第5章 数列 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦数列的数学运算与逻辑推理核心素养，通过等差等比数列基本运算、通项公式求法及求和等内容，以高考真题为导入，搭建函数思想与数列知识的学习支架，梳理前后知识脉络。 资料以“培优”为特色，融合方程思想、转化思想等教学方法，通过多解法例题（如例1两种方法解等比数列求和）培养数学思维与运算能力，例4证明等差数列体现逻辑推理，助力学生提升解题能力，为教师提供系统培优教学资源。

一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础. 在本章中，数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求和等问题中. 培优一 等差、等比数列的基本运算 1.在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d（或q），n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程（或方程组）求出另外2个量的值. 2.数列可以看作是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数.运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有着密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题. 【例1】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　C　） A.120　　　　　　　　　 B.85 C.－85 D.－120 （2）（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　95　. 解析：（1）法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C. 法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C. （2）法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列， 则由题意得解得 则S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋45×3＝95. 法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95. 培优二 数列通项公式的求法 1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目. 2.已知Sn求an：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列的通项公式an可用公式an＝求解. 3.由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 4.待定系数法（构造法）：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推公式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法. 【例2】　（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3， ∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1）， ∴bn＝， ∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝， ∴6d＋＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0， 即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝（舍去）. ∴an＝3n，n∈N*. （2）若{bn}为等差数列， 则b1＋b3＝2b2，即＋＝2·. 整理，得－3a1d＋2d2＝0. 解得a1＝d或a1＝2d. 当a1＝d时，an＝nd，bn＝＝， ∴S99－T99＝（d＋99d）－（＋）＝99. 整理，得50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1（舍去）. 当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝＝， ∴S99－T99＝（2d＋100d）－（＋）＝99. 整理，得51d2－d－50＝0， 解得d＝－或d＝1. ∵d＞1，∴此时无解. 综上可知，d＝. 培优三 数列求和 一般常见的求和方法有： （1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）； （2）分组求和法； （3）错位相减法； （4）倒序相加法； （5）裂项相消法（把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和）； （6）并项求和法（一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解）. 【例3】　（2023·全国甲卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1， 两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1， 即（n－1）an－1＝（n－2）an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）. 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. （2）法一　令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋， ① Tn＝＋＋…＋＋， ② 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， 即Tn＝2－. 法二　设bn＝， 所以bn＝＝＝（n＋0）×（）n－1，故a＝，b＝0，q＝. 故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2. 故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（）n＋2，整理得Tn＝2－. 二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质. 在本章中，逻辑推理主要体现在等差（比）数列的判断与证明及数学归纳法的应用问题中. 培优四 等差、等比数列的判断与证明 【例4】　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2可得，＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝（n≥2）. 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝ 培优五 数学归纳法 【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. （1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； （2）证明通项公式的正确性. 解：（1）当n＝1时，由已知得a1＝＋－1， 即＋2a1－2＝0.所以a1＝－1（a1＞0）. 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1， 将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0. 所以a2＝－（a2＞0）.同理可得a3＝－. 猜想an＝－（n∈N＋）. （2）证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立， 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 将ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0， 所以ak＋1＝－＝－，即n＝k＋1时公式也成立. 由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $