6.2.2 第2课时 函数最值的求法-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦函数最值求法，通过函数图象观察情境导入，结合极值定义提问，搭建从极值到最值的知识支架，涵盖基础知识梳理、自我诊断及典型例题精析，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光引导学生观察函数图象，通过含参数最值、恒成立问题等例题培养数学思维，通性通法总结强化数学语言表达。例如例2对参数a分类讨论，提升逻辑推理与运算能力，助力学生形成解决复杂问题的思路，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第二课时　函数最值的求法 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函 数极值的定义，回答下列问题. 【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ （2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点一　函数的最值点与极值点的关系 1. 如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最 值，则函数的最值点一定是某个 ⁠. 2. 如果函数y＝f（x）的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f （x）在（a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或 b，要么是 ⁠. 极值点　 极值点　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 　在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想 一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？ 提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f （x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f （x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f （x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点二　函数极值与最值之间的关系 1. 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小 值是一个整体性概念. 2. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数 的极值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以 有 ，但最值只能有一个. 3. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必 有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端 点处取得时必定是极值. 极值点　 多个　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 函数f（x）＝2x＋ sin x在区间[0，π]上的（　　） A. 最小值为0，最大值为π＋1 B. 最小值为0，最大值为2π C. 最小值为π＋1，最大值为2π D. 最小值为0，最大值为2 解析：　f'（x）＝2＋ cos x＞0，所以f（x）在区间[0，π]上单 调递增，因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝ 2π. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝3x＋ sin x在x∈[0，π]上的最小值为 ⁠. 解析：由题意得f'（x）＝3xln 3＋ cos x，当x∈[0，π]时，f'（x） ＞0，所以f（x）在x∈[0，π]上单调递增，所以f（x）在[0，π] 上的最小值为f（0）＝1. 3. 已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函 数f（x）的极大值，求m的取值范围. 解：由题意可知x＝ 为函数的极大值点，且－2＜ ＜－1，解得 －4＜m＜－2. 1　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　题型一 求函数的最值 【例1】　（1）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ⁠； 解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）. 1　 ①当x＞ 时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－ ＝ ，当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞ 0，所以f（x）min＝f（1）＝2－1－2ln 1＝1； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②当0＜x≤ 时，f（x）＝1－2x－2ln x在 单调递减， 所以f（x）min＝f ＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1. 综上，f（x）min＝1. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）已知函数f（x）＝ ＋ln x，求f（x）在 上的最大值和 最小值. 解：f'（x）＝ ＋ ＝ . 由f'（x）＝0，得x＝1. 所以在 上，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x ​ ​ 1 （1，2） 2 f'（x） － 0 ＋ f（x） 1－ln 2 单调递减 极小值0 单调递增 － ＋ln 2 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 因为f －f（2）＝ －2ln 2＝ （ln e3－ln 16）， 而e3＞16，所以f ＞f（2）＞0. 所以f（x）在 上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f （1）＝0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求函数最值的基本思路 （1）从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极 值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是 极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大 值和最小值； （2）单调区间取端点：当图象连续不断的函数f（x）在[a，b]上单 调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 函数y＝x＋2 cos x在 上取最大值时，x的值为（　　） A. 0 B. C. D. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　y'＝1－2 sin x，令y'＝0，得 sin x＝ ，∵x∈ ，∴x ＝ . 由y'＞0得 sin x＜ ，∴0≤x＜ ；由y'＜0得 sin x＞ ，∴ ＜ x≤ ，∴原函数在 上单调递增，在 上单调递减.当x＝ 0时，y＝2，当x＝ 时，y＝ ，当x＝ 时，y＝ ＋ ，∵ ＋ ＞2＞ ，∴当x＝ 时取最大值.故选B. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 含参数的最值问题 【例2】　已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝ 2.718 28…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求 函数g（x）在区间[0，1]上的最小值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：因为f（x）＝ex－ax2－bx－1， 所以g（x）＝f'（x）＝ex－2ax－b， 又g'（x）＝ex－2a， 因为x∈[0，1]，1≤ex≤e， 所以①若a≤ ，则2a≤1，g'（x）＝ex－2a≥0， 所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1 －b. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②若 ＜a＜ ，则1＜2a＜e， 于是当0＜x＜ln（2a）时，g'（x）＝ex－2a＜0， 当ln（2a）＜x＜1时，g'（x）＝ex－2a＞0， 所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减， 在区间[ln（2a），1]上单调递增， g（x）min＝g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ③若a≥ ，则2a≥e，g'（x）＝ex－2a≤0， 所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递减， g（x）min＝g（1）＝e－2a－b. 综上所述，当a≤ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为1－b； 当 ＜a＜ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为2a－2aln（2a） －b； 当a≥ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为e－2a－b. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 （变条件）若a＝1，b＝－2，求函数g（x）在区间[0，1]上的最 小值. 解：因为a＝1，b＝－2， g（x）＝f'（x）＝ex－2x＋2， 又g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0， 因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也 是最小值， 故g（x）min＝g（ln 2）＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问 题； （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质 是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不 等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取 得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点 值比较后确定最值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知函数最值求参数值（范围）的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆 向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用 参数表示出最值后求参数的值或范围. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a 的值为（　　） A. e2 B. 2e C. D. 解析：　f'（x）＝a－ （x＞0）. （1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f （x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）当a＞0时，f'（x）＝ .①当0＜a≤ 时， ≥e，此时f' （x）＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f （x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.②当a＞ 时，0＜ ＜e.当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，所以f（x）在 上 单调递减，当 ＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在 上单调 递增，于是f（x）min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2. 故选A. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 与最值有关的恒成立问题 【例3】　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1处都 取得极值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间； 解：由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 因为f'（1）＝3＋2a＋b＝0，f' ＝ － a＋b＝0，解得a ＝－ ，b＝－2， 所以f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 令f'（x）＝0，解得x＝－ 或x＝1， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： 目录 数学·选择性必修第三册（B版） x ​ － ​ 1 （1，＋ ∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f（x）的单调递增区间为 和（1，＋∞）； 单调递减区间为 . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范 围. 解：由（1）知，f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x∈[－1，2]， 当x＝－ 时，f ＝ ＋c为极大值， 因为f（2）＝2＋c，f（－1）＝ ＋c， 所以f（2）＝2＋c为最大值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 要使f（x）＜c2（x∈[－1，2]）恒成立，只需c2＞f（2）＝2 ＋c， 解得c＜－1或c＞2. 故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变条件）若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜ c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成 立”，结果如何？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由本例（2）知当x＝1时，f（1）＝c－ 为极小值， 又f（－1）＝ ＋c＞c－ ， 所以f（1）＝c－ 为最小值. 因为存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立， 所以只需c2＞f（1）＝c－ ，即2c2－2c＋3＞0， 解得c∈R. 故c的取值范围为R. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. （变条件）若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒 成立”换为“x∈[－2，0]，不等式f（x）＞－c恒成立”，求c 的取值范围. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由题意只需x∈[－2，0]时，f（x）min＞－c即可. 由本例可知f（x）在 上单调递增，f（x）在 上 单调递减. 且f（0）＝c，f（－2）＝－6＋c， 所以f（x）min＝f（－2）＝－6＋c， 所以－6＋c＞－c，所以c＞3. 故c的取值范围为（3，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　恒成立问题向最值转化的方法 （1）要使不等式f（x）＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间 [m，n]上求出函数f（x）的最大值f（x）max，只要h＞f （x）max，则上面的不等式恒成立； （2）要使不等式f（x）＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间 [m，n]上求出函数f（x）的最小值f（x）min，只要f（x）min ＞h，则不等式f（x）＞h恒成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　设a∈R，已知函数f（x）＝ax3－3x2. （1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间； 解：当a＝1时，f（x）＝x3－3x2，则f'（x）＝3x2－6x. 由f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f'（x）＜0，得0＜x＜2， 所以f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞）；单 调递减区间为（0，2）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若对任意的x∈[1，3]，都有f（x）＋f'（x）≤0恒成立，求实 数a的取值范围. 解：依题意，对任意的x∈[1，3]，f（x）＋f'（x）＝ ax3－3x2＋3ax2－6x≤0恒成立， 这等价于不等式a≤ ＝ 对任意的x∈[1，3]恒成立. 令h（x）＝ （x∈[1，3]）， 则h'（x）＝－ ＝－ ＜0， 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 所以h（x）在区间[1，3]上单调递减， 所以h（x）的最小值为h（3）＝ ， 所以a≤ ，即实数a的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 　构造函数证明（求解）不等式 　　 1. 证明：当x＞0时，ln（1＋x）＜x. 2. 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. （1）ex＞1＋x，x≠0；（2）ln x＜x＜ex，x＞0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【问题探究】 　利用导数证明不等式（或求解不等式）关键是构造函数，构造的函 数类型有如下几种： （1）对于f'（x）＞g'（x），构造h（x）＝f（x）－g（x），更一 般地，遇到f'（x）＞a（a≠0），即导函数大于某个非零常数 （若a＝0，则无需构造），则可构造h（x）＝f（x）－ax； （2）对于f'（x）＋g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）＋g（x）； （3）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝exf（x）； （4）对于f'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （5）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）； （6）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ； （7）对于 ＞0，分类讨论：①若f（x）＞0，则构造h（x）＝ lnf（x）；②若f（x）＜0，则构造h（x）＝ln [－f（x）]. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【迁移应用】 1. 函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意的x∈R，f（x）＋ f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex＋1的解集是（　　） A. {x｜x＞0} B. {x｜x＜0} C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜x＜－1或0＜x＜1} 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　构造函数g（x）＝exf（x）－ex－1，则g'（x）＝exf （x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1].由已知f（x）＋ f'（x）＞1，可得g'（x）＞0，所以g（x）为R上的增函数.又因 为g（0）＝e0f（0）－e0－1＝0，所以当x＞0时，g（x）＞g （0）＝0，即exf（x）＞ex＋1.故不等式exf（x）＞ex＋1的解集 为{x｜x＞0}. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0 时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　） A. f（a）＜eaf（0） B. f（a）＞eaf（0） C. f（a）＝eaf（0） D. 不能确定 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝ ＞0，从而F（x）＝ 在R上单调递增，于是当a ＞0时，F（a）＝ ＞F（0）＝ ＝f（0），即f（a） ＞eaf（0）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 证明不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立. 证明：令f（x）＝tan x－2x＋ sin x，x∈ ， 则f'（x）＝ '－（2x）'＋（ sin x）' ＝ －2＋ cos x ＝ ＝ ＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＝ . ∵x∈ ，∴1－ cos x＞0， cos x＋ sin 2x＞0， ∴f'（x）＞0，∴f（x）在 上单调递增， ∴f（x）＞f（0）＝0，即tan x－2x＋ sin x＞0， 故不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是 （　　） A. 12，－8 B. 1，－8 C. 12，－15 D. 5，－16 解析：　y'＝6x2－6x－12，由y'＝0解得x＝－1或x＝2（舍 去）.x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所 以ymax＝12，ymin＝－8.故选A. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 若函数f（x）＝a sin x＋ sin 3x在x＝ 处有最值，则a＝（　　） A. 2 B. 1 C. D. 0 解析：　∵f（x）在x＝ 处有最值，∴x＝ 是函数f（x）的极 值点.又f'（x）＝a cos x＋ cos 3x，∴f' ＝a cos ＋ cos π＝0， ∴a＝2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 设函数f（x）＝x3－ －2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f （x）＞m，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：令f'（x）＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－ .f（－1）＝ ，f ＝ ，f（1）＝ ，f（2）＝7，∴m＜ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝ x－ sin x，x∈[0，π]的最小值为 　 － 　. 解析：f'（x）＝ － cos x，所以x∈ 时，f'（x）＜0，f （x）单调递减；x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 所以f（x）min＝f ＝ － . － 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 设f（x）＝－ x3＋ x2＋2ax.当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上 的最小值为－ ，求f（x）在该区间上的最大值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：令f'（x）＝－x2＋x＋2a＝0， 得两根x1＝ ，x2＝ . 所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1， x2）上单调递增.当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4， 所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2）. 又因为f（4）－f（1）＝－ ＋6a＜0， 即f（4）＜f（1）， 所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8a－ ＝－ ， 得a＝1，x2＝2， 从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知函数f（x）＝ x2＋ln x，则函数f（x）在[1，e]上的最大值 为（　　） A. B. C. D. ＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　因为函数f（x）＝ x2＋ln x，则f'（x）＝x＋ ，显然 在[1，e]上f'（x）＞0，故函数f（x）单调递增，故f（x）max＝f （e）＝ e2＋ln e＝ ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝2 ＋ ，x∈（0，5]的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2 ＋ 解析： 　由f'（x）＝ － ＝ ＝0，得x＝1，且x∈（0， 1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f （x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 函数f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范 围为（　　） A. [0，1） B. （0，1） C. （－1，1） D. 解析： 　∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又 ∵x∈（0，1），∴0＜a＜1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为 10，则其最小值为（　　） A. －10 B. －71 C. －15 D. －22 解析： 　f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x） ＝0，得x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－ 27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10， 得k＝5，所以f（x）min＝k－76＝－71. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 已知函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，且g （x）＝x2－ 在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，则实数 a的取值范围是（　　） A. a＞－2 B. a≥－3 C. －3≤a＜－2 D. －3≤a≤－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　因为函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递 减，所以f'（x）＝－3x2－a≤0对于一切x∈（－∞，－1]恒成 立，得－3x2≤a，所以a≥－3.又因为g（x）＝x2－ 在区间 （1，2]上既有最大值，又有最小值，所以可知g'（x）＝2x＋ 在（1，2）上有零点，也就是极值点，即2x＋ ＝0有解，解得a ＝－2x3，可得－16＜a＜－2，所以－3≤a＜－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）已知函数f（x）＝ x3＋x2－2在区间（a－2，a＋3）上 存在最小值，则整数a可以取（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），f'（x）＝0时，x＝ －2或x＝0，当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0时，f' （x）＜0，所以函数的单调递增区间是（－∞，－2）和（0，＋ ∞），函数的单调递减区间是（－2，0），所以函数的极大值点是 －2，极小值点是0，且f（0）＝－2，那么当 x3＋x2－2＝－2，解 得x＝0或x＝－3，所以函数在区间（a－2，a＋3）上存在最小 值，则解得－1≤a＜2.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝ 的值域是 ⁠. 解析：由f'（x）＝ ＝ ＝0，得x＝0或2（舍去），f （－1）＝e，f（0）＝0，f（1）＝ ，所以f（x）的值域为[0， e]. [0，e]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别 为m，n，则m－n＝ 　 　. 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0； 当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在 （1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝ n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f （x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a） ＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m 恒成立，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝ 0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如 下表： （－∞，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） x －2 （－2， 0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） 单调递减 极小值0 单调递增 ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－ 2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1， f（1））处的切线方程为y＝3x＋1. （1）求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：依题意可知点P（1，f（1））为切点，代入切线 方程y＝3x＋1可得，f（1）＝3×1＋1＝4， ∴f（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， 又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得， f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 而由切线y＝3x＋1的斜率可知f'（1）＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0， 由解得∴a＝2，b＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求y＝f（x）在[－3，1]上的最大值. 解：由（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5， f'（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2）， 令f'（x）＝0，得x＝ 或x＝－2. 当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） x －3 （－3，－2） －2 ​ ​ ​ 1 f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 8 单调递 增 极大值 单调递 减 极小值 单调递 增 4 ∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f ＝ ， 又∵f（－3）＝8，f（1）＝4， ∴f（x）在[－3，1]上的最大值为13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. （多选）已知函数f（x）＝ x3－4x＋2，下列说法中正确的有 （　　） A. 函数f（x）的极大值为 ，极小值为－ B. 当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为 ，最小值为－ C. 函数f（x）的单调递减区间为[－2，2] D. 曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线的方程为y＝－4x＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝ 0，得x＝－2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋ ∞）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大 值＝f（－2）＝ ×（－2）3－4×（－2）＋2＝ ，f（x）极小值 ＝f（2）＝ ×23－4×2＋2＝－ ，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝ ×33－4×3＋2＝ －1，f（4）＝ ×43－4×4＋2＝ ，所以当x∈[3，4]时，f（x） 的最大值为 ，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点 （0，2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故 D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a ＝  　 　. 解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－ 1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则 最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝ ，解得a＝－ ；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝ 4≠ .综上知，a＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知函数f（x）＝ax4ln x＋bx4－c（x＞0）在x＝1处取得极值－ 3－c，其中a，b，c为常数.若对任意x＞0，不等式f（x）≥－ 2c2恒成立，求c的取值范围. 解：f'（x）＝4ax3ln x＋ax4× ＋4bx3 ＝x3（4aln x＋a＋4b）. ∵函数f（x）在x＝1处取得极值－3－c， ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 即解得a＝12，b＝－3. ∴f'（x）＝48x3ln x（x＞0）， 令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝1. ∵x＞0，∴x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表： x （0，1） 1 （1，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ －3－c ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ∴当x＝1时，f（x）有极小值为－3－c， 并且该极小值为函数的最小值. ∴要使对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立， 只需－3－c≥－2c2即可. 整理得2c2－c－3≥0.解得c≥ 或c≤－1. ∴c的取值范围为（－∞，－1]∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别交于点 M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值为（　　） A. 1 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜ MN｜＝f（x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h' （x）＝2x－ ＝ ，令h'（x）＝ ＝0，得x＝ 或x＝ － （舍去），所以h（x）在 上单调递减，在 上单调递增，所以当x＝ 时有最小值，故t＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知函数f（x）＝ax2＋bx－ln x（a，b∈R）. （1）当a＝－1，b＝3时，求函数f（x）在 上的最大值和 最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x， 且x∈ ， f'（x）＝－2x＋3－ ＝－ ＝－ . 当 ＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0， 所以函数f（x）在 上单调递增，在（1，2）上单调 递减， 所以函数f（x）在区间 上仅有极大值点x＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 故这个极大值点也是最大值点， 即函数在 上的最大值是f（1）＝2. 又f（2）－f ＝（2－ln 2）－ ＝ －2ln 2＝ － ln 4＜0， 所以f（2）＜f ， 故函数f（x）在 上的最小值为f（2）＝2－ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）当a＝0时，是否存在正实数b，使x∈（0，e]时，函数f （x）的最小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明 理由. 解：存在. 当a＝0时，f（x）＝bx－ln x，得f'（x）＝b－ ＝ . ①当0＜b≤ ，即 ≥e，x∈（0，e]时，f'（x）＜0，f （x）单调递减， f（x）min＝f（e）＝be－1＜0，不合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②当b＞ ，即0＜ ＜e，x∈ 时，f'（x）＜0，f （x）单调递减， x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f ＝1＋ln b＝3，得b＝e2. 综上所述，存在实数b＝e2使得函数f（x）的最小值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $