·佳木斯市·期末）在等差数列中，已知，则该数列前2019项的和（ ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 【答案】B 【详解】由题得.故选B 4．等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等差数列中的前项和分别为，．故选：B． 5．(25-26高二上·甘肃兰州西北中学·期中)《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为，则，解得，所以第30天织布（尺）．故选：D． 6．(23-24高二上·广西玉林·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列，可得， 所以，则.故选：C. 7．（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，若，则i的取值为（    ） A．1或2 B．3或4 C．5 D．11 【答案】ABC 【详解】设等差数列的公差为d，因为，，解得，，∴．若（i，，且），所以，即，∴，或，或，或，或，，∴i的取值集合是．故选：ABC． 8．(24-25高二上·河南新乡·期末) （多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 【答案】AD 【详解】设数列的公差为， 对于A，由，得，又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，，又，所以当时，，且，所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，，所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 9．（23-24高二下·佳木斯市·期末）（多选）若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是递增数列，则，； B．若，，则是递减数列 C．若，则； D．若，则是等比数列 【答案】BD 【详解】在等比数列中若，则奇数项与偶数项异号，是摆动数列，不是单调数列，故A不正确； 等比数列中：若，，则恒成立，所以是递减数列，故B正确；若等比数列中，则，，则，故C不正确；设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为：，故D正确；故选：BD． 10．（23-24高二下·佳木斯市·期末）（多选）数列满足，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．点()都在直线 D．数列的前项和的最大值为32 【答案】AC 【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；且数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确； 数列的前项和，又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.故选：AC. 11．（23-24高二下·哈尔滨市·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 【答案】ACD 【详解】小王入职后各月工资依次排成一列，构成数列，对于A，小王前3个月的工资之和为，解得，A正确；对于B，当时，是等差数列，首项，公差为100，当时，是等差数列，，公差为50，，B错误；对于C，小王入职后第13个月的工资为，第20个月的工资为，C正确；对于D，小王入职后前15个月的工资之和，D正确.故选：ACD 12．(24-25高三上·山东济宁·期末)已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以数列是以2为公差的等差数列. （2）因为，所以，所以， 所以， 所以. 13．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知数列是等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，符号表示的和，求． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， ∴， 解得， ∴， （2）∵， ∴, ∴. 14．已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，为数列的前n项和，证明：. 【详解】（1）∵，∴，即， ∴是以为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得，，∴. （3）由（2）得，， ∴， ∵，∴，且随着的增大而减小， ∴，当时，，∴. 试卷第1页，共3页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $