5.1.1 数列的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦数列的概念、分类、通项公式及与函数的关系，以毕达哥拉斯“形数”传说导入，通过三角形数、正方形数实例，衔接函数知识，构建从具体到抽象的学习支架，梳理知识脉络。 资料以数学抽象和数学运算为核心，通过“问题链”引导探究，如结合“形数”抽象数列概念，通过通项公式求项、单调性判断等题型训练运算能力。实例丰富，结构清晰，助力学生发展抽象思维，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

5.1.1　数列的概念 新课程标准解读 核心素养 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数 数学运算、数学抽象 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列. 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识点一　数列的概念及分类 1.数列的概念 2.数列的分类 类别 含义 有穷数列 　项数有限　的数列 无穷数列 　项数无限　的数列 【想一想】 1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？ 提示：不是. 2.一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷数列，还是无穷数列？ 提示：可以构成数列，且是无穷数列. 1.下列有关数列的说法正确的是（　　） A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列 C.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析：D　A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个集合；D是正确的. 2.数列，2，，3，…，则该数列的第6项是　2　. 解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为＝2. 知识点二　数列的通项公式 1.数列的通项及表示 因为数列从首项起，每一项都与　正整数　对应，所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第　n　项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），称为数列的通项，一般将整个数列简记为{an}. 2.数列的通项公式 如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用an＝f（n）来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 【想一想】 1.是否所有的数列都有通项公式？ 提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式. 2.如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？ 提示：an＝k. 3.若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？ 提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝或an＝cos（n－1）π. 1.数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝　20　. 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20. 2.若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第　5　项. 解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n， 令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3（舍去）. 知识点三　数列与函数 1.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 2.数列的分类 类别 定义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 【想一想】 1.数列的表示方法有哪些？ 提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法. 2.作出一个数列的图象，其图象有什么特点？ 提示：其图象是一些离散的点. 1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A.1，，，，… B.sin ，sin ，sin ，sin ，… C.－1，－，－，－，… D.1，2，3，4，…，30 解析：C　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列. 2.给出以下数列： ①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…； ④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810. 其中，有穷数列为　②④　；无穷数列为　①③　；递增数列为　②　；递减数列为　④　；常数列为　③　.（填序号） 题型一 数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 020，2 021，2 022，2 023，2 024，2 025； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是　①⑥　，无穷数列是　②③④⑤　，递增数列是　①⑤　，递减数列是　②　，常数列是　⑥　，摆动数列是　③④　.（填序号） 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列. 通性通法 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析，而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限. 【跟踪训练】 给出下列数列： ①2017～2024年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132，135； ②无穷多个构成数列， ， ， ，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，有穷数列是　①　，无穷数列是　②③　，递增数列是　①　，常数列是　②　，摆动数列是　③　.（填序号） 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列. 题型二 数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　（1）数列，，，，…的一个通项公式是　：an＝　； 解析：数列可写为，，，，…， 分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…， 分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，因此它的一个通项公式为an＝. （2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式： ①，，，，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，…. 解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， 因此数列的一个通项公式为an＝. ②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1， 因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）. ③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示. 因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝ 通性通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 （1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； （2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或（－1）n－1来调控； （3）熟悉一些常见数列的通项公式； （4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳. 【跟踪训练】 1.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为（　　） A.an＝（10n－1）　　　 B.an＝（10n－1） C.an＝ D.an＝（10n－1） 解析：C　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的.故通项公式为an＝. 2.如图，星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是（　　） A.an＝n2－n＋1 B.an＝ C.an＝ D.an＝ 解析：C　由图知前四项分别为1，3，6，10，…逐项验证可知C正确.故选C. 角度2　通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； （2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ 解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60. （2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. 因为∉N＋，－2∉N＋， 所以68不是该数列的项. 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，试探究数列{an}中有多少个负数项？ 解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 2.（变条件，变设问）若本例中的条件“an＝3n2－28n”变为“an＝＋2n”，问253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.所以253是这个数列的第121项. 假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项. 通性通法 求数列的项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. 【跟踪训练】 　已知两个数列的前5项如下： {an}：25，37，49，61，73，…； {bn}：1，4，9，16，25，…. （1）根据两个数列前5项的特征，分别写出它们的一个通项公式； （2）根据（1）的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项. 解：（1）an＝12n＋13，bn＝n2. （2）令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去）， 所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项. 题型三 数列单调性的判断及应用 【例4】　（1）已知函数f（x） ＝若数列{an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　） A.（1，3） B.（1，2] C.（2，3） D. （2）已知数列{an}的通项公式an＝（n∈N＋）， ①求证：0＜an＜1； ②判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. （1）解析：C　由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列，所以 当n≤10时，3－a＞0，即a＜3； 当n＞10时，a＞1. 且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9， 即a2＋10a－24＞0， 即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2. 综上可得a的取值范围为（2，3）. （2）解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝＜＜＝1，所以0＜an＜1. ②因为an＋1－an＝－ ＝＝. 又因为n∈N＋，且n≥1， 所以n＋≥，≥，－≤－. 故－＋≤－＋＝－1＜0， 所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列. 通性通法 1.判断数列{an}单调性的常用方法 （1）图象法：利用数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的单调性； （2）作差法：将an＋1－an与0进行比较； （3）作商法：将与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是an＞0）. 2.利用数列的单调性确定变量的取值范围 数列{an}递增⇔an＋1＞an（n∈N＋）； 数列{an}递减⇔an＋1＜an（n∈N＋）. 进而转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ满足（　　） A.λ＞0 B.λ＜0 C.λ≥－2 D.λ＞－3 解析：D　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性. 解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的. 　数列单调性的判断及应用 　已知函数f（x）＝，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中n∈N＋. （1）求证：0≤an＜1； （2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【问题探究】 函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质.数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判断某一项是否为已知数列中的项等问题时，都有重要的作用. 如何利用数列单调性定义去判断数列的单调性？ 提示：①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较. 若an＋1－an＞0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an＜0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是常数列. ②作商法：即作商（务必要确定an的符号）后与1进行比较. 对于任意n（n∈N＋），若an＞0，则当＞1时，数列{an}是递增数列；当＜1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an＜0，则当＜1时，数列{an}是递增数列；当＞1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an≠0，则当＝1时，数列{an}是常数列. 【迁移应用】 　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列{an}的单调性. 解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列. 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则＝＝·＞1. 又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. （注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小） 法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列. 1.有下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的； ④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式. 其中正确的是（　　） A.① B.①② C.③④ D.②④ 解析：A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误.故选A. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是（　　） A.2 B.40 C.56 D.90 解析：B　由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10是正整数，即90是{an}的项. 3.下列四个选项中，正确的是（　　） A.数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B.数列的图象是一群孤立的点 C.数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D.数列，，…，是递增数列 解析：B　对于A，当通项公式为an＝时，a1＝≠，不符合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及n∈N＋可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；对于D，数列，，…，是递减数列，故选项D错误.故选B. 4.已知数列{an}满足－an－3＝0，则数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析：A　由条件得－an＝3＞0，可知＞an，所以数列{an}是递增数列. 5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为（　　） A.212 B.200 C.186 D.162 解析：B　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200. 1.已知数列，，，…，，则0.96是该数列的（　　） A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项 解析：C　由＝0.96，解得n＝24. 2.数列{an}中，若an＝，则a4＝（　　） A. B. C.2 D.8 解析：B　因为数列{an}中，an＝，所以a4＝＝，故选B. 3.已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项之积是（　　） A. B.5 C.6 D. 解析：B　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 4.已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝（　　） A.70 B.28 C.20 D.8 解析：C　由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20. 5.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.数列a，a，a，…是无穷数列 B.数列{f（n）}就是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值 C.数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D.已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列 解析：ACD　A、D显然正确；对于B，因为数列{f（n）}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f（n），当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列. 6.（多选）满足下列条件的数列{an}（n∈N＋）是递增数列的为（　　） A.an＝ B.an＝n2＋n C.an＝1－2n D.an＝2n＋1 解析：BD　A项，因为an＋1－an＝－＝－＜0，所以是递减数列；B项，因为an＋1－an＝－（n2＋n）＝2n＋2＞0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－2（n＋1）]－（1－2n）＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋1）＝2n＞0，所以是递增数列.故选B、D. 7.数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为　an＝　. 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ 8.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为　9　. 解析：由an＝19－2n＞0，得n＜.又因为n∈N＋，所以n≤9. 9.如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为　an＝3n－1　. 解析：设第n幅图中着色的三角形个数为an，由图形可得a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，据此可归纳得出该数列的一个通项公式为an＝3n－1. 10.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： （1）an＝（－1）n＋2； （2）an＝. 解：（1）a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. （2）a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 11.设函数f（x）＝an＝f（n）（n∈N＋），若数列{an}是单调递减数列，则实数k的取值范围为（　　） A.（－∞，2） B. C. D. 解析：C　因为数列{an}是单调递减数列，所以只需k－2＜0且a1＞a2，即k＜2且k＜，故实数k的取值范围为. 12.已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为　1－　. 解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 13.已知在数列{an}中，an＝1＋（n∈N＋，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围. 解：（1）∵an＝1＋（n∈N＋，a∈R且a≠0），a＝－7， ∴an＝1＋.结合函数f（x）＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. （2）an＝1＋＝1＋. 由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋的单调性可得5＜＜6，∴－10＜a＜－8. 即实数a的取值范围为（－10，－8）. 14.对任意的a1∈（0，1），由关系式＝f（an）得到的数列满足＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象是（　　） 解析：A　据题意，由关系式＝f（an）得到的数列{an}满足＞an（n∈N＋），即该函数y＝f（x）的图象上任一点（x，y）都满足y＞x，结合图象，只有A满足，故选A. 15.已知函数f（x）＝（x≥1），构造数列an＝f（n）（n∈N＋）. （1）求证：an＞－2； （2）数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：（1）证明：因为f（x）＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋.因为n∈N＋，所以an＞－2. （2）数列{an}为递减数列. 因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $