6.2.1 导数与函数的单调性-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦导数与函数单调性的关系，以股票走势曲线图导入，通过“想一想”辨析f'(x)=0时为常数函数、f'(x)>0是充分不必要条件等，构建从直观到抽象的学习支架，衔接导数几何意义与函数性质。 特色在于融合直观想象与逻辑推理，如原函数与导函数图象互推例题培养数形结合能力，含参数单调区间讨论和已知单调性求参数体现数学运算与逻辑推理，通性通法总结提升解题规范性，帮助学生深化理解，助力教师高效教学。

6.2.1　导数与函数的单调性 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象 2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算 　　 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】　函数的单调性与导数有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的单调性与其导数正负的关系 　一般地，函数f（x）的单调性与其导函数f'（x）的正负之间具有如下的关系： （1）在某个区间（a，b）上，如果　f'（x）＞0　，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增； （2）在某个区间（a，b）上，如果　f'（x）＜0　，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减. 【想一想】 1.如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调性如何？ 提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性. 2.在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件. 3.函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？ 提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大. 1.函数f（x）＝2x－sin x在（－∞，＋∞）上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减 D.在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增 解析：A　因为f'（x）＝2－cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数. 2.已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）的图象大致形状是（　　） 解析：C　观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意. 3.如图为导函数y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递增区间是　（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）　，单调递减区间是　（－3，－2]，（1，3]　. 解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3]. 　题型一 导数与函数单调性的关系 角度1　根据原函数图象确定导函数图象 【例1】　已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f'（x）的图象可能是图中的（　　） 解析：C　由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的正、负情况如下表： x [－1，b） [b，a） [a，1] f'（x） － ＋ － f（x） 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b）时，在x轴下方；当x∈[b，a）时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方.故选C. 通性通法 　　对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象. 角度2　由导函数图象确定原函数图象 【例2】　（1）已知y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是图中的（　　） （2）已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（　　） 答案：（1）C　（2）D 解析：（1）由f'（x）＞0（f'（x）＜0）的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f'（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示： x （－∞，0] （0，2] （2，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 由表可知f（x）在（－∞，0]内单调递增，在（0，2]内单调递减，在（2，＋∞）内单调递增，故满足条件的只有C，故选C. （2）从f'（x）的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减.即函数f（x）的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓. 通性通法 　　通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢. 【跟踪训练】 1.设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能是（　　） 解析：C　原函数的单调性是当x＜0时，函数为增函数；当x＞0时，函数的单调性变化依次为增、减、增.故当 x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）的符号变化依次为“＋”“－”“＋”.故选C. 2.已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　） 解析：B　两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝f'（x）的函数值由小到大，说明y＝f（x）的图象越来越“陡峭”，y＝g'（x）的函数值由大到小，说明y＝g（x）的图象越来越“平缓”.故选B. 题型二 利用导数求函数的单调区间 角度1　不含参数的函数求单调区间 【例3】　已知函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞）， f'（x）＝. 由f'（x）＝0，可得x＝e. 则当0＜x＜1和1＜x＜e时， f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 故f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增. 通性通法 求函数y＝f（x）的单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导函数f'（x）； （3）解不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0），并写出解集； （4）结合函数f（x）的定义域，根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间. 角度2　含参数的函数求单调区间 【例4】　已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b.讨论f（x）的单调性. 解：f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a）， ①当a≤0时，令f'（x）＝0⇒x＝0， 且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ②当0＜a＜时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＜0， 且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ③当a＝时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在R上单调递增. ④当a＞时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＞0， 且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 通性通法 含参数的单调性问题解题步骤 【跟踪训练】 　设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间. 解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a. 若a≤0，则f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增. 若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0； 当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 题型三 已知函数的单调性求参数的范围 【例5】　若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是　[1，＋∞）　. 解析：由于f'（x）＝k－，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增可得f'（x）＝k－≥0在（1，＋∞）上恒成立，即k≥在（1，＋∞）上恒成立，又0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞）. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减，求k的取值范围. 解：∵f'（x）＝k－，且f（x）在（1，＋∞）上单调递减， ∴f'（x）＝k－≤0在（1，＋∞）上恒成立， 即k≤，∵0＜＜1，∴k≤0. 即k的取值范围为（－∞，0]. 2.（变条件，变设问）若本例中的函数“f（x）＝kx－ln x”换为“f（x）＝x2＋aln（x＋1）（a为常数）”.若函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围. 解：由题意知，f'（x）＝≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立. ∵y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4， ∴a≥－4. 经检验，当a＝－4时，f'（x）＝＝≥0，x∈[1，＋∞）. 故实数a的取值范围是[－4，＋∞）. 3.（变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的取值范围. 解：f（x）＝kx－ln x，f'（x）＝k－. 当k≤0时，f'（x）＜0. ∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不合题意. 当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝， 只需∈（1，＋∞），即＞1，则0＜k＜1. ∴k的取值范围是（0，1）. 通性通法 1.利用导数求参数范围的基本思路 （1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f'（x）≥0（或f'（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）先令f'（x）＞0（或f'（x）＜0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意. 2.恒成立问题的重要思路 （1）m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max； （2）m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min. 【跟踪训练】 　已知函数y＝x3－ax＋b. （1）若函数y在（1，＋∞）上是增函数，求a的取值范围； （2）若函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），求a的值. 解：y'＝3x2－a. （1）若函数y＝x3－ax＋b在（1，＋∞）上是增函数， 则y'＝3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立， 即a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，则a≤（3x2）min. 因为x＞1，所以3x2＞3， 所以a≤3，即a的取值范围是（－∞，3]. （2）令y'＞0，得x2＞. 若a≤0，则x2＞恒成立，即y'＞0恒成立， 此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符. 若a＞0，令y'＞0，得x＞或x＜－. 因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间， 所以＝1，即a＝3. 所以当a＝3时，函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间是（1，＋∞）. 1.设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） 解析：C　由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（1，4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当x∈（1，4）时，f'（x）＞0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋∞）时，f'（x）＜0，结合选项知选C. 2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：B　由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B. 3.函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是　　，单调递减区间是　　. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞.令f'（x）＜0得0＜x＜，故函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是. 4.已知函数f（x）＝x＋bln x在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取值范围是　（－2，0）　. 解析：f'（x）＝1＋＝，令g（x）＝x＋b（x＞0），则g（x）是增函数，故需g（0）＝b＜0，g（2）＝b＋2＞0，b＞－2，所以b∈（－2，0）. 5.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），则m＋n＝　－2　. 解析：由题知f'（x）＝x2＋2mx＋n，由于函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），所以x＝－3，x＝1是f'（x）＝x2＋2mx＋n的两个零点，根据一元二次方程根与系数的关系得解得所以m＋n＝－2. 　 1.函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为（　　） A.（0，） B. C.（，＋∞） D. 解析：D　由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x·ln x＋x2·＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）.令f'（x）＜0，得2ln x＋1＜0，解得0＜x＜，故函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为. 2.函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（　　） 解析：D　∵函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都是减函数，∴当x＞0时，f'（x）＜0；当x＜0时，f'（x）＜0.故选D. 3.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为（　　） A.（0，1） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－∞，1） D.（－∞，＋∞） 解析：A　∵y＝x2－ln x的定义域为（0，＋∞），∴y'＝x－，令y'＜0，即x－＜0，解得0＜x＜1.故选A. 4.若f（x）＝，e＜a＜b，则（　　） A.f（a）＞f（b） B.f（a）＝f（b） C.f（a）＜f（b） D.f（a）f（b）＞1 解析：A　由f'（x）＝＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋∞）上为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）. 5.已知f（x）＝2aln x＋x2，若∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是（　　） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（0，1） D.（0，1] 解析：B　任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f（x1）－4x1＜f（x2）－4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由题意知，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝f'（x）－4≥0，即＋2x－4≥0，所以a≥2x－x2，又2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）. 6.（多选）下列函数中，在（0，＋∞）内为增函数的是（　　） A.y＝sin x B.y＝xex C.y＝x3＋x D.y＝ln x－x 解析：BC　B项中，y＝xex，y'＝ex＋xex＝ex（1＋x），当x∈（0，＋∞）时，y'＞0，∴y＝xex在（0，＋∞）内为增函数；对于选项C，y'＝3x2＋1＞0，∴y＝x3＋x在（0，＋∞）内为增函数. 7.函数y＝的单调递减区间是　（－∞，0）和（0，1）　. 解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝＝，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是（－∞，0）和（0，1）. 8.已知函数f（x）＝x3－ax－1，若f（x）在（－1，1）上单调递减，则a的取值范围为　[3，＋∞）　. 解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在（－1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成立，故a≥3x2在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞）. 9.如图为函数f（x）的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式＜0的解集为　（－3，－1）∪（0，1）　. 解析：由题图知，当x∈（－∞，－3）∪（－1，1）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，－1）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0，故不等式＜0的解集为（－3，－1）∪（0，1）. 10.已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h'（x）的图象如图，f（x）＝6ln x＋h（x）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调区间. 解：（1）由已知，h'（x）＝2ax＋b， 其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点， 把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得 ∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8， ∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2. （2）∵f'（x）＝＋2x－8＝（x＞0）. ∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，1] （1，3] （3，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 ∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞）， f（x）的单调递减区间为（1，3]. 11.（多选）若函数exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的增函数是（　　） A.f（x）＝2－x B.f（x）＝3－x C.f（x）＝x3 D.f（x）＝x2＋2 解析：AD　对于A，exf（x）＝ex·2－x＝，在R上为增函数，故A符合要求； 对于B，exf（x）＝ex·3－x＝，在R上为减函数，故B不符合要求； 对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3＋3x2），显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求； 对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝ex·（x2＋2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D. 12.已知函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直.则实数a＝　1　；若函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围为　m≥0或m≤－3　. 解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所以a＋b＝4. ① f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b. 由条件f'（1）·＝－1，即3a＋2b＝9. ② 由①②解得a＝1，b＝3. f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，所以[m，m＋1]⊆（－∞，－2]∪[0，＋∞），所以m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或m≤－3. 13.已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＝－1时，证明：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2＞0. 解：（1）根据题意知，f'（x）＝（x＞0）， 当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）； 同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）； 当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间. （2）证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3， 所以f（1）＝－2， 由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1）， 即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0. 14.（多选）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f'（x）＜0，若a＝f（0），b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系正确的有（　　） A.b＞a B.c＞b C.b＞c D.c＞a 解析：AC　由f（x）＝f（2－x）得f（x＋1）＝f（1－x），则函数关于x＝1对称，当x＞1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＜0，函数单调递减；当x＜1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＞0，函数单调递增.又a＝f（0）＝f（2），b＝f＝f，c＝f（3），故b＞a＞c.故选A、C. 15.已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x，g（x）＝ex. （1）讨论y＝f（x）的单调性； （2）若函数F（x）＝f（x）·g（x）在[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围. 解：（1）y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝， 当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝， 当f'（x）＜0时，0＜x＜，当f'（x）＞0时，x＞， 则y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增. （2）F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex， 由题意知F'（x）＝·ex≥0在[1，＋∞）上恒成立， 所以ax－ln x－≥0在[1，＋∞）上恒成立. 令h（x）＝ax－ln x－，则至少有h（1）≥0⇒a－1≥0⇒a≥1（经检验a＝1符合题意）. 当a≥1时，有h'（x）＝a－＋＝. 令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝∈， 故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝a＞0， 所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增. 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $