第6章 导数及其应用 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦导数应用核心知识点，涵盖几何意义、单调性、极值最值等内容。通过切线方程实例导入，衔接导数计算基础，搭建从概念理解到复杂问题解决的学习支架。 资料特色在于结合高考真题分题型系统讲解，注重逻辑推理（如单调性分类讨论）和数学建模（如游乐园面积优化问题），培养数学思维与应用意识。助力学生提升解题能力，为教师提供清晰教学路径。

一、数学运算与逻辑推理 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内容：（1）导数的计算；（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值；（3）函数不等式的证明；（4）恒成立（能成立）的转化. 题型一 导数的几何意义 1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点. 2.围绕着切点有三个等量关系：切点（x0，y0），则k＝f'（x0），y0＝f（x0），（x0，y0）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到. 【例1】　已知函数f（x）＝x3＋x－16. （1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程； （2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 解：（1）∵f'（x）＝（x3＋x－16）'＝3x2＋1， ∴f（x）在点（2，－6）处的切线的斜率为f'（2）＝13. ∴切线的方程为y＝13（x－2）－6， 即y＝13x－32. （2）法一　设切点为（x0，y0）， 则直线l的斜率为f'（x0）＝3＋1， ∴直线l的方程为 y＝（3＋1）（x－x0）＋＋x0－16. 又∵直线l过点（0，0）， ∴0＝（3＋1）（－x0）＋＋x0－16. 整理得，＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26. f'（－2）＝3×（－2）2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）. 法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为（x0，y0）， 则k＝＝， 又∵k＝f'（x0）＝3＋1， ∴＝3＋1. 解得x0＝－2， ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26. k＝3×（－2）2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）. 题型二 利用导数研究函数的单调性 　借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等初等函数（或复合函数）的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f'（x）的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，集分类讨论、数形结合于一体. 【例2】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2　　　　　　　　　　 B.e C.e－1 D.e－2 （2）（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 解析：（1）C　（2）ACD 解析：（1）法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. （2）对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，D正确.故选A、C、D. 题型三 利用导数研究函数的极值和最值 1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值，反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： （1）求定函数f（x）的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）检验f'（x）＝0的根的两侧f'（x）的符号： 若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值； 若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值. 导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意. 3.求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将（1）求得的极值与f（a），f（b）相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 【例3】　（1）（2022·全国甲卷6题）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 （2）（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 答案：（1）B　（2）BCD 解析：（1）由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝－（x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝－＝－.故选B. （2）因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D. 题型四 利用导数证明不等式 　利用导数解决不等式问题（如：证明不等式、比较大小等），其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式（或比较大小）常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的： 要证不等式f（x）＞g（x），则构造函数φ（x）＝f（x）－g（x），只需证φ（x）＞0即可，由此转化成求φ（x）最小值问题，借助于导数解决. 【例4】　（2023·新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. （2）证明：法一　由（1）知，当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ln）＝a（＋a）－ln＝1＋a2＋ln a. 令g（x）＝1＋x2＋ln x－（2ln x＋），x＞0， 即g（x）＝x2－ln x－，x＞0， 则g'（x）＝2x－＝. 令g'（x）＝0，得x＝. 当x∈（0，）时，g'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，g'（x）＞0. 所以g（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（）＝（）2－ln －＝－ln＞0， 所以1＋x2＋ln x＞2ln x＋对∀x＞0恒成立， 所以当a＞0时，1＋a2＋ln a＞2ln a＋恒成立. 即当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 法二　当a＞0时，由（1）得，f（x）min＝f（－ln a）＝1＋a2＋ln a， 故欲证f（x）＞2ln a＋成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋， 即证a2－＞ln a. 构造函数u（a）＝ln a－（a－1）（a＞0）， 则u'（a）＝－1＝， 所以当a＞1时，u'（a）＜0；当0＜a＜1时，u'（a）＞0. 所以函数u（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以u（a）≤u（1）＝0，即ln a≤a－1， 故只需证a2－＞a－1，即证a2－a＋＞0， 因为a2－a＋＝（a－）2＋＞0恒成立， 所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 题型五 利用导数解决恒成立问题 解决恒成立问题的方法： （1）若关于x的不等式f（x）≤m在区间D上恒成立，则转化为f（x）max≤m； （2）若关于x的不等式f（x）≥m在区间D上恒成立，则转化为f（x）min≥m. 【例5】　（2023·全国甲卷21题）已知函数f（x）＝ax－，x∈（0，）. （1）当a＝8时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）＜sin 2x，求a的取值范围. 解：（1）当a＝8时，f（x）＝8x－（x∈（0，））， f'（x）＝8－＝8＋－. 令＝t，则t∈（1，＋∞）， 令h（t）＝－3t2＋2t＋8＝－（3t＋4）（t－2）， 当t∈（1，2）时，h（t）＞0；当t∈（2，＋∞）时，h（t）＜0. 故当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（，） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. ∴f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，）上单调递减. （2）令g（x）＝f（x）－sin 2x＝ax－－sin 2x， 则g'（x）＝a－－2cos 2x＝a－－4cos2x＋2＝a－（＋4cos2x－2）， 令u＝cos2x，则u∈（0，1），令k（u）＝＋4u－2， 则k'（u）＝＋4＝. 当u∈（0，1）时，k'（u）＜0， ∴k（u）在（0，1）上单调递减， ∵k（1）＝3，∴当u∈（0，1）时，k（u）＞3， ∴k（u）的值域为（3，＋∞）. ①当a≤3时，g'（x）＜0， ∴g（x）在（0，）上单调递减， 又g（0）＝0，∴当x∈（0，）时，g（x）＜0，即f（x）＜sin 2x. ②当a＞3时，∃x0∈（0，）使得g'（x0）＝0， ∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， ∴g（x0）＞g（0）＝0， ∴f（x）＜sin 2x不成立. 综上所述，a的取值范围为（－∞，3]. 题型六 利用导数研究方程的根或函数的零点 　讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立等问题的实质就是函数的单调性与函数极（最）值的应用.破解问题的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极（最）值列出，然后再借助单调性和极（最）值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解. 【例6】　已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0）. （1）当a＝2时，求f（x）的单调区间； （2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x＞0）， f'（x）＝（x＞0）， 令f'（x）＞0，则0＜x＜，此时函数f（x）单调递增， 令f'（x）＜0，则x＞，此时函数f（x）单调递减， 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点， 可转化为方程＝1（x＞0）有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解. 设g（x）＝（x＞0）， 则g'（x）＝（x＞0）， 令g'（x）＝＝0，得x＝e， 当0＜x＜e时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增， 当x＞e时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减， 故g（x）max＝g（e）＝， 且当x＞e时，g（x）∈， 又g（1）＝0， 所以0＜＜，所以a＞1且a≠e， 即a的取值范围为（1，e）∪（e，＋∞）. 二、数学建模 利用导数解决函数在实际问题中的应用问题，培养学生的数学建模核心素养. 题型七 导数的实际应用 解决优化问题的步骤： （1）首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域； （2）其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具； （3）最后验证数学问题的解是否满足实际意义. 【例7】　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试求游乐园的最大面积. 解：如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D（4，2）. 设抛物线方程为y2＝2px. ∵点D在抛物线上， ∴22＝8p，解得p＝. ∴抛物线方程为y2＝x（0≤x≤4，0≤y≤2）. 设P（y2，y）（0≤y≤2）是曲线MD上任一点， 则｜PQ｜＝2＋y，｜PN｜＝4－y2. ∴矩形游乐园面积为 S＝｜PQ｜·｜PN｜＝（2＋y）（4－y2）＝8－y3－2y2＋4y. 求导得，S'＝－3y2－4y＋4，令S'＝0， 得3y2＋4y－4＝0， 解得y＝或y＝－2（舍）. 当y∈时，S'＞0，函数单调递增； 当y∈时，S'＜0，函数单调递减. ∴当y＝时，S有极大值且为最大值. 此时｜PQ｜＝2＋y＝2＋＝， ｜PN｜＝4－y2＝4－＝. ∴游乐园的最大面积为Smax＝×＝（km2）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $