章末检测（6） 导数及其应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦导数及其应用核心知识，通过导数计算、几何意义、单调性、极值与最值等基础题型，逐步过渡到函数零点、实际应用等综合问题，搭建从基础到综合的学习支架，梳理知识脉络。 资料亮点在于分层设计与素养导向，如构造函数解不等式培养逻辑推理（数学思维），包装盒设计问题体现数学眼光观察现实，分类讨论题提升数学语言表达能力。助力学生巩固知识、提升应用能力，为教师提供全面检测工具，把握学情。

章末检测（六）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数f（x）＝xln x＋x2－1，则f'（1）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D　依题意f'（x）＝ln x＋1＋2x，所以f'（1）＝0＋1＋2＝3. 2.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A.∪ B.[0，π） C. D.∪ 解析：D　y'＝cos x，∵cos x∈[－1，1]，∴切线的斜率范围是[－1，1]，∴倾斜角的范围是∪. 3.设函数f（x）的图象如图，则函数y＝f'（x）的图象可能是下列选项中的（　　） 解析：D　由y＝f（x）图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知选D. 4.函数f（x）＝x2－ln x的单调递减区间是（　　） A. B. C.和 D.和 解析：A　∵f'（x）＝2x－＝（x＞0），当0＜x≤时，f'（x）≤0，故f（x）的单调递减区间为. 5.函数f（x）＝3x－4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　） A.－1 B.0 C. D.1 解析：D　f'（x）＝3－12x2，令f'（x）＝0，则x＝－（舍去）或x＝，f（0）＝0，f（1）＝－1，f＝－＝1，∴f（x）在[0，1]上的最大值为1. 6.函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则a＝（　　） A.2　　　　　　　　　 B.3 C.5 D.6 解析：C　f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5. 7.函数f（x）＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D.∪ 解析：D　f'（x）＝ax2＋ax－2a＝a（x＋2）（x－1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（－2）·f（1）＜0，即＜0，解得a＜－或a＞.故选D. 8.已知可导函数f（x）的定义域为（－∞，0），其导函数f'（x）满足xf'（x）＋2f（x）＞0，则不等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024）－f（－1）＜0的解集为（　　） A.（－2 025，－2 024） B.（－2 024，－2 023） C.（－∞，－2 024） D.（－∞，－2 023） 解析：A　令g（x）＝x2f（x）（x＜0），则g'（x）＝x[xf'（x）＋2f（x）]＜0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，不等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024）－f（－1）＜0可变形为（x＋2 024）2·f（x＋2 024）＜（－1）2·f（－1），即g（x＋2 024）＜g（－1），所以x＋2 024＞－1且x＋2 024＜0，解得－2 025＜x＜－2 024.故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列结论中不正确的是（　　） A.若y＝cos，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x 解析：ACD　对于A，y＝cos ，则y'＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误. 10.设函数f（x）＝x－ln x（x＞0），则y＝f（x）（　　） A.在区间内无零点 B.在区间内有零点 C.在区间（1，e）内无零点 D.在区间（1，e）内有零点 解析：AD　由题意得f'（x）＝（x＞0），令f'（x）＞0，得x＞3；令f'（x）＜0，得0＜x＜3；令f'（x）＝0，得x＝3，故函数f（x）在区间（0，3）上单调递减，在区间（3，＋∞）上单调递增，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f（1）＝＞0，f（e）＝－1＜0，f＝＋1＞0.所以f（x）在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点. 11.若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）上存在最小值，则下列a值符合要求的是（　　） A.－3 B.－2 C.－1 D.0 解析：ABC　由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，作出其大致图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3，0）.故选A、B、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若函数f（x）＝sin 2x＋sin x，则f'（x）的最大值是　2　，最小值是　－　. 解析：∵函数f（x）＝sin 2x＋sin x，∴f'（x）＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2－（x∈R）.当cos x＝－时，f'（x）取得最小值－；当cos x＝1时，f'（x）取得最大值2. 13.若函数f（x）＝的单调增区间为（0，＋∞），则实数a的取值范围是　a≥0　. 解析：f'（x）＝'＝a＋，由题意得，a＋≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以a≥－在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以a≥0. 14.已知函数f（x）＝ln x－ax2＋x，a∈R.当a＝0时，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程是　y＝（＋1）x　　；若f（x）有两个零点，则a的取值范围是　（0，1）　. 解析：当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，f（e）＝ln e＋e＝e＋1，所以f'（x）＝＋1，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率k＝f'（e）＝＋1，所以切线方程为y－（e＋1）＝（＋1）（x－e），化简得y＝（＋1）x；函数f（x）有两个零点，等价于方程a＝有两解，即y＝与y＝a有两个交点，令g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝，令g'（x）＝0，得1－2ln x－x＝0，解得x＝1，因为φ（x）＝1－2ln x－x为减函数，故g'（x）＝0有唯一解，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，＋∞），g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，＋∞）单调递减， 又g（1）＝＝1，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→－∞，作出函数y＝g（x）的图象如图所示，所以当a∈（0，1）时，f（x）有两个零点.　 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在①f（－1）＝－4，f'（1）＝0；②f（1）＝0，f'（0）＝1；③f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程为y＝8x＋4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx，且　　. （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）的极小值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：（1）选择①f（－1）＝－4，f'（1）＝0. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 由f（－1）＝－4，f'（1）＝0，可得 解得a＝－2，b＝1. 选择②f（1）＝0，f'（0）＝1. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b，由f（1）＝0，f'（0）＝1，可得 解得a＝－2，b＝1. 选择③f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程为y＝8x＋4. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 由f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程为y＝8x＋4，可得 解得a＝－2，b＝1. （2）由（1）得f（x）＝x3－2x2＋x，∴f'（x）＝3x2－4x＋1， 由f'（x）＝0得x1＝，x2＝1， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x 1 f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极小值为f（1）＝0. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x＋y－4＝0. （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点（2，4）的切线方程. 解：（1）f'（x）＝＋2x，由于直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点（1，2）， 故解得 （2）由（1）知y＝＋，则y'＝x2. 设切点为（x0，y0）， 则切线斜率k＝y'＝， 故切线方程为y－－＝（x－x0）. 由切线过点（2，4）， 代入可解得x0＝2或x0＝－1， ∴切点为（2，4）或（－1，1）， 则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－ax2. （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝， 当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当a＞0时，f'（x）＞0⇒0＜x＜，f'（x）＜0⇒x＞， 即f（x）在上单调递增，在上单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，f（x）max＝f＝ln －a＝－（ln a＋1）， 当a≥时，f（x）max＝f＝－（ln a＋1）≤0， 函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当0＜a＜时，f（x）max＝f＝－（ln a＋1）＞0， 由于1∈，且f（1）＝ln 1－·a·12＝－a＜0， 由零点存在性定理知f（x）在上存在唯一零点， 由于＞，且f＝ln －a＝ln －＜－＝0， 由零点存在性定理知f（x）在上存在唯一零点，所以当0＜a＜时，f（x）有两个零点. 综上，实数a的取值范围是. 18.（本小题满分17分）请你设计一个包装盒.如图①所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图②中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设｜AE｜＝｜FB｜＝x cm. （1）若广告商要求包装盒的侧面积S（单位：cm2）最大，试问x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V（单位：cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝x，h＝＝（30－x），0＜x＜30. （1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1 800，0＜x＜30，所以当x＝15时，S取得最大值. （2）V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V'＝6x（20－x）. 令V'＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. 当x∈（0，20）时，V'＞0；当x∈（20，30）时，V'＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x－. （1）若f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值； （2）设g（x）＝ln x－a，若g（x）＜x2在（0，e]上恒成立，求a的取值范围. 解：（1）由题意可得f'（x）＝＋＝（x＞0）， 当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数， f（x）不存在最小值； 当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝－a，且0＜x＜－a时，f'（x）＜0， x＞－a时，f'（x）＞0. 所以x＝－a时，f（x）取得极小值且为最小值， 由f（－a）＝ln（－a）＋1＝2，解得a＝－e. （2）g（x）＜x2即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2， 故g（x）＜x2在（0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在（0，e]上恒成立. 设h（x）＝ln x－x2，则h'（x）＝－2x＝， 由h'（x）＝0及0＜x≤e得x＝. 当0＜x＜时，h'（x）＞0，当＜x≤e时，h'（x）＜0，即h（x）在上为增函数，在上为减函数， 所以当x＝时，h（x）取得最大值为h＝ln －. 所以g（x）＜x2在（0，e]上恒成立时，a的取值范围为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $