辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三上学期复习周考滚动卷数学试题（二）

2025一2026学年度高三复习滚动卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 将 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线x一√3y=0上，则角 a的取值集合是 A{aa=君+2x∈z到 B{ele-+kπ，a∈2 C.ala-5后+2kx,k∈Z D.{aa=5+e,k∈z 杯 若告=2+，则：的度部为 2. A.-5 B.√5i C.一5 D.5 3.若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P,且点 P的纵坐标为，则cos2a的值为 1 B. c 8 A. 3 D. 4.已知等比数列(a,)的公比不为1，若3a1,a2,-ag成等差数列，则十a10= a7+a8 篇 A.-3 B.1 C.9 D.18 5.如图，在正六边形ABCDEF中，若AC=a,AE=b,则CD= A、2 1 a+ 3 B.- 11 3a+b 3 C、2 2 3a+ -b 2 3a+3b 数学·滚动卷（二）1/4页 E 6.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历 代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度MN,在黄鹤楼的正东方向 找到一座建筑物AB,高约为26，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部 A,黄鹤楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则黄鹤楼的 高度约为 150.-℃-> A 45入30° C A.52m B.53m C.54m D.55m 7已知数列{a.)满足a+1十a.a1=3a,且a:=8则使不等式+++<101成 9 al a2 an 立的n的最大值为 A.499 B.500 C.501 D.502 8.如图，在△ABC中，点D满足2CD=DB,点O是AD的中点过点0的直线与边AB,AC 分别交于点E,F,设A它=入AB,A京=μAC(A>0,>0),则2λ十3μ的最小值为 E B A.1+3 B.1+23 C.4+3 4+2√3 D. 3 3 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知之= 2一3则下列说法正确的是 5-i A.2的虚部是i B.之之=|z|2 D.若复数w满足|w|=1,则|w一之|的最大值为√2十1 10.已知a,b均为正数，且ab=a+b+号，则 A.a+b≥5 B.a+b≤1 C.ab≥7 D当>2时，后< 数学·滚动卷（二）2/4页 3 1l.定义无穷数列{an},若存在正整数k(k≥2)，使得对任意n∈N*,均有am+>am,则称{am) 是“间隔递增数列”，是{am}的“间隔数”，则下列结论正确的是 A.公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B.若am=3n十（一1）”，则{an)是“间隔递增数列” C.若an=n+2r (r∈N·,r≥2)，则{an}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为2r D.已知am=n2十tn十2025，若{a,}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则一4< t≤-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,0),b-(sme,),若向量b在a上的投影向量c=(分，0)，则向量a+5 与a一2b夹角的余弦值为 13.已知tan atan9=2,os(a+8)=-司 ,则cos(a一B)的值为 14.随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷.某公司生产的某批大模型产品的销售量P （单位：万件（生产量与销售量相等）与促销费用x(单位：万元)满足P-牛（其中2< x≤6).已知生产该批大模型产品还需投入成本6(P十)万元（不包含促销费用），大模型 产品的销售价格定为4+20)元/件，当该公司的利润最大时，促销费用成投人 万元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知递增数列{an}满足a1=1,点(am,am+1)在函数f(x)=4x十9的图象上. (1)证明：数列{1og2(an十3)}是等差数列； am十3 (2)若6.(a十ai+④求数列b.}的前n项和T… 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2c·cosB=√2a十b. (1)求C; 2)若c=2而，如B-5,D为BC的中点，求线段AD的长度 数学·滚动卷（二）3/4页 的 17.(15分) 已知向量a=(cosx十sinx,2s1nx),b=(cosx一sinx,W3cosx),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的解析式及对称中心； （②者侣+》-名且a<求0“a产的位： 1-tan a (3)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=√3，f(B)=1,求△ABC 面积的取值范围. 18.(17分) 如图，在矩形ABCD中，P,Q分别是边DC,BC上的两点，AB=3,AD=2. D (1)设DP=入DC,CQ=入CB,0≤入≤1，求AP·AQ的取值范围； (2)若∠PAQ=,求A庐·AQ的最小值； (3)若D时-P心，连接AP交BC的延长线于点T,Q为BC的中点，试探究线段AB上是 否存在一点H,使得∠THQ最大.若存在，求出BH的长；若不存在，说明理由. 19.(17分) 在数列{an}中，a1=4,且am十4=3am+1 (1)求{am}的通项公式； (2)设5，为1a,)的前0项和，求满足不等式S。一2n-3引<22的最小正整数n的值， (3)设6=(m-3)2+3,6=(2m-1a(台)（色号），其中A>0,若对任意m,n∈N, 总有6。-6。>成立，求入的取值范固。 数学·滚动卷（二）4/4页高三复习滚动卷 ·B· 2025一2026学年度高三复习滚动卷（二）】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 6 9 10 11 答案 0 C B C D A B D BD AD BC 一、选择题 Ad,即ci-号(b-a)+言(b+a)= ①D【解标】x-3y=0可化为y三x,因 为角。的终边在直线y= 3x上，所以当a 为第一象限角时，a=音+2kx(k∈Z:当a 为第三象限角时8-石+2kx=音+(2十 6 1)π(k∈Z).综上，角&的取值集合是{aa= 6.A【解析】在Rt△ABC中，AC= AB 否+km,∈Z, sin/ACB=52m,在△MAC中，可知 ∠MCA=180°-(30°+45)=105°， 2.C【解析】因为12+i=5,所以十： 1-i ∠MAC=45°，∠AMC=180°-(105°+ √5，则1+x=√5(1一i)=√5-5i,即之= 45)=30°，由正弦定理 AC sinZAMC √5一1一√5i,所以之的虚部为一√5. MC 3B【解析】由题意知sina=子，故cos2a= SinZMAC,可得MC=ACsine∠MAC- sin∠AMC 1-2sin2a=0、 =52√2(m),在Rt△MNC中， 4.C【解析】设{am〉的公比为q,则依题意 有2a2=3a1-a3,得q2+2g-3=0,解得 MW=MCsin∠MCN=52V2X3 g=-3或g=1(舍去)，所以+a10= a7+a8 52(m),所以黄鹤楼的高度约为52m. u19+a,92-490+92=g=9. a1g5+a1g7a1q5(1+q) 3【解析】由a4十4a,a+1=3an,a2 5.D【解析】如图，连接AD,EC交于点O,设 AB=2,有OD=1,A0=3,则CD=C0+ 可得a:十a1a:=3a1,得a1=号，易知0，≠ od=2龙+4Ai=2A-AC)+是× 0,两边同时除以aa+1,可得4十1=3 an an+l 子(E+AC)=2(AE-AC)+合（正+ 整理得。一-2-3.-2)所以侣-2是 6 ·数学· 答案与解析 以-2=号为首项，日为公比的等比数列， (5-iD(2+3D=13+13i=1+i,其虚部为 (2-3i)(2+3i) 13 则-2=()=2（付》做品-2+ 1,故A错误；因为之乏=(1+i)(1一i)=2, 12=(√1+(-1))2=2，所以之乏= -2+… --1, ,故B正确； 是== 1-3 (1-i)2 (1+iD(-D=-i,故C错误：若复数0满 ()脚（日+是++）-2m=1 足|w|=1,则|w一之|表示单位圆上的点到 (分做品+++2+1-（广 定点(1,1)的距离，由点(1,1)到原点的距离 为√2，得|w一x|的最大值为√2+1，故 易知fm)=2m+1-(兮)广(n∈N)单调递 D正确， 10.AD【解析】对于A,由a>0,b>0, 增，f(500)=1001- 3<1001< a0=a+6+号<at》,即a+br- f(501)=1003 350,所以nx=50. 1 4(a+b)一5≥0，所以[(a+b)-5][(a+ 8.D【解析】因为2CD=DB,所以AD= b)+1]≥0，可得a+b≥5，当且仅当a= 号店+号A花，又因为A花=XA店，A b=号时等号成立，故A正确，B错误；对于 AC(A>0,>0),所以A店=是AE,AC- c,由ab=a+b+≥2va历+号，即4ab- 8√ab-5=(2√ab-5)(2√ab+1)≥0，所 1A京，因为点0是AD的中点，所以2可= 以，历≥号，即6≥5当且仅当u=6= 最花+品所以a0=成正+，又 因为0，E,P三点共线，所以京十 时等号成立，故C错误：对于D号 1=1,所 65 以2+3=(2+)+动)=+1+ 公-石令6+号=m,则m>1只分 4’b 会+会修8仅绘-会 6+ m 3 b2-b =3时以+原到爱小 --(m-】 9 1 m+457, 又 值4+23 16m2 3 二、选择题 fm)=m+在m∈（停+o)上单调 9.BD【解析】因为之= 5-i 2-3i 递蜡，所以了(m)>兴所以号<号故 高三复习滚动卷 ·B· D正确. t<k,且存在k≤2使一2一t≥k成立， 11.BC【解析】对于A,设等比数列{an}的公 故2≤一2一t<3,即一5<t≤一4，故 比为q(g>1),则an+6一am=a1g"+-1 D错误. aq"-1=a1q"-1(g-1),其中g*>1,则 三、填空题 q"-1(g-1)>0.若a,<0,则am+6一am< 分 0,即am+k<am,不符合定义，故A错误；对 12.【解析】因为向量6在a上的投影向 于B,a+b-am=[3(n十k)+(-1)"+]- (20)(si) [3m+(-1)]=3k+(-1)"[(-1)-1], 当n为奇数时，am+k一an=3k一（一1）十 1,因为-（一1）十1≥0，所以存在正整 0)=(sina,0,又c=(分0）小，则sina= 数k(k≥2)，使得对任意n∈N,均有 aw+>an,符合定义；同理，当n为偶数 号，故6=（日，号），所以a+6=(2,0)十 时，am+k一am=3k十（一1）*一1，则存在正 整数k(k≥2)，使得对任意n∈N·,均 (合9)=(3)a-2b=20y-(1. 有aw+>an,符合定义，故B正确；对于 √/3)=(1，一√3)，所以cos(a+b,a-2b〉= caw-a,-(a++)-(a+ (a+b)·(a-2b)_1=W7 1a+bla-2bT2√714 9）=a=[1-a= 2kr 2r 13.3 :【解析】因为tan atan B= 2+2L,令f(n)=n2+km-2r,则二 (n+k)n sin asin sin asin B-2cos acos cos acos B 次函数图象开口向上，对称轴x=一冬<0， ①，cos(a+B)=cos acos B-sin asin B= 所以f(n)在n∈N·时单调递增，令最小值 9 ②，由①+②得c0scos月=} 9 f(1)=1+k-2r>0,解得k>2r-1,又 2 k∈N",k≥2，r∈N',r≥2，故存在k≥2r 则sin asin=号，所以cos(a-P)= 时，am+k一am>0,符合定义，且“间隔数”最 cos acos B+sin asin B3 1 小为2r,故C正确；对于D,因为am=n2+ tn+2025是“间隔递增数列”，所以 14.2【解析】由题意知该公司的利润y=(4+ am+k一am=[(n+k)2十t(n+k)十 20000 2025]-(n2+tn+2025)=k(2n+k+ P)P-x-6(P+)=20000-2P t)>0,即k+2n十t>0对任意n∈N'成立. ,将P一 6 x一 《太空代入化简得y 设g(n)=k+2n+t,显然在n∈N·上递 增，故要使g（n)=k十2m十t>0,只需 19999- 3 24 2x x+2=20002- 3(x+2+ 2 g(1)=k+2十t>0,即一2-t<k,又“间隔 x十2]≤1990，当且仅当x=2时，取等号， 241 数”的最小值为3，故存在k≥3，使一2一 ·8 ·数学· 答案与解析 即当促销费用投入2万元时，该公司的利润 16.解：(1)由√2c·cosB=√2a十b及正弦定 最大 理，得√2 sin Ccos B=√2sinA+sinB= 四、解答题 √2sin(B+C)+sinB, (2分) 15.(1)证明：因为a11,所以当n=1时， 整理得√2 sin Bcos C+sinB=0,(3分) log2 (a+3)=log24=2, (1分) 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，(4分) 又因为点(am,am+1)在函数f(x)=4.x十9 的图象上， 故cosC=- 2, 所以aw+1=4an十9， (2分) 所以log2(am+1+3)-log2(am+3)= 又C∈(0，x),所以C=3π 4 (6分) logz (4a.12)-log2 (a +3)= (2)因为C=,所以B为锐角， 3π (7分) log2[4(am+3)]-log2(am+3)=log24=2. (4分) 因为sinB= 5 ,所以cosB= 所以数列{log2(am十3)}是首项为2，公差 为2的等差数列. (5分) 1-sin B2/5 (8分) (2)解：由(1)可知，log2(am十3)=2， 又sin∠BAC=sin(B+C)=sin Bcos C+ (6分) 所以am十3=22m=4”,am=4"一3，(7分) 所以b。= an+3 (an+4)(am+1十4) √10 10, (10分) 4 11 1 4+1)(4*1+D=340中+) 由正弦定理知，sinC一sinZBAC, a (9分) 所以Tn=b1+b2十b3+…十bn 所以BC=a csin∠BAC sin C =号(+中)+台(4 210x10 10 中)+()+…十 1 =22, (11分) √2 2 11 1 34“+14++1) 又D为BC的中点，所以BD=√2，(12分) 1 在△ABD中，由余弦定理知AD2=AB2十 1 BD2-2AB BDeos B=40+2-2X 11 1 43+1一41十i十…+4十1一4*分 2mx2×2 ≥26， (14分) 所以AD=√26. (15分) 17.解：(1)因为a=(cosx+sinx,2sinx), =) (13分) b=(cos x-sin z,3 cos x), ·9 高三复习滚动卷 ·B 所以f(x)=a·b=cos2x-sin2x+ (3)若f(B)=1,则2sin(2B+石）=1， 23 sin x cos x=cos 2x+3 sin 2x= 2sin(2x+） 可得sn(2B+吾）=合又B∈(0，x)所 即函数f(x)的解析式为f(x)= 以2B+后∈（后1）所以2B+后- 2sin(2x+晋)， (2分) 郁得B=青 (10分) 令2x+后=kx,k∈Z, 由正弦定理可得“。 b sin A-sin B-sin C- 解得x-督-是6∈五 及二2 所以函数f(x)的对称中心 (经- 2 0k∈z. (4分) 即a=2sinA,c=2sinC=2sin(A+3）, (2因为f(管+)=号所以2n(+ (11分) 1径+)=2sin(e+)=2sin(受+a+ 所以Sec=29 acsin B-/3sin Asin(A+ )-2aoe+)=号， sin2A- 即cos(e+)=号 (5分) 4c0s2A+3 4 5 所以osa-n&=32,即2 2sin= 即S△ABC=Y 4 (13分) sin 2a-25' (6分) 0<A<， 而在锐角三角形中，由 可 2 又由竖<<得<+<2，所 0 -A<, 以sine+）=-号an(e+爱)=-寺 得<A<受则<2A-音< 6 (14分) (7分) 又n2a+2sn'e-2sna(sma十cose）_ 所以合<sin(2A-若)≤1. 1-tan a 1-Sin a cos a -3v3 所以3<S△A≤ sin 2a(sin a+cos a) =sin 2a 1+tan a cos a-sin a 1-tan a 如an+）名×(-)=-器 所以△ABC面职的取值范图为（停，31 (15分) (9分) 18.解：(1)由DP=λDC,CQ=入CB,且AB= ·10· ·数学· 答案与解析 3,AD=2, 得|D1=A1DC1=3x,IC1= λ1CB1=2x,|BQ1=2-2λ， (2分) 所以AP·AQ=(AD+DP)·(AB+ BQ)=AD·AB+AD·BQ+DP·AB+ DP·BQ-0+2(2-2x)+3x×3+0= 5λ+4. (3分) 由0≤≤1，故A户.AQ∈[4,9]. (4分) B (2)如图所示，以A点为坐标原点，AB,AD 由题意可得P(1,2),Q(3,1),TC=2AD= 所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐 4,即T(3,6) (12分) 标系， 假设存在点H,使得∠THQ最大，由 ∠THQ∈[o,2),即有tan∠THQ最大， Q 设BH=a,当a=0时，角度为0，此时 ∠THQ不可能最大，故a≠0， (13分) 则tan∠THQ=tan(∠THB-∠QHB)= 设∠QAB=a∈[0，]，0≤ama≤号，则 TB QB tan∠THB-tan∠QHB BH BH Q3,3ana),P(2an(-a),2,(6分) 1+tan∠THBtan,∠QHB 1+品·器 则庐，Ad=6an(径-a）+6tana=6× BH(TB-QB) a(6-1) 5a BH+TB·QB a2+6×1a2+6 1-tan十6tana= 12 1+tan a 1+tan a +6tan a-6= 5 ≤5=56 a+62w6 12, (16分) 2 6（1十tana +tan a+1) -12≥ a 2 当且仅当a=。,即4=6时，等号成立， 12√1+tana ·(tana+1)-12=12√2- a 即AB上存在一点H,使得∠THQ最大， 12=12(2-1), (9分) 且此时BH=√6 (17分) 2 当且仅当1+tan -=tana+l,即tana= 19.解：(1)因为am十4=3am*1, √2一1时，等号成立 1 4 所以a+1=3a,+3 即AP.AQ的最小值为12(W2一1). 1 (10分) 所以a+1-2号(a.-2), (3分) (3)如图所示，以A点为坐标原点，AB,AD 而a1一2=2≠0，所以{am一2}是以2为 所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐 标系， 首项，号为公比的等比数列。 (4分) ·11· 高三复习滚动卷 ·B· 所以a。-2=2X(号）)、 又c=2m-1Da()(色g)=2m 则a,=2×(号）)+2. (5分) 1a(告)x号×（份）=2-1Da: (2)s.=2×()”+2+2×(号)广+2+ (14分) +2=-的 2n+ (2+1)2 …+2X 所以 Cu+1 2u- 1-3 Cn (21-1)x 3 2m=2m+3-3x(付)八， (7分) 4(2n+1) 9(2-1)’ 所以|Sn-2n-3|=2n+3-3× 4(2m+1>1,得10m<13, 9(2m-1)1 ()-2m-3=3x(), (8分) 所以n≤1，n∈N, (15分) 所以c1<c2>c3>c4>…>cn,(cn)mx= 由3×（信）广<22s得3>2025 (16分) 则n-1≥7，n≥8， (9分) 所以n的最小值为8. (10分) 则有6.-6，=3-号. (3)因为bm-cm> 行恒成立，所以 所以以-8>行 1 (b-c (11分) 解得9入2一8λ一1>0， 因为1>0，所以A>1. (17分) 显然(bm）mim=b3=λ2， (12分) ·12·