专题02 等差数列及前n项和十大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题02 等差数列及前n项和十大题型 题型一：等差数列的基本量求解 题型二：等差中项 题型三：等差数列的判定与证明 题型四：等差数列的性质 题型五：等差数列的前n项和性质 题型六：等差数列的实际应用及数学文化 题型七：利用前n项和求通项公式 题型八：等差数列前n项和的最值 题型九：等差数列前n项和的函数特征 题型十：含绝对值的等差数列前n项和 题型一：等差数列的基本量求解 1．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（多选）已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 5．已知等差数列的前项和为，且，则__________. 6．在等差数列中，，，记（），则数列的最大值为______. 题型二：等差中项 7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（   ） A． B．2 C．－2 D． 10．已知数列8，，，，是等差数列，则，，的值分别为________，________，________． 11．若成等差数列，则正数的值为______. 12．数列满足递推关系，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． 题型三：等差数列的判定与证明 13．已知等差数列；等差数列，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为的等差数列 D．公差为19的等差数列 14．（多选）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 15．在数列中，，是1与的等差中项．求证：数列是等差数列，并求的通项公式． 16．已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 17．已知在数列中，．证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式． 18．设为的单调递增数列，且满足，求数列的通项． 题型四：等差数列的性质 19．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 20．设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 21．已知数列是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 23．已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．7 B．14 C．2021 D．2028 题型五：等差数列的前n项和性质 25．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 26．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 27．等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 28．记等差数列的前项和为，则___________． 29．已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 30．等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 31．已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 题型六：等差数列的实际应用及数学文化 32．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 33．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 34．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 35．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 36．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，假设火箭垂直上升，并在到达离地面240km的高度时，与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________min． 37．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时注水，那么可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头注水的时间恰好是第1个水龙头注水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头注水的时间是多少？ 题型七：利用前n项和求通项公式 38．记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 39．（多选）设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C． D． 41．已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 42．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 43．已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 题型八：等差数列前n项和的最值 44．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 46．设等差数列的前n项和为，且，，则，，…，中最大的项为（    ）． A． B． C． D． 47．已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 48．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为_____. 49．设是等差数列的前项和，若，，则下列选项错误的是（   ） A． B．使成立的最大整数为15 C．当取得最大值时， D．中最小值为 题型九：等差数列前n项和的函数特征 50．（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 51．设等差数列，的前项和分别为，，若，则_____. 52．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 53．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 54．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则时取最小值 D．若，则使的的最小整数为14 55．（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．数列单调递减 B．当时，同时达到最大值 C． D．满足不等式的n的最大值为10 56．已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 题型十：含绝对值的等差数列前n项和 57．已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 58．已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 59．设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 60．数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 61．记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列及前n项和十大题型 题型一：等差数列的基本量求解 题型二：等差中项 题型三：等差数列的判定与证明 题型四：等差数列的性质 题型五：等差数列的前n项和性质 题型六：等差数列的实际应用及数学文化 题型七：利用前n项和求通项公式 题型八：等差数列前n项和的最值 题型九：等差数列前n项和的函数特征 题型十：含绝对值的等差数列前n项和 题型一：等差数列的基本量求解 1．等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由，则， 在等差数列中，. 2．设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 因为，即 所以，解得， 所以得，即 因为， 所以，整理得，解得或 因为，所以. 3．（多选）已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】在等差数列中，，解得，则公差， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，因此，D正确. 故选：BCD 4．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】因为是等差数列，且，设的公差为， 则有，整理得， 经验证，则成立， ， 则. 5．已知等差数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【详解】设等差数列公差为， 则， ， 因为， 所以. 6．在等差数列中，，，记（），则数列的最大值为______. 【答案】6160 【详解】设公差为，因为，，所以， 解得，则， 令，可得，解得， 则当时，，当时，， 而，，，，，， 则，，，，， 结合数列的正负情况可得，当时，恒成立， 则数列的最大值为. 题型二：等差中项 7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为为，的等差中项， 所以，即，显然， 所以，解得或． 8．若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为2是与的等差中项，所以， 又，，所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 9．已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（   ） A． B．2 C．－2 D． 【答案】B 【详解】因为，为方程的两根， 所以根据韦达定理得：， 由等差中项公式得：，. 故选：B 10．已知数列8，，，，是等差数列，则，，的值分别为________，________，________． 【答案】 5 【详解】因为8，，2，，是等差数列， 所以，解得. 11．若成等差数列，则正数的值为______. 【答案】 【详解】由题意可知，且， 则，则，得. 故答案为： 12．数列满足递推关系，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． 【答案】/ 【详解】由题， 依题意得成等差数列， ， 所以． 故答案为： 题型三：等差数列的判定与证明 13．已知等差数列；等差数列，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为的等差数列 D．公差为19的等差数列 【答案】D 【详解】因为等差数列公差为，等差数列公差为， 所以. 所以数列是公差为的等差数列； 故选：D. 14．（多选）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【详解】选项A，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故A正确； 选项B，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故C不正确 选项D，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故D正确． 故选：ABD 15．在数列中，，是1与的等差中项．求证：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】数列是等差数列；. 【详解】证明  是1与的等差中项，， ，，， ，数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，． 16．已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】数列中，由，得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 17．已知在数列中，．证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【详解】证明：由，可得， 则，所以， 即． 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 即，所以． 18．设为的单调递增数列，且满足，求数列的通项． 【答案】 【详解】因为为的单调递增数列，所以， 由，得， 即， 所以，故，即， 因此是首相为2，公差为2的等差数列，即， 从而可得． 题型四：等差数列的性质 19．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 20．设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，且其前项和为， 若存在唯一的最大值，则必有，， 根据题意可知，解得， 且，解得， 故，即，解得，故A不符合题意； 对于B选项，当时，，故B不符合题意； 对于C选项，当时，，故C符合题意； 对于D选项，当时，，故D不符合题意. 故选：C. 21．已知数列是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为为等差数列，所以，又， 所以，解得， 故选：B. 22．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【详解】由数列为等差数列，可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 23．已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 24．在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．7 B．14 C．2021 D．2028 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以， 所以， 当时，有最小值，此时数列为常数列， 所以等差数列的通项公式为：，故. 故选：A 题型五：等差数列的前n项和性质 25．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 26．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 27．等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】等差数列中， 由，可得， 由得， 两边用首项和公差表示，得， 化简可得，因为，所以， 故选：C 28．记等差数列的前项和为，则___________． 【答案】 【详解】记等差数列的公差为，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 29．已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 【答案】1 【详解】由，， 所以. 故答案为：. 30．等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【答案】 【详解】因为、均为等差数列，且其前项和分别是和，， 所以. 故答案为：. 31．已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 则，     ∴， ∴，     又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则，     又∵， ∴. 题型六：等差数列的实际应用及数学文化 32．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【详解】设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米． 由题意可知是等差数列，首项，公差， 所以， 令，解得，由于，则， ，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． 33．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】由题意，解得． 故选：C 34．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 35．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为， 则立冬到冬至晷长增加，冬至到雨水晷长减少4，设冬至的晷长为尺， 则，解得，则冬至所对的晷长为13.5尺. 故选：B. 36．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，假设火箭垂直上升，并在到达离地面240km的高度时，与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________min． 【答案】15 【详解】由题设条件知，火箭在第通过的路程构成以为首项，公差的等差数列， 所以内通过的路程为． 令，解得． 所以大约需要的时间是. 37．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时注水，那么可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头注水的时间恰好是第1个水龙头注水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头注水的时间是多少？ 【答案】 【详解】设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为， 由已知， 所以数列是等差数列，每个水龙头放水， 所以，即，即， 所以． 又因为，所以． 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是． 题型七：利用前n项和求通项公式 38．记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为为等差数列，其前项和是关于的没有常数项的二次函数， 由题意得，解得. 故， 由等差数列前项和公式得， 故，故. 39．（多选）设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令得，，解得，故A正确； 对于B和C，当时，，所以，化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，又因为是正项数列，所以． 当时，，所以，当时，，也满足条件，所以，故B错误，C正确； 对于D，因为，故D正确， 故选：ACD 40．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A，取，则，解得，即A正确； 对于选项B，由A可知，，则1，即B正确； 对于选项C，由B可知，因为，即C错误； 对于选项D，，所以， 又因为， 所以成立，即D正确. 故选：ABD. 41．已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 【答案】 【详解】因为数列的前项和公式为， 当时，， 当且时，， 满足. 故对任意的，. 故答案为：. 42．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 43．已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 题型八：等差数列前n项和的最值 44．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 45．已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】B 【详解】由，，得，则，所以， 由和得， 结合， ， 故使得的的最小值为4049. 故选：B 46．设等差数列的前n项和为，且，，则，，…，中最大的项为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，所以，， 所以，，则， 所以， 而由于，则， 从而最大． 47．已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 48．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为_____. 【答案】6 【详解】设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 49．设是等差数列的前项和，若，，则下列选项错误的是（   ） A． B．使成立的最大整数为15 C．当取得最大值时， D．中最小值为 【答案】B 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，由，且， 所以使得成立的最大整数为14，所以B错误； 对于C，在等差数列中，由且， 则当，时，可得；当，时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，因为，且，所以且，所以D正确． 故选：B． 题型九：等差数列前n项和的函数特征 50．（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 51．设等差数列，的前项和分别为，，若，则_____. 【答案】 【详解】由题意，可设，，， 则，， 所以. 故答案为：. 52．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及，， 可得，解得． 53．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 54．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则时取最小值 D．若，则使的的最小整数为14 【答案】AD 【详解】由可得，，故选项A正确； 因为， 若，不合题意， 若，则，则， 若，则，则，B选项错误； 若，则，则时取最小值，C选项错误； 若，则，， ，则当时，， 则使的的最小整数为14，D选项正确； 故选：AD 55．（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．数列单调递减 B．当时，同时达到最大值 C． D．满足不等式的n的最大值为10 【答案】ABC 【详解】对于A，设等差数列的公差为，由可得，即， 则，所以数列单调递减，故A正确； 对于B，由题意， 由，可得，则， 所以当或时同时达到最大值，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，因，则， 解得，则不等式的n的最大值为11．故D错误． 故选：ABC. 56．已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为为等差数列，且，，所以 ，解得，因为，所以，因为，所以，所以的最大值在处取得， ，所以若，则一元二次方程开口向上，无最大值，不符合题意，若，则一元二次函数的图像开口向下，最大值在对称轴处取得，，所以，解得. 故答案为：. 题型十：含绝对值的等差数列前n项和 57．已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 【答案】52 【详解】，当时，； 当时，满足上式；所以. 数列的前10项和为. 故答案为：52 58．已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. （2）由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 59．设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)36； (3)； 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 60．数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 又当时，满足， 故的通项公式为； （2）由（1）知，当时，；当时，； 所以当时，； 当时， ； 故 61．记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． （2）由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $