专题04 导数（期末复习讲义）高二数学下学期人教B版

专题04 导数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 导数定义的理解与应用 题型二 导数的基本运算 题型三 导数的几何意义与应用 题型四 用导数求函数的单调性 题型五 由函数的单调性求参数 题型六 用导数求函数的极值 题型七 由函数的极值求参数 题型八 用导数求函数的最值 题型九 由函数的最值求参数 题型十 构造法解函数不等式 题型十一 导数与函数零点的综合 题型十二 导数与不等式的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数平均变化率、导数的概念与几何意义 能理解平均变化率、瞬时变化率的含义，熟练运用导数几何意义求解切线斜率与切线方程 基础必考题型，选择、填空高频考查，易混淆割线斜率与切线斜率，求切线时易搞错切点位置 基本初等函数求导公式、四则运算法则与复合函数求导 能熟记求导公式与运算法则，准确完成普通函数、复合函数的求导运算 全题型基础工具考点，贯穿整份试卷，复合函数求导易遗漏中间变量、多层求导不彻底 利用导数判断函数单调性、求解单调区间 能结合定义域，借助导数符号判断函数增减性，规范求解函数单调区间 核心高频考点，大小题型均有涉及，易忽略函数定义域直接求解，混淆单调区间与区间上单调的条件 由函数单调性求参数取值范围 能根据函数单调性质，转化为导数恒成立问题，准确求解参数范围 中档拔高题型，常以解答题小问形式出现，易混淆与的使用场景 导数与函数极值、极值点判定 能依据导数正负变化判断极大值、极小值，掌握极值点的判定方法 重点考点，选择、解答题均会考查，易错认为就一定是极值点，忽略两侧导数符号判断 求解函数在闭区间上的最值 能按步骤求出函数极值，结合区间端点函数值，确定函数最大值与最小值 解答题必考题型，计算量偏大，易漏掉区间端点函数值参与最值比较 极值、最值与参数综合问题 能综合运用极值、最值性质，建立等量或不等关系求解参数 期末压轴热点，综合性强，易出现分类讨论不完整、逻辑疏漏等问题 知识点01 函数的平均变化率及导数的几何意义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点02 基本初等函数的导数及求导法则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 知识点03 导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 知识点04 导数与函数的极值、最值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 题型一 导数定义的理解与应用 例1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数的定义：函数在处的导数为， 所以． 变式1-1．若，则当h时，的极限是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以当h时，的极限是2. 变式1-2．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 变式1-3．设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】==， 而，所以，. 题型二 导数的基本运算 例2．下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以A运算正确，不符合题意； ，所以B运算错误，符合题意； ，所以C运算正确，不符合题意； ，所以D运算正确，不符合题意． 变式2-1．求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得. 变式2-2．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，又， 所以，解得. 变式2-3．已知，则______． 【答案】 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 题型三 导数的几何意义与应用 例3．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 变式3-1．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 变式3-2．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 变式3-3．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 题型四 用导数求函数的单调性 例4．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 变式4-1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 【答案】D 【详解】记函数与轴的两个交点横坐标从左往右依次为， 则由图可知：当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故有两段单调递增区间，有两段单调递减区间，函数有一个极小值点：；有一个极大值点：；即A，B，C选项正确， 不能确定函数的零点个数，D错误. 变式4-2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． 变式4-3．已知函数，求在内的单调性． 【答案】在上单调递增，在上单调递减． 【详解】因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 题型五 由函数的单调性求参数 例5．（多选）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】CD 【详解】由 ， 当时，， 由反比例函数在上单调递增的充要条件是，即： ， 所以实数a的可能的取值有或. 变式5-1．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 变式5-2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 变式5-3．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为_________. 【答案】 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 题型六 用导数求函数的极值 例6．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 变式6-1．关于函数，正确的命题是（     ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．没有极值点 D．在区间上单调递减 【答案】B 【详解】令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，C错误； 值域为，A错误； 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上先减后增，B正确，D错误. 变式6-2．已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 令，得，解得. 因为为增函数， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 变式6-3．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2) 极小值为，无极大值 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， ，代入得， 即切点为，切线斜率， 由点斜式得切线方程为. （2）对求导得， 定义域，，，故恒成立， 因此在上单调递增. 又，因此 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 因此只有极小值，无极大值，极小值为， 即的极小值为，无极大值. 题型七 由函数的极值求参数 例7．已知函数有极大值，则实数c 的值为_____________ 【答案】6 【详解】， 求导得，令，解得或， 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极大值，在处取得极小值， ，即，解得； 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值， ，不符合题意； 若，则，函数单调递增，无极值，不合题意； 综上，实数． 故答案为：6． 变式7-1．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 变式7-2．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 变式7-3．已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对求导得：，则函数无极值点等价于导数恒不变号. 已知，若恒成立，需对所有成立，即，得； 若恒成立，需对所有成立，即，得. 因此，无极值点时，的取值范围是或. 充分性：若，则一定无极值点，充分性成立； 必要性：若无极值点，还可以满足，推不出，必要性不成立. 因此“”是“无极值点”的充分不必要条件. 题型八 用导数求函数的最值 例8．已知函数． (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 【答案】(1) ， (2) 最大值为，最小值为 【分析】 【详解】（1），，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 从而，； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增. 则， 变式8-1．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 变式8-2．已知函数的最小值为____. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 令，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 变式8-3．已知函数. (1)求的值； (2)求函数的最小值. 【答案】(1)2 (2)3 【分析】 【详解】（1）由题意可得， 故， . （2）由（1）得，，所以， 令，解得， 因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 题型九 由函数的最值求参数 例9．已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上. 变式9-1．已知函数的最大值为0，则________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 依题意，最大值，解得. 变式9-2．已知函数的最大值为1．则________. 【答案】 【详解】由题意得的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点， 故，即，解得． 变式9-3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 题型十 构造法解函数不等式 例10．已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 变式10-1．已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 故当时，，即在上单调递减， 由函数是定义在上的偶函数， 则， 故函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减， 由，则，， 则当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上可得：的解集是. 变式10-2．已知函数的定义域为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， ，则在上为增函数， 两边同除以， 得，即， ， 所以不等式的解集为. 变式10-3．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 又因为时， 所以不等式等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为：. 题型十一 导数与函数零点的综合 例11．（多选）已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】AD 【详解】令，得， 设，则， 令，解得，单调递增， 令，解得，单调递减， .当时，，当时，， 作出的大致图象如下： 由图象可知： 当，即时，无交点； 当，即时，有两个交点； 当或，即或时，有一个交点； m的值可能为1或2． 变式11-1．若函数在区间上有2个零点，则实数m的取值范围是______________． 【答案】 【详解】由，得，令，得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则：当时，取到极大值， 又因为当，，当，，易知：， 要使在区间上有2个零点，则需满足且， 解得：，即：m的取值范围是． 变式11-2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】，令， 函数 有两个零点等价于函数与函数的图象有两个交点， ，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增， 所以，，，如图所示，所以实数的取值范围是. 变式11-3．已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. （2）计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 题型十二 导数与不等式的综合 例12．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. （2）令，易知的定义域为， 则，当时，；当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，则，命题得证. 变式12-1．已知a≠0，函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)时，单调递减区间为，无单调递增区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得. 若，则在上恒成立， 则的单调递减区间为，无单调递增区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）当时，， 要证，只需证. 又，所以只需证. 令，则， 则当时，，当时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以当时，. 变式12-2．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 因函数在上递增，则函数在上递增， 故，函数在上递增， 则，函数在上单调递增， 则， 所以当时，恒成立. 变式12-3．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，当时，； ； 当时，，； ，即. 函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，当时，. 要证明，即证明，； 当时，，，此时成立； 当时，令，则； 令，则； 在区间上单调递增，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，即； ，； 在上单调递增，即； ，，即； 在区间上单调递增，即； ，即； ，即； 综上所述，当时，. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（河南濮阳市2025-2026学年高二下学期学业质量监测数学试题）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， . 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 2．（2025·26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 3．（2025·26高二下·江西景德镇·阶段检测）若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由，求导得. 因为直线与曲线相切，设切点为， 则切线斜率，解得. 则切点为，则，解得. 4．（2025·26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 5．（2025·26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 6．（多选）给出下面四个命题，其中正确的是（   ） A．函数的最大值为10，最小值为 B．函数的最大值为17，最小值为1 C．函数的最大值为16，最小值为 D．函数无最大值，也无最小值 【答案】ACD 【详解】对于A：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以当时取得最小值，当时取得最大值，故A正确； 对于B：， 所以在上单调递增，不存在最值，故B错误； 对于C：，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以和是函数在上的两个极值点，且， 又在区间端点的函数值为，比较以上函数值，可得，故C正确； 对于D：由C知，在上单调递减，故在上无最大值也无最小值，故D正确． 故选：ACD 7．（2025·26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 8．（2025·26高二下·江苏南京·阶段检测）若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】若在R上单调递增，则在R上恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 9．（2025·26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 10．（2025·26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】(1)的最小值是，的最大值是 (2)或． 【详解】（1），， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减， 而，，， 的最小值是，的最大值是 （2），设切点坐标为， 则切线方程为， ∵切线过点，∴， 化简得，∴或． ∴切线的方程为或． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高二下·河北衡水·阶段检测）梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 即，， 则，，即， 由于曲线在点处的切线经过点，且， 则，解得或（舍去）， 则，即. 2．（2025·26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 3．（2025·26高二下·河北保定·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 4．（2025·26高二下·上海静安·期末）已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【详解】因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， 由在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·重庆江津·期中）已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 化简得，令 ， 即 ，令， ， 令，则， 令，则，故在定义域内单调递增； 又因为，； 因此，使， 故在内单调递减，在内单调递增， 当时，，故时，， ， 同理得时，， ， 且 ， 故， 因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增， ， ， ， ， 故在，，区间分别有一个零点， 因此函数的极值点个数有3个. 3．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．4是的极大值点 B．当时， C．函数的图像是中心对称图形 D．当且时， 【答案】ACD 【详解】对于A，定义域为：， . 因时，，则， ，从而在上单调递增， 在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确； 对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误； 对于C，注意到， ， 则图像关于中心对称，故C正确. 对于D，因，则，又，则， 从而，又由A分析可得在上单调递增， 则，从而 ,故D正确. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ， 切线斜率 ，又. 故可得切线方程为. （2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾， 时，，考虑， 此时， 当时，若，则，单调递增，且 ， 由零点存在定理知其在内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点． 注意到时，，单调递减：时，，单调递增， 由唯一零点知 ，得． 当时，若，则，单调递增，且， ， 由零点存在定理知其在区间内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点， 注意到时，，单调递增； 时，，单调递减， 由唯一零点知 ，得． 综上，的取值集合是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 导数定义的理解与应用 题型二 导数的基本运算 题型三 导数的几何意义与应用 题型四 用导数求函数的单调性 题型五 由函数的单调性求参数 题型六 用导数求函数的极值 题型七 由函数的极值求参数 题型八 用导数求函数的最值 题型九 由函数的最值求参数 题型十 构造法解函数不等式 题型十一 导数与函数零点的综合 题型十二 导数与不等式的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数平均变化率、导数的概念与几何意义 能理解平均变化率、瞬时变化率的含义，熟练运用导数几何意义求解切线斜率与切线方程 基础必考题型，选择、填空高频考查，易混淆割线斜率与切线斜率，求切线时易搞错切点位置 基本初等函数求导公式、四则运算法则与复合函数求导 能熟记求导公式与运算法则，准确完成普通函数、复合函数的求导运算 全题型基础工具考点，贯穿整份试卷，复合函数求导易遗漏中间变量、多层求导不彻底 利用导数判断函数单调性、求解单调区间 能结合定义域，借助导数符号判断函数增减性，规范求解函数单调区间 核心高频考点，大小题型均有涉及，易忽略函数定义域直接求解，混淆单调区间与区间上单调的条件 由函数单调性求参数取值范围 能根据函数单调性质，转化为导数恒成立问题，准确求解参数范围 中档拔高题型，常以解答题小问形式出现，易混淆与的使用场景 导数与函数极值、极值点判定 能依据导数正负变化判断极大值、极小值，掌握极值点的判定方法 重点考点，选择、解答题均会考查，易错认为就一定是极值点，忽略两侧导数符号判断 求解函数在闭区间上的最值 能按步骤求出函数极值，结合区间端点函数值，确定函数最大值与最小值 解答题必考题型，计算量偏大，易漏掉区间端点函数值参与最值比较 极值、最值与参数综合问题 能综合运用极值、最值性质，建立等量或不等关系求解参数 期末压轴热点，综合性强，易出现分类讨论不完整、逻辑疏漏等问题 知识点01 函数的平均变化率及导数的几何意义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度________ （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的________,即________ 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限________于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的________. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即________. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即________叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作________或,即________. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的________,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在________上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在________处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个________,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点02 基本初等函数的导数及求导法则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ________ ________ ________ ________ 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 ________ 乘法运算 除法运算 ，则________ 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 知识点03 导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 知识点04 导数与函数的极值、最值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都小，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________,就把叫做函数的________,叫做函数的________. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都大，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________，就把叫做函数的________,叫做函数的________. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是________; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是________ 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的________,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的________. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的________条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号________. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有________个，但最大(小)值只能有________个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是________,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与________处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 题型一 导数定义的理解与应用 例1．若，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．若，则当h时，的极限是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 变式1-3．设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 导数的基本运算 例2．下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，则______． 题型三 导数的几何意义与应用 例3．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-2．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 用导数求函数的单调性 例4．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 变式4-2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数，求在内的单调性． 题型五 由函数的单调性求参数 例5．（多选）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式5-1．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 变式5-2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为_________. 题型六 用导数求函数的极值 例6．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 变式6-1．关于函数，正确的命题是（     ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．没有极值点 D．在区间上单调递减 变式6-2．已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求的极值． 题型七 由函数的极值求参数 例7．已知函数有极大值，则实数c 的值为_____________ 变式7-1．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 变式7-2．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型八 用导数求函数的最值 例8．已知函数． (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 变式8-1．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 变式8-2．已知函数的最小值为____. 变式8-3．已知函数. (1)求的值； (2)求函数的最小值. 题型九 由函数的最值求参数 例9．已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 变式9-1．已知函数的最大值为0，则________. 变式9-2．已知函数的最大值为1．则________. 变式9-3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 题型十 构造法解函数不等式 例10．已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．已知函数的定义域为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式10-3．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型十一 导数与函数零点的综合 例11．（多选）已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（   ） A．1 B． C． D．2 变式11-1．若函数在区间上有2个零点，则实数m的取值范围是______________． 变式11-2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 变式11-3．已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求的取值范围． 题型十二 导数与不等式的综合 例12．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：. 变式12-1．已知a≠0，函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 变式12-2．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 变式12-3．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（河南濮阳市2025-2026学年高二下学期学业质量监测数学试题）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 2．（2025·26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26高二下·江西景德镇·阶段检测）若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 6．（多选）给出下面四个命题，其中正确的是（   ） A．函数的最大值为10，最小值为 B．函数的最大值为17，最小值为1 C．函数的最大值为16，最小值为 D．函数无最大值，也无最小值 7．（2025·26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 8．（2025·26高二下·江苏南京·阶段检测）若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 9．（2025·26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 10．（2025·26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数． (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)过点作曲线的切线，求此切线的方程． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高二下·河北衡水·阶段检测）梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（     ） A． B． C． D． 2．（2025·26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高二下·河北保定·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·26高二下·上海静安·期末）已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·重庆江津·期中）已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．4是的极大值点 B．当时， C．函数的图像是中心对称图形 D．当且时， 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $