第5章 5.1.1 第2课时 数列与函数的关系-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第2课时　数列与函数的关系 ［学习目标］　1.理解数列与函数的关系.2.会判断数列的单调性.3.会求数列的最大(小)项. 导语　 若数列{an}的通项公式为an=n+3，函数f(x)的解析式为f(x)=x+3，观察两个式子的结构，数列和函数是不是有一定联系？如果把数列看作特殊的函数，那么数列的定义域、单调性、最值等性质，又应该怎么研究呢？是不是和函数类似呢？这节课我们就来学习数列与函数的关系. 一、数列与函数的关系 问题1　已知函数f(x)=x2-1，当x=1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象. 提示　对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列.数列的图象如图所示. 知识梳理　 事实上，数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示. 注意点： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或它的有限子集)为定义域的函数表达式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示.数列的图象是一列孤立的点，点的横坐标都是正整数. 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列定义域一定为正整数集 B.数列的图象可以是连续的曲线 C.数列的图象只能是离散的点 D.数列在y轴左侧没有图象 答案　CD 解析　数列定义域为正整数集或其子集，可知答案为CD. 反思感悟　在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N+(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性. 跟踪训练1　对任意的an∈(0，1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+)，则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 答案　A 解析　根据题意知，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an，即该函数y=f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足. 二、数列的单调性 问题2　函数单调性可以用单调性的定义来判断，若数列{an}满足an+1-an>0，∀n∈N+都成立，那么数列{an}是递增数列吗？ 提示　是. 知识梳理　 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列). 注意点： (1)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an+1与an的大小来判断，即 ①若数列{an}满足an<an+1，则是递增数列. ②若数列{an}满足an>an+1，则是递减数列. ③若数列{an}满足an=an+1，则是常数列. ④若数列{an}中，an+1与an的大小关系不确定，则是摆动数列. (2)函数y=f(x)为增函数，则其对应的数列为递增数列；函数y=f(x)为减函数，则其对应的数列为递减数列，但是，数列an=f(n)为递增数列，其对应的函数不一定是增函数. 例2　已知数列{an}的通项an=，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？ 解　∵an=，∴an+1==. 方法一　an+1-an=- ==， ∵n∈N+，∴an+1-an>0，即an+1>an， ∴数列{an}为递增数列. 方法二　∵n∈N+，∴an>0. ∵====1+>1，∴an+1>an， ∴数列{an}为递增数列. 方法三　令f(x)=(x≥1)，则 f(x)==， ∴函数f(x)在［1，+∞)上是增函数， ∴数列{an}是递增数列. 反思感悟　(1)判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小，若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an+1<an恒成立，则{an}为递减数列. (2)用作差法判断数列增减性的步骤为①作差；②变形；③定号；④结论. 跟踪训练2　已知函数f(x)=(x≥1)，构造数列an=f(n)(n∈N+). (1)求证：an>-2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (1)证明　由已知得，an=(n∈N+). ∴an=-=-2+. ∵n≥1，n∈N+，∴>0，∴an>-2. (2)解　由an=-2+，得an+1=-2+， ∴an+1-an=-=. ∵n≥1，且n∈N+， ∴<0， 即an+1<an，所以数列{an}是递减数列. 三、数列的最大(小)项 例3　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·，数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解　方法一　an+1-an =(n+2)-(n+1)=×，则 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an， ∴a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…， ∴该数列中有最大项，为第9项，第10项，且a9=a10=10×. 方法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N+，∴n=9或n=10. ∴该数列中有最大项，为第9项，第10项， 即a9=a10=10×. 反思感悟　(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件. (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 解　(1)由n2-5n+4<0，解得1<n<4. ∵n∈N+，∴n=2，3.∴数列中有两项是负数. (2)方法一　∵{an}的相应函数为f(x)=x2-5x+4=-，可知对称轴方程为x==2.5. 又∵n∈N+，∴当n=2或3时，an有最小值，且a2=a3，其最小值为22-5×2+4=-2. 方法二　设第n项最小，由得 解得2≤n≤3， 又∵n∈N+， ∴n=2或3. ∴a2=a3且最小. ∴当n=2或3时，an有最小值，且最小值为a2=a3=22-5×2+4=-2. 1.知识清单： (1)数列与函数的关系. (2)数列的单调性. (3)数列的最大(小)项. 2.方法归纳：作差法、作商法、不等式组法. 3.常见误区：忽视数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}. 1.已知an+1-an-3=0，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 答案　A 解析　由an+1-an-3=0，得an+1-an=3>0，所以数列{an}是递增数列. 2.下列数列中，为递减数列的是(　　) A.1，2，22，23，…，263 B.1，0.5，0.52，0.53，… C.0，10，20，30，…，1 000 D.-1，1，-1，1，-1，… 答案　B 解析　A，C为递增数列，D为摆动数列，B为递减数列. 3.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项是(　　) A.a10 B.a9 C.a7 D.a5 答案　D 解析　an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36，当n=5时，an有最大值. 4.在数列{an}中，an=n(n-8)-20，n∈N+，则该数列从第　　　　项开始递增，该数列最小项的值为　　　　.  答案　4　-36 解析　因为an+1-an=2n-7，所以当an+1-an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36，根据二次函数的性质知，当n=4时，an取得最小值-36， 即这个数列有最小项，最小项的值为-36. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1，，，，… B.sin ，sin ，sin ，sin ，… C.-1，-，-，-，… D.1，2，3，4，…，30 答案　C 解析　A是无穷递减数列；B是无穷数列，但不是递增数列；D是有穷递增数列. 2.在数列{an}中，an=，则{an}(　　) A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 答案　D 解析　在数列{an}中，an==1+，故{an}是递减数列. 3.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　) A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1 C.an= D.an=(-1)n 答案　AC 解析　可以通过画数列的图象一一判断.由图象(图略)可知，B中数列有增有减；D中数列是摆动数列；A和C中数列均为递减数列. 4.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 答案　A 解析　根据定义，可得x2=f(x1)=1，x3=f(x2)=5，x4=f(x3)=2，x5=f(x4)=1，x6=f(x5)=5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 024=x2=1. 5.(多选)已知数列{an}中，an=n2-kn(n∈N+)，且{an}是递增数列，则k的值可取(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　AB 解析　∵an=n2-kn， ∴an+1=(n+1)2-k(n+1)， ∴an+1-an=2n+1-k， ∵数列{an}是递增数列， ∴an+1-an>0，即2n+1-k>0对∀n∈N+都成立， ∴k<2n+1，n∈N+， ∴k<3，结合选项可知选A，B. 6.(多选)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，以下说法正确的是(　　) A.该数列有无限多个正数项 B.该数列有无限多个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 答案　BD 解析　令-2n2+13n>0，解得0<n<，故数列{an}有6个正数项，无限多个负数项，故A错误，B正确；当n=3时，数列{an}取得最大值，而当x=3.25时，函数f(x)取得最大值，故C错误；令-2n2+13n=-70，得n=10或n=-(舍去)，即-70是该数列的第10项，故D正确. 7.(5分)数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50，则数列中的最小项的值是　　　　.  答案　38 解析　数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50=+， 因为n∈N+，所以当n=3或n=4时，an最小，此时a3=a4=38， 则数列中的最小项的值是38. 8.(5分)已知函数f(x)=x2，定义数列{an}如下：an+1=f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an+1>an，则a1的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，-1)∪(1，+∞) 解析　由题意，知an+1=f(an)>0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数.∵an+1>an， ∴>an，当n=2时，>a2，解得a2>1， ∴a2=>1，解得a1<-1或a1>1. 9.(10分)已知函数f(x)=x-，数列{an}满足f(an)=-2n，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列.(6分) 解　(1)因为f(x)=x-，f(an)=-2n， 所以an-=-2n，即+2nan-1=0， 解得an=-n±，因为an>0， 所以an=-n. (2)方法一　(作差法) 因为an+1-an =-(n+1)-(-n) =--1 =-1 =-1， 又>n+1，>n， 所以<1. 所以an+1-an<0，即an+1<an. 所以数列{an}是递减数列. 方法二　(作商法) 因为an>0， 所以= =<1. 所以an+1<an.所以数列{an}是递减数列. 10.(10分)已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，求数列{an}中的最大项. 解　由已知，得an=-2n2+29n+3=-2+108.由于n∈N+，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108. ∴数列{an}中的最大项为a7=108. 11.已知数列{an}的通项公式为an=，则该数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　A 解析　∵an+1-an=- = =， ∴由n∈N+，得an+1-an>0，即an+1>an. ∴数列{an}是递增数列. 12.若数列的通项公式为an=，则这个数列中的最大项是(　　) A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 答案　C 解析　an==， 因为 n+≥2=28，当且仅当n=14时， n+有最小值28， 所以当n=14时，取得最大值. 13.(5分)已知数列{an}为递增数列，an=n2-λn+3，则λ的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，3) 解析　因为数列{an}是递增数列，所以an+1>an，所以(n+1)2-λ(n+1)+3>n2-λn+3，化为λ<2n+1恒成立，因为n∈N+，则2n+1≥3，所以λ<3. 14.(5分)设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且=an+(2-an-1)(n≥2，n∈N+)，当P，A，B三点共线时，数列{an}为 　　　　数列(填“递增”“递减”“常数”或“摆动”).  答案　递减 解析　因为=an+(2-an-1)(n≥2，n∈N+)，若P，A，B三点共线，则an+2-an-1=1， 即an-an-1=-1<0(n≥2，n∈N+)， 所以{an}是递减数列. 15.对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak<ak-1，ak<ak+1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an=，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A.2 B.7 C.2，7 D.2，3，7 答案　C 解析　因为an=，所以a1=2，a2=，a3=2，a4=，a5=，a6=，a7=，a8=，当n≥7，n∈N+时，n+-8>0，an==n+-8，此时数列{an}递增，不存在“谷值”.因为a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2，7. 16.(12分)已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+. (1)求证：该数列是递增数列；(6分) (2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由.(6分) (1)证明　∵an=====1-， ∴an+1-an=- ==>0，n∈N+， ∴{an}是递增数列. (2)解　令<an=<，∴ ∴<n<， ∵n∈N+，∴n=2， 故区间内有数列中的项，且只有一项为a2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 数列与函数的关系 第2课时 1.理解数列与函数的关系. 2.会判断数列的单调性. 3.会求数列的最大(小)项. 学习目标 若数列{an}的通项公式为an=n+3，函数f(x)的解析式为f(x)=x+3，观察两个式子的结构，数列和函数是不是有一定联系？如果把数列看作特殊的函数，那么数列的定义域、单调性、最值等性质，又应该怎么研究呢？是不是和函数类似呢？这节课我们就来学习数列与函数的关系. 导 语 一、数列与函数的关系 二、数列的单调性 课时对点练 三、数列的最大(小)项 随堂演练 内容索引 数列与函数的关系 一 已知函数f(x)=x2-1，当x=1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象. 问题1 提示　对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列.数列的图象如图所示. 事实上，数列{an}可以看成定义域为 的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 .这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示. 正整数集 正整数值 解析式 点 知识梳理 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或它的有限子集)为定义域的函数表达式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示.数列的图象是一列孤立的点，点的横坐标都是正整数. 注 意 点 <<< 8 (多选)下列说法正确的是 A.数列定义域一定为正整数集 B.数列的图象可以是连续的曲线 C.数列的图象只能是离散的点 D.数列在y轴左侧没有图象 例 1 √ √ 数列定义域为正整数集或其子集，可知答案为CD. 9 在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N+(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性. 反 思 感 悟 10 　对任意的an∈(0，1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+)，则函数y=f(x)的图象可能是 跟踪训练 1 √ 根据题意知，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an，即该函数y=f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足. 11 二 数列的单调性 函数单调性可以用单调性的定义来判断，若数列{an}满足an+1-an>0，∀n∈N+都成立，那么数列{an}是递增数列吗？ 问题2 提示　是. 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为 数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为 数列；各项都相等的数列称为_____数列(简称为 ). 递增 递减 常数 常数列 知识梳理 (1)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an+1与an的大小来判断，即 ①若数列{an}满足an<an+1，则是递增数列. ②若数列{an}满足an>an+1，则是递减数列. ③若数列{an}满足an=an+1，则是常数列. ④若数列{an}中，an+1与an的大小关系不确定，则是摆动数列. (2)函数y=f(x)为增函数，则其对应的数列为递增数列；函数y=f(x)为减函数，则其对应的数列为递减数列，但是，数列an=f(n)为递增数列，其对应的函数不一定是增函数. 注 意 点 <<< 15 　已知数列{an}的通项an=，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？ 例 2 16 ∵an=，∴an+1==. 方法一　an+1-an=- ==， ∵n∈N+，∴an+1-an>0，即an+1>an， ∴数列{an}为递增数列. 17 方法二　∵n∈N+，∴an>0. ∵====1+>1，∴an+1>an， ∴数列{an}为递增数列. 方法三　令f(x)=(x≥1)，则 f(x)==， ∴函数f(x)在[1，+∞)上是增函数， ∴数列{an}是递增数列. 18 (1)判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小，若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an+1<an恒成立，则{an}为递减数列. (2)用作差法判断数列增减性的步骤为①作差；②变形；③定号；④结论. 反 思 感 悟 19 已知函数f(x)=(x≥1)，构造数列an=f(n)(n∈N+). (1)求证：an>-2； 跟踪训练 2 由已知得，an=(n∈N+). ∴an=-=-2+. ∵n≥1，n∈N+，∴>0，∴an>-2. 20 (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 由an=-2+，得an+1=-2+， ∴an+1-an=-=. ∵n≥1，且n∈N+， ∴<0， 即an+1<an，所以数列{an}是递减数列. 21 数列的最大(小)项 三 　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·，数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 例 3 23 方法一　an+1-an =(n+2)-(n+1)=×，则 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an， ∴a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…， ∴该数列中有最大项，为第9项，第10项，且a9=a10=10×. 24 方法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N+，∴n=9或n=10. ∴该数列中有最大项，为第9项，第10项， 即a9=a10=10×. 25 (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件. (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项. 反 思 感 悟 26 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？ 跟踪训练 3 由n2-5n+4<0，解得1<n<4. ∵n∈N+，∴n=2，3.∴数列中有两项是负数. 27 (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 28 方法一　∵{an}的相应函数为f(x)=x2-5x+4=-，可知对称轴方程为x==2.5. 又∵n∈N+，∴当n=2或3时，an有最小值，且a2=a3，其最小值为22-5×2+4=-2. 29 方法二　设第n项最小，由 得 解得2≤n≤3， 又∵n∈N+， ∴n=2或3. ∴a2=a3且最小. ∴当n=2或3时，an有最小值，且最小值为a2=a3=22-5×2+4=-2. 30 1.知识清单： (1)数列与函数的关系. (2)数列的单调性. (3)数列的最大(小)项. 2.方法归纳：作差法、作商法、不等式组法. 3.常见误区：忽视数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知an+1-an-3=0，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 √ 由an+1-an-3=0，得an+1-an=3>0，所以数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 2.下列数列中，为递减数列的是 A.1，2，22，23，…，263 B.1，0.5，0.52，0.53，… C.0，10，20，30，…，1 000 D.-1，1，-1，1，-1，… √ A，C为递增数列，D为摆动数列，B为递减数列. 3.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项是 A.a10 B.a9 C.a7 D.a5 1 2 3 4 an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36，当n=5时，an有最大值. √ 1 2 3 4 4.在数列{an}中，an=n(n-8)-20，n∈N+，则该数列从第　　项开始递增，该数列最小项的值为　　. 因为an+1-an=2n-7，所以当an+1-an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36，根据二次函数的性质知，当n=4时，an取得最小值-36， 即这个数列有最小项，最小项的值为-36. 4 -36 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 A.1，，，，… B.sin ，sin ，sin ，sin ，… C.-1，-，-，-，… D.1，2，3，4，…，30 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A是无穷递减数列； B是无穷数列，但不是递增数列； D是有穷递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在数列{an}中，an=，则{an} A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 在数列{an}中，an==1+，故{an}是递减数列. √ 3.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1 C.an= D.an=(-1)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可以通过画数列的图象一一判断.由图象(图略)可知，B中数列有增有减； D中数列是摆动数列； A和C中数列均为递减数列. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024等于 x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5 √ 根据定义，可得x2=f(x1)=1，x3=f(x2)=5，x4=f(x3)=2，x5=f(x4)=1，x6=f(x5)=5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 024=x2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知数列{an}中，an=n2-kn(n∈N+)，且{an}是递增数列，则k的值可取 A.1 B.2 C.3 D.4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=n2-kn， ∴an+1=(n+1)2-k(n+1)， ∴an+1-an=2n+1-k， ∵数列{an}是递增数列， ∴an+1-an>0，即2n+1-k>0对∀n∈N+都成立， ∴k<2n+1，n∈N+， ∴k<3，结合选项可知选A，B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，以下说法正确的是 A.该数列有无限多个正数项 B.该数列有无限多个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令-2n2+13n>0，解得0<n<，故数列{an}有6个正数项，无限多个负数项，故A错误，B正确； 当n=3时，数列{an}取得最大值，而当x=3.25时，函数f(x)取得最大值，故C错误； 令-2n2+13n=-70，得n=10或n=-(舍去)，即-70是该数列的第10项，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50，则数列中的最小项的值是　　.  38 数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50=+， 因为n∈N+，所以当n=3或n=4时，an最小，此时a3=a4=38， 则数列中的最小项的值是38. 8.已知函数f(x)=x2，定义数列{an}如下：an+1=f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an+1>an，则a1的取值范围是　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-∞，-1)∪(1，+∞) 由题意，知an+1=f(an)>0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数.∵an+1>an， ∴>an，当n=2时，>a2，解得a2>1， ∴a2=>1，解得a1<-1或a1>1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)=x-，数列{an}满足f(an)=-2n，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式； 因为f(x)=x-，f(an)=-2n， 所以an-=-2n，即+2nan-1=0， 解得an=-n±，因为an>0， 所以an=-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(作差法) 因为an+1-an =-(n+1)-(-n) =--1 =-1 =-1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又>n+1，>n， 所以<1. 所以an+1-an<0，即an+1<an. 所以数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(作商法) 因为an>0， 所以= =<1. 所以an+1<an.所以数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，求数列{an}中的最大项. 由已知，得an=-2n2+29n+3=-2+108.由于n∈N+，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108. ∴数列{an}中的最大项为a7=108. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知数列{an}的通项公式为an=，则该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1-an=- = =， ∴由n∈N+，得an+1-an>0，即an+1>an. ∴数列{an}是递增数列. 12.若数列的通项公式为an=，则这个数列中的最大项是 A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an==， 因为 n+≥2=28，当且仅当n=14时， n+有最小值28， 所以当n=14时，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}为递增数列，an=n2-λn+3，则λ的取值范围是　　　　.  因为数列{an}是递增数列，所以an+1>an，所以(n+1)2-λ(n+1)+3>n2-λn+3，化为λ<2n+1恒成立，因为n∈N+，则2n+1≥3，所以λ<3. (-∞，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且=an+(2-an-1) (n≥2，n∈N+)，当P，A，B三点共线时，数列{an}为　　　数列(填“递增”“递减”“常数”或“摆动”).  递减 因为=an+(2-an-1)(n≥2，n∈N+)，若P，A，B三点共线，则an+2-an-1=1， 即an-an-1=-1<0(n≥2，n∈N+)， 所以{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak<ak-1，ak<ak+1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an=，则数列{an}的“谷值点”为 A.2 B.7 C.2，7 D.2，3，7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an=，所以a1=2，a2=，a3=2，a4=，a5=，a6=，a7=，a8=，当n≥7，n∈N+时，n+-8>0，an==n+-8，此时数列{an}递增，不存在“谷值”.因为a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2，7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+. (1)求证：该数列是递增数列； ∵an=====1-， ∴an+1-an=- ==>0，n∈N+， ∴{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由. 令<an=<，∴ ∴<n<， ∵n∈N+，∴n=2， 故区间内有数列中的项，且只有一项为a2=. 第五章 <<< $$