6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦简单复合函数的求导法则，通过情境导入展示y=(3x-1)²等具体函数，引出复合函数概念并关联基本初等函数求导知识，搭建新旧知识支架，引导学生提出求导问题。 其亮点在于分层设计（基础梳理、例题精析、演练巩固），结合数学运算与推理思维，通过题型分类（简单求导、综合应用）和通性通法总结，如例3结合导数几何意义求最短距离，提升学生运算能力与逻辑思维。学生能系统掌握求导步骤，教师可直接用于教学，有效落实核心素养。

第二课时 简单复合函数的求导法则 新课程标准解读 核心素养 能求简单的复合函数的导数 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝ sin 2x，不难发现，y＝（3x－ 1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝ sin 2x由y＝ sin u及u＝2x复 合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 【问题】　怎样求复合函数的导数呢？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点　复合函数 1. 复合函数的定义 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确 定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时 称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝ ⁠为函 数f（u）与g（x）的复合函数，其中 称为中间变量. f（g（x））　 u　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 复合函数的求导法则 如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f （g（x）），则 （1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝ ＝ ⁠ ⁠； （2）y'x＝ ⁠. f'（u）·g'（x）　 f'（g （x））·g'（x）　 y'u·u'x　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）.这 三个函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）是复合函数，函数 y＝2x＋5＋ln x不是复合函数. 2. 试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是 由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间 变量u表示为自变量x的函数. 3. 求复合函数的导数与顺序有关吗？ 提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 函数y＝ cos 2x的导数为（　　） A. y'＝ sin 2x B. y'＝－ sin 2x C. y'＝－2 sin 2x D. y'＝2 sin 2x 解析：　y'＝（ cos 2x）'＝－2 sin 2x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为 ⁠. 解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f' （0）＝10. 10　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切 线，则k＝ ⁠. 解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1， ），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝ ＝ ， 曲线y＝ex－2在点（x1， ）处的切线方程为y－ ＝ （x－x1），即y＝ x＋（1－x1） ，曲线y＝ln x在点 （x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝ （x－x2），即y＝ x＋ ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e， 所以k＝1或 . 1或 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝e cos x＋1； 解： 设y＝eu，u＝ cos x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－ sin x）＝－e cos x＋1 sin x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y＝log2（2x＋1）； 解： 设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝ ＝ . （3）y＝2 sin ； 解： 设y＝2 sin u，u＝3x－ ， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝2 cos u×3＝6 cos . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （4）y＝ . 解： 设y＝ ，u＝1－2x，则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）'＝－ ×（－2）＝（1－2x . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 求复合函数的导数的步骤 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 求复合函数的导数的注意点 （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝103x－2； 解：令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）' ＝3×103x－2ln 10. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y＝ln（ex＋x2）； 解：令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝ ·（ex＋x2）' ＝ ·（ex＋2x）＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）y＝ sin 4x＋ cos 4x. 解：因为y＝ sin 4x＋ cos 4x ＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x ＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x） ＝ ＋ cos 4x， 所以y'＝ '＝－ sin 4x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用 【例2】　求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解：∵（ln 3x）'＝ ×（3x）'＝ ， ∴y'＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y＝x ； 解： y'＝（x ）' ＝x' ＋x（ ）' ＝ ＋ ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）y＝x cos sin . 解： ∵y＝x cos sin ＝x（－ sin 2x） cos 2x＝－ x sin 4x， ∴y'＝ ' ＝－ sin 4x－ cos 4x·4 ＝－ sin 4x－2x cos 4x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法 则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地 进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. 2. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的 复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝ sin 2 ； 解： ∵y＝ ， ∴y'＝（ － ）'＝ sin x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y＝ sin 3x＋ sin x3. 解： y'＝（ sin 3x＋ sin x3）'＝（ sin 3x）'＋（ sin x3）' ＝3 sin 2x cos x＋ cos x3·3x2 ＝3 sin 2x cos x＋3x2 cos x3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用 【例3】　曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距 离是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 0 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x －y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝ ，y ＝ ＝ 2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切 点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲 线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 （变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到 直线2x－y＋m＝0的最小距离为2 ”，求m的值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由题意可知，设切点为P（x0，y0）， ∵y＝ln（2x－1）， ∴y'＝ ，y ＝ ＝2，解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点P（1，0）， ∴ ＝2 ，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点 是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的 切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝3x＋ cos 2x＋ sin 2x，f'（x）是f（x）的导函 数，且a＝f' ，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程. 解：∵f'（x）＝3－2 sin 2x＋2 cos 2x，∴f' ＝3－2 sin ＋2 cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P （1，1）， ①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k ＝3， ∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3）， ∴切线斜率k＝3t2＝ ，解得t＝－ ， ∴k＝ ， ∴所求切线方程为y－1＝ （x－1），即3x－4y＋1＝0. 综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝ 0或3x－4y＋1＝0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 　导函数的奇偶性及周期性探究 　　 1. 若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝ 3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3. 2. 若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x. 3. 若f（x）＝ cos x，则f'（x）＝－ sin x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【问题探究】 　由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立： （1）奇函数的导数是偶函数； 提示： 设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f （x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即 －f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为 偶函数，故原命题成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）偶函数的导数是奇函数； 提示：设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f （x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－ f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）周期函数的导数还是周期函数. 提示：设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周 期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两 边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋ T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命 题成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【迁移应用】 　推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对 称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心 对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－ x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f' （2a－x）， 因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）. 所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f' （2a－x）， 即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C 为常数）. 令x＝a，则有2f（a）＝C. 所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）. 因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f （x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－ f'（2a－x）， 即f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函 数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f' （x）＋f'（2a－x）＝0. 即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C 为常数）. 令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）. 故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 已知f（x）＝ cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A. －2 sin 2x＋2e2x B. sin 2x＋e2x C. 2 sin 2x＋2e2x D. － sin 2x＋e2x 解析： 　f'（x）＝－ sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2 sin 2x＋ 2e2x，故选A. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 函数y＝x2 cos 的导数为（　　） A. y'＝2x cos －x2 sin B. y'＝2x cos －2x2 sin C. y'＝x2 cos －2x sin D. y'＝2x cos ＋2x2 sin 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　y'＝（x2）' cos ＋x2 ' ＝2x cos ＋x2 '＝2x cos － 2x2 sin . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x， 则a＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　y'＝a－ ，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x， 所以a－1＝2，解得a＝3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝ ·（3x－1）'＝ ，∴f'（1）＝ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则 a＝ ⁠. 解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2. 2　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ sin x）'＝－ cos x B. （log2x）'＝ C. '＝ D. （e2x＋1）'＝2e2x＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　选项A，（ sin x）'＝ cos x，故A错误；选项B， （log2x）'＝ ，故B错误；选项C， '＝ ，故C错误； 选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 设函数f（x）＝（1－2x3）10，则f'（1）＝（　　） A. 0 B. 60 C. －1 D. －60 解析： 　f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10× （1－2）9×（－6）＝60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y ＝x围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线 在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x ＝y＝ ，∴A ，则围成的三角形的面积为 × ×1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A. 2e B. e C. 2 D. 1 解析： 　由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切 线的斜率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则 x0的值为（　　） A. B. C. 1 D. 解析： 　由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝ ，由f'（x0） ＝ ＝1，解得x0＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾 斜角为（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　∵f'（x）＝ ，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象 在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝ ＝1.设函数f （x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角 为θ，则tan θ＝1，∴θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 若y＝f（x）＝（2x＋a）2，且f'（2）＝20，则a＝ .　 解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x ＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0 时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ， ∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f （x）＝－ex＋ ，x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1） ＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝ －2e. －ex＋ 　 －2e　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 已知函数f（x）＝x（1－ax）2（a＞0），且f'（2）＝5，则实数 a的值为 ⁠. 解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－ 2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 曲线y＝e2x cos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距 离为 ，求直线l的方程. 解：由y'＝（e2x cos 3x）' ＝（e2x）' cos 3x＋e2x（ cos 3x）' ＝2e2x cos 3x＋e2x（－3 sin 3x） ＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x）， 得y'x＝0＝2. 则切线方程为 y－1＝2（x－0）， 即2x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 两平行线间的距离d＝ ＝ ，解得c＝6或c＝－4. 故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. （多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在， 且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函 数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则 称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在 上不是凸函数 的是（　　） A. f（x）＝ sin x－ cos x B. f（x）＝ln x－2x C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　对于A，f'（x）＝ cos x＋ sin x，f″（x）＝－ sin x＋ cos x＝－ sin ，当x∈ 时，－ ＜x－ ＜0，f″ （x）＞0，故f（x）＝ sin x－ cos x不是凸函数；对于B，f' （x）＝ －2，f″（x）＝－ ＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函 数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈ ，f″（x） ＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x） ＝（x＋1）ex，对任意的x∈ ，f″（x）＝（x＋2）ex＞ 0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y ＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是  　 . 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为 偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋ 1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x －y＝0. 2x－y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴 围成的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； 解： ∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x， 当x＝t时，yx'＝－e－t. 故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求S（t）的解析式. 解： 令y＝0，得x＝t＋1. 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝ （t＋1）·e－t（t＋1）＝ （t＋1）2e－t（t≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 设函数f（x）＝ cos （ x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若 函数g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导 数）是偶函数，则φ等于（　　） A. － π B. － π C. － π D. － π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　∵f（x）＝ cos （ x＋φ），∴f'（x）＝－ sin （ x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝ cos （ x＋φ） － sin （ x＋φ）＝2 cos （ x＋φ＋ ）.∵函数g（x）为 偶函数，∴φ＋ ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k∈Z. ∵－π＜φ ＜0，∴φ＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、 航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的 衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足 函数关系P（t）＝P0 ，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含 量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，求 该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需的时间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由P（t）＝P0 得P'（t）＝－ ·P0· ln 2，因为t＝ 15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，即P'（15）＝－ P0＝－ ，解得P0＝18，则P（t）＝18· ，当该放 射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18· ＝ 4.5，即 ＝ ，所以－ ＝－2，解得t＝60. 故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $