6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦函数和、差、积、商的求导法则，通过高铁路程函数求瞬时速度的情境导入，对比导数定义法的复杂运算，自然引出运算法则，衔接导数定义旧知与法则应用新知，搭建从具体问题到抽象法则的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题（高铁速度情境），通过题型分类（求导、切线、参数问题）与通性通法总结（如分式化简技巧）发展数学思维，规范推导与分步解析（如例1分步骤应用法则）强化数学语言。实例丰富如切线问题结合几何意义，分层训练巩固数学运算核心素养，助力学生提升解题能力，教师可直接用于课堂教学提高效率。

第一课时　函数和、差、积、商的求导法则 新课程标准解读 核心素养 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则，求简单函数的导数 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高 铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f （t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就 是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函 数，如y＝ sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点　函数和、差、积、商的求导法则 1. 条件：f（x），g（x）是可导的. 2. 结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝ ⁠； （2）[f（x）g（x）]'＝ ⁠； （3） ＝ 　 （g（x）≠0）　. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 （g（x）≠0）　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系 式成立吗？ （1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常 数）； （2） '＝－ . 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必 可导吗？ 提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为 零）必可导. 3. 若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？ 提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不 可导. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 函数y＝ sin x· cos x的导数是（　　） A. y'＝ cos 2x＋ sin 2x B. y'＝ cos 2x C. y'＝2 cos x· sin x D. y'＝ cos x· sin x 解析： 　y'＝（ sin x· cos x）'＝（ sin x）' cos x＋ sin x（ cos x）' ＝ cos 2x－ sin 2x＝ cos 2x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 函数y＝x cos x－ sin x的导数为 ⁠. 解析：y'＝（x cos x－ sin x）'＝（x cos x）'－（ sin x）'＝ cos x－x sin x－ cos x＝－x sin x. 3. 函数f（x）＝x＋ 在x＝1处的导数是 ⁠. 解析：因为f'（x）＝ ＝x'＋ ＝1－ ， 所以f'（1）＝1－1＝0. －x sin x　 0　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用导数四则运算法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x2＋log3x；（2）y＝x3·ex；（3）y＝ . 解： （1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）' ＝2x＋ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）' ＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）. （3）y'＝ '＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 提醒　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简， 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函 数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法 则，减少运算量. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝ sin x－2x2； 解：y'＝（ sin x－2x2）'＝（ sin x）'－（2x2）'＝ cos x－4x. （2）y＝ cos x·ln x； 解：y'＝（ cos x·ln x）'＝（ cos x）'·ln x＋ cos x·（ln x）' ＝－ sin x·ln x＋ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）y＝ . 解： y'＝ '＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 与切线有关的综合问题 【例2】　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0）处的切线，l2 为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3， 由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2）， 则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1. ∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－ ， 即b＝－ ，∴B ， 故直线l2的方程为y＝－ x－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角 形的面积. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：解方程组得 ∴直线l1和l2的交点坐标为 . 又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0）， ， 故所求三角形的面积为S＝ × × ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜 率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.解决此类问题的方法为先 求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未 知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标. 总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. （2023·全国甲卷8题）曲线y＝ 在点（1， ）处的切线方程为 （　　） A. y＝ x B. y＝ x C. y＝ x＋ D. y＝ x＋ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　由题意可知y'＝ ＝ ，则曲线y＝ 在点（1， ）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝ ，所以曲线y＝ 在点（1， ）处的切线方程为y－ ＝ （x－1），即y＝ x＋ ， 故选C. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知函数f（x）＝ax2＋ln x的导数为f'（x）. （1）求f（1）＋f'（1）； 解： 由题意，函数的定义域为（0，＋∞）， 由f（x）＝ax2＋ln x， 得f'（x）＝2ax＋ ， 所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值 范围. 解： 因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此 时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f' （x）＝2ax＋ 存在零点， 即f'（x）＝0，所以2ax＋ ＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围 是（－∞，0）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 利用函数的导数求参数 【例3】　（1）已知曲线y＝f（x）＝aex＋xln x在点（1，ae）处 的切线方程为y＝2x＋b，则（　D　） A. a＝e，b＝－1 B. a＝e，b＝1 C. a＝e－1，b＝1 D. a＝e－1，b＝－1 D 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝ f'（1）＝ae＋1，∴ 切线方程为y－ae＝（ae ＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1. 又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函 数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. 解析： 因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f' （1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以 解得故函数f （x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x. f （x）＝2x3－9x2＋12x　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 利用导数求参数的常见题型 　　利用导数求参数，常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意 义）求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的 函数值），这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程 （组）求解参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导 数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时 应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图 象的影响. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　如图有一个图象是函数f（x）＝ x3＋ax2＋（a2－1）x＋1 （a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝（　　） A. B. － C. D. － 或 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）]·[x＋（a－ 1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与 题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③ 知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a ＝－1.故f（x）＝ x3－x2＋1，所以f（－1）＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　） A. y'＝2x＋ cos x B. y'＝x2 cos x C. y'＝2x cos x D. y'＝2x sin x＋x2 cos x 解析： 　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x ＋x2 cos x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知物体的运动方程为s＝t2＋ （t是时间，s是位移），则物体 在时刻t＝2时的速度为（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵s'＝2t－ ，∴s't＝2＝4－ ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. （多选）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，其 导函数为f'（x），则（　　） A. f（0）＝－1 B. f'（0）＝1 C. f（0）＝1 D. f'（0）＝－1 解析： 　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，所以 f（0）＝2－f'（0），因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）· sin x， 所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 设函数f（x）＝ .若f'（1）＝ ，则a＝ ⁠. 解析：由于f'（x）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解 得a＝1. 1　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 求下列函数的导数. （1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）； 解： 法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）·（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2. 法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8， ∴y'＝3x2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解： y'＝ －2x·ln 2 ＝ －2x·ln 2 ＝ ＋ ln x－2xln 2. （2）y＝ －2x. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数y＝ 的导数是（　　） A. y'＝－ B. y'＝－ sin x C. y'＝－ D. y'＝－ 解析： 　y'＝ '＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）等于 （　　） A. －1 B. －2 C. 2 D. 0 解析： 　∵f'（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f'（－1）＝－f' （1）＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 （　　） A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1 C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1 解析： 　法一　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f' （1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝ －2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，f'（1）＝－2， ∴切线的斜率为－2，排除C、D. 又f（1）＝1－2＝－1，∴切线过点 （1，－1），排除A. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知f（x）＝2 sin x＋x3，则f'（0）＝（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　∵f（x）＝2 sin x＋x3，∴f'（x）＝2 cos x＋3x2，∴f' （0）＝2 cos 0＋0＝2，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为（　　） A. 1 B. ±1 C. －1 D. －2 解析： 　设切点为（x0，y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝a ＋3， 所以3x0＋1＝a ＋3　①.对y＝ax3＋3求导得y'＝3ax2，则3a ＝3，a ＝1　②，由①②可得x0＝1，所以a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂 直，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋ 2）·e，f'（－1）＝ae－1＝ .由题意有f'（1）f'（－1）＝－1，所 以a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 已知函数y＝f（x）的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原 点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件函数y＝f（x）的 解析式为 ⁠. 解析：由题意可知：f（0）＝0，f'（0）＝1，取f（x）＝ex－1， 此时f（0）＝e0－1＝0，f'（x）＝ex，f'（0）＝1，故符合. y＝ex－1（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知曲线y1＝2－ 与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积 为3，则x0＝ ⁠. 解析：由题知y'1＝ ，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处 切线的斜率分别为 ，3 －2x0＋2，所以 ＝3，所以 x0＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 已知函数f（x）＝f' cos x＋ sin x，则f 的值为 ⁠. 解析：∵f'（x）＝－f' sin x＋ cos x，∴f' ＝－f' × ＋ ，得f' ＝ －1.∴f（x）＝（ －1） cos x＋ sin x.∴f ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 求下列函数的导数. （1）y＝ －ln x；（2）y＝（x2＋1）（x－1）； （3）y＝ ；（4）y＝ . 解：（1）y'＝（ －ln x）' ＝（ ）'－（ln x）'＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）y'＝[（x2＋1）（x－1）]' ＝（x3－x2＋x－1）' ＝（x3）'－（x2）'＋（x）'－（1）' ＝3x2－2x＋1. （3）y'＝ ＝ . （4）y'＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. （多选）过点A（a，0）作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两 条，则实数a可能的值是（　　） A. 0 B. C. －ln e5 D. e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　设切点坐标为（x0，x0 ），因为y'＝（x＋1） ex，所以y ＝（x0＋1） ，所以切线方程为y－x0 ＝ （x0＋1）· （x－x0），将点A（a，0）代入可得－x0 ＝ （x0＋1） （a－x0），化简得 －ax0－a＝0，过点A（a， 0）作曲线C的切线有且仅有两条，即方程 －ax0－a＝0有两个 不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取 值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.－ln e5＝－5ln e＝－5， 所以由选项判断可知B、C、D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 曲线y＝ 在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋ 4x＋3＝0上的点的最近距离是 ⁠. 解析：y'＝－ ，则y'x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－ （x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝ 2 ，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2 －1. 2 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是 13x－y－32＝0. （1）求a，b的值； 解： ∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a， 由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－ 6，解得a＝1，b＝－16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－ x＋3垂 直，求切点坐标与切线的方程. 解： ∵切线与直线y＝－ x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为（x0，y0）， 则f'（x0）＝3 ＋1＝4， ∴x0＝±1. 由f（x）＝x3＋x－16， 可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. （多选）对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给 出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″是f'（x）的导 数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函 数y＝f（x）的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐 点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中 心，设函数f（x）＝ x3－ x2＋ ，则以下说法正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） A. 函数f（x）对称中心 B. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99 C. 函数f（x）对称中心 D. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　f（x）＝ x3－ x2＋ ⇒f'（x）＝x2－x⇒f″（x） ＝2x－1，令f″（x）＝2x－1＝0，解得x＝ ，f ＝ × － × ＋ ＝1，由题意可知：函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的 对称中心为 ，C正确，D错误；因为函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的对称中心为 ，所以有f（x）＋f（1－x）＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 设S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ， ① 所以有S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ， ② ①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99， 即f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99，B正确，D错 误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知函数f（x）＝x－ ，g（x）＝a（2－ln x）. （1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜 率相同，求a的值； 解： f'（x）＝1＋ ，g'（x）＝－ ， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3， 曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a， 由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点 处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围. 解： 由题意，得1＋ ＝－ （x＞0）， 则a＝－x－ ≤－2 ，当且仅当x＝ 时，等号成立， 故实数a的取值范围为（－∞，－2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $